Chapter 3 The Theory of Sets Benchaporn Jantarakongkul

1. Chapter 3The Theory of SetsBenchaporn Jantarakongkul ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

2. ทฤษฎีเซต • เซต(set)ใช้แทนกลุ่มของวัตถุหรือสิ่งของที่แตกต่างกัน โดยสมาชิกของเซตอาจมีศูนย์หรือมากกว่าศูนย์ชิ้นก็ได้ และลำดับการเขียนสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ นิยมใช้อักษรอังกฤษพิมพ์ใหญ่แทนเซตใดๆ เช่น A, B เป็นต้น • aA“a เป็นสมาชิกของ A”aA“a ไม่เป็นสมาชิกของ A” • กำหนดให้A = {a1, a2, …, an} “A มีสมาชิก a1, …, an” • ลำดับของสมาชิกไม่มีความแตกต่าง เช่น{a, b, c} = {a, c, b} • สมาชิกที่เหมือนกัน ถือว่าเป็นสมาชิกตัวเดียวกัน เช่น {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

3. ตัวอย่างของเซต • A =  = {} “เซตว่าง” หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก • A = {z} zA • A = {{b, c}, {c, x, d}} เซตของเซต • A = {x | P(x)} “เซตของ x ทุกตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง” P(x) เป็นฟังก์ชั่นสมาชิก(membership function)ของเซต A x (P(x)  xA) • A = {x | x N x > 7} = {8, 9, 10, …}“เป็นการนิยามเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกภายในเซต(set builder notation)” ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

4. เซตอนันต์(Infinite Sets) • เซตอาจมีจำนวนสมาชิกไม่จำกัดเรียกว่า เซตอนันต์(infinite) • สัญลักษณ์ของเซตอนันต์ เช่น: • Q = {a/b | aZ  bZ+} เซตของจำนวนตรรกยะ N = {0, 1, 2, …} เซตของจำนวนนับZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} เซตของจำนวนเต็มR = เซตของจำนวนจริง เช่น{-0.15, 3.67,30, 74.18284719818125…} • นิยมเขียนเป็นตัวพิมพ์ใหญ่และเข้มหรือเขียนด้วยเส้นคู่เช่น ℕ, ℤ, ℝ • เซตอนันต์แต่ละเซตอาจมีจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกัน! ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

5. ตัวอย่างของเซต เซต “มาตรฐาน”: • จำนวนนับ(Natural numbers)N = {0, 1, 2, 3, …} • จำนวนเต็ม(Integers)Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} • จำนวนเต็มบวก(Positive Integers)Z+ = {1, 2, 3, 4, …} • จำนวนจริง(Real Numbers)R = {47.3, -12, , …} • จำนวนตรรกยะ(Rational Numbers)Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

6. For 3 sets For 2 sets Venn Diagrams • เป็นแผนภาพที่ใช้อธิบายในเรื่องการดำเนินการบนเซต • โดยจะใช้ ภาพวงกลม แทน เซต และใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U • บริเวณที่แรเงาแสดงผลการดำเนินการบนเซตที่ต้องการ ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

7. Venn Diagrams ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

8. Venn Diagrams ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

9. เซตย่อย(Subset)และซุปเปอร์เซต(Superset)เซตย่อย(Subset)และซุปเปอร์เซต(Superset) • ST (“Sเป็นเซตย่อยของT”) หมายถึง สมาชิกทุกตัวของ Sเป็นสมาชิกของT ด้วย • ST  x (xS  xT) • S (เซตว่างจะเป็นเซตย่อยของเซตใดๆเสมอ) • SS (เซตใดๆจะเป็นเซตย่อยของตัวเองเสมอ) • ST (“Sเป็นซุปเปอร์เซตของT”) หมายถึงTS • ข้อสังเกต :S=T  ST ST • หมายถึง (ST), นั่นคือ x(xS  xT) ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

10. เซตย่อยแท้และซุปเปอร์เซต(Proper Subsets & Supersets) • ST (“Sเป็นเซตย่อยแท้ของT”) หมายถึงST แต่ • ตัวอย่าง:ถ้า A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 1}, C = {3} • ดังนั้น B = A, C  A, C  B • ตัวอย่าง: ถ้า U = 1, 2, 3,  , 11, 12 และ T = 1, 2, 3, 6 • ดังนั้นT  U และ T  U ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

11. Subset Proof Example:จงแสดงว่า A  B, โดยที่เซต A และ B นิยามโดย • A={x|x เป็นจำนวนเฉพาะ และ 42 ≤ x ≤ 51} • B={x|x=4k+3 และ k  N} • ให้ xA ดังนั้น x=43 หรือ x=47 โดยที่เราสามารถเขียนได้ว่า 43=4(10)+3 และ 47=4(11)+3 • ดังนั้นสมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชิกในเซต B ด้วย จึงสรุปได้ว่า A  B # • จากตัวอย่างนี้ จงแสดงว่า B A หรือไม่? ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

12. Non-Subset Proof Example:จงแสดงว่า A  B และ B  A โดยที่เซต A และ B นิยามโดย • A={3k+1 |k  N} และ B={4k+1 |k  N} • จากข้อกำหนด เขียนแจกแจงสมาชิกของเซต A={1,4,7,…} และแจกแจงสมาชิกของเซต B={1,5,9,…} • ซึ่งจะเห็นว่า 4A แต่ 4B ดังนั้น A  B และจะเห็นว่า 5B แต่ 5Aดังนั้น B  A # ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

13. ขนาดของเซต(Cardinality) • |S| (อ่านว่า “ขนาดของS”) แสดงจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกันในเซตS • เช่น, ||=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = ____ • ถ้า |S|N, แล้ว กล่าวได้ว่าSเป็นเซตจำกัด(finite)กรณีอื่น เรากล่าวได้ว่าSเป็นเซตอนันต์(infinite) 2 D = { xN | x  7000 } |D| = 7001 E = { xN | x  7000 } E เป็นเซตอนันต์ ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

14. เซตกำลัง(Power Set) • เซตกำลัง P(S) ของเซตSคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตSP(S) :≡ {x | xS} • เช่น P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}} • A = , P(A) = {}, ดังนั้น: |A| = 0, |P(A)| = 1 • ถ้าS เป็นเซตจำกัด, |P(S)| = 2|S| • ดังนั้นS:|P(S)|>|S|, เช่น|P(N)| > |N| ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

15. คู่อันดับnตัว(Ordered n-tuples) • คล้ายกับเซตยกเว้น กรณีที่สมาชิกซ้ำกันนั้นจะเขียนตัวเดียวไม่ได้ และลำดับการเขียนสมาชิกมีความสำคัญ • สำหรับnN, คู่อันดับ nหรือ ลำดับยาว nเขียนแทนด้วย (a1, a2, …, an) โดยสมาชิกตัวแรกแทนด้วยa1 • สังเกตุว่า (1, 2)  (2, 1)  (2, 1, 1) • คู่อันดับยาวn (a1, a2, a3, …, an) และ(b1, b2, b3, …, bn) เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ คู่อันดับทั้งสองมีสมาชิกในลำดับเดียวกันเหมือนกันทุกตัว, หรือ ai = biสำหรับ 1  i  n ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

16. ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต • สำหรับเซตA, B, ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product)AB : {(a, b) | aA  bB }. • A = , A =  • ตัวอย่าง เช่น: A = {x, y}, B = {a, b, c}AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)} • กรณีที่เซต A และ B ไม่ใช่เซตว่าง: AB  AB  BA • สำหรับเซตจำกัดA, B จะได้ว่า, |AB|=|A||B| • ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A ที่มีสมาชิก n ตัว เขียนได้ดังนี้A1  A2  …  An... ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

17. 2 5 3 7 Required Form ตัวดำเนินการผลรวม(Union Operator) • กำหนดเซตA, B, ผลรวม(nion)ABคือ เซตของสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในA, หรืออยู่ในB (หรืออยู่ในทั้งสองเซต) • เขียนได้ว่า, A,B:AB = {x | xAxB} • สังเกตว่าAB เป็นซุปเปอร์เซต ของทั้งเซตAและเซตB A, B: (AB  A)  (AB  B) {a,b,c,2,3} • {a,b,c}{2,3} =__________ • {2,3,5}{3,5,7} =___________ {2,3,5,3,5,7} = {2,3,5,7} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

18. Generalized Union • ตัวดำเนินการ union: AB สามารถดำเนินการระหว่างเซตมากกว่า 2 เซตได้ เรียกว่า n-ary union: = A1A2…An • ในกรณีที่ดำเนินการกับกลุ่มเซตที่มีจำนวนไม่จำกัด จะใช้สัญลักษณ์: • ถ้า Iแทนเซตของดัชนี และ Aiเป็นเซตใดๆโดยที่ iI ดังนั้นการ union ของกลุ่มเซตแทนได้โดยสัญลักษณ์ • เช่น กำหนดให้Ai={-2i, 2i}โดยที่ i เป็นเลขจำนวนนับที่เป็นจำนวนคี่ดังนั้น= {…, -10, -6, -2, 2, 6, 10,…} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

19. 3 2 4 6 5 ตัวดำเนินการส่วนตัด(Intersection Operator) • กำหนดเซตA, B, ส่วนตัด(intersection)ABคือ เซตของสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซตA และ(“”) ในเซตB • เขียนได้ว่า, A,B:AB={x | xAxB} • สังเกตว่าAB เป็นเซตย่อย ของทั้งเซต A และ B:A, B: (AB  A)  (AB  B)  • {a,b,c}{2,3} = ___ • {2,4,6}{3,4,5} = ______ {4} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

20. Generalized Intersection • ตัวดำเนินการ intersection: A  B สามารถดำเนินการระหว่างเซตมากกว่า 2 เซตได้ เรียกว่า n-ary intersection : = A1  A2  …  An • ในกรณีที่ดำเนินการกับกลุ่มเซตที่มีจำนวนไม่จำกัด จะใช้สัญลักษณ์: • ถ้า I แทนเซตของดัชนี และ Ai เป็นเซตใดๆโดยที่ iI ดังนั้นการ intersectionของกลุ่มเซตแทนได้โดยสัญลักษณ์ • เช่น กำหนดให้Ai={x|x Zและ –i ≤ x ≤ i}โดยที่ i เป็นเลขจำนวนนับที่เป็นจำนวนคี่ดังนั้น= {-1, 0, 1} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

21. Inclusion-Exclusion Principle • จำนวนสมาชิกของAB เท่ากับเท่าไร?|AB| = |A|  |B|  |AB| • ตัวอย่าง: จำนวนนิสิตในห้องนี้ที่อยู่ในรายการเมล์(Mailing List)มีกี่คน? พิจารณา เซตE  I  M, I = {s | sส่งข้อมูลผ่านแบบฟอร์มกระดาษ}M = {s | s ส่งข้อมูลผ่านอีเมล์} • นิสิตบางคนทำทั้งสองอย่างดังนั้น|E| = |IM| = |I|  |M|  |IM| • เซตสองเซตA, Bเรียกว่า ไม่มีส่วนร่วม(disjoint)ก็ต่อเมื่อส่วนตัด(intersection) ของเซตทั้งสองนั้นเป็นเซตว่าง (AB=) • เช่น: เซตของจำนวนเต็มคู่ ไม่มีส่วนร่วม กับเซตของจำนวนเต็มคี่ ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

22. SetAB ส่วนต่างของเซต(Set Difference) • กำหนดเซตA, B, ส่วนต่างของ A และ B, เขียนแทนด้วยAB, คือเซตของสมาชิกทั้งหมดในเซตAแต่ไม่อยู่ในBเขียนได้ว่า: A  B : x  xA  xB: x  xA  xB  • จำนวนสมาชิกของเซต: |A-B| = |A| - |AB| A−Bคือ เซตของสมาชิกของ A ที่เหลือจากการตัดสมาชิกของB ออกไปแล้ว Set A Set B ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

23. Set Difference Examples • {1,2,3,4,5,6}  {2,3,5,7,9,11} = ___________ • Z  N  {… , −1, 0, 1, 2, … }  {0, 1, … } = {x | xเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนนับ} = {x | xเป็นจำนวนเต็มลบ} = {… , −3, −2, −1} {1,4,6} ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

24. Symmetric Difference สมาชิกใดๆจะอยู่ในเซตได้เพียงเซตเดียว(ไม่ใช่ทั้งสองเซต): AB = { x | x  A  x  B } AB U A B ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

25. ส่วนเติมเต็มของเซต(Set Complements) • เซตของเอกภพสัมพัทธ์(universe of discourse)แทนด้วยU คือเซตที่แสดงขอบเขตของเซตที่กำลังศึกษา • เซตA ใดๆที่AU,ส่วนเติมเต็มของ A(complement)แทนด้วย , เรากล่าวว่า และ เป็นส่วนเติมเต็มของAเมื่อเทียบกับU, นั่นคือ= UA • เช่น, ถ้าU=N, ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

26. Set Operations • ตัวอย่าง: • U =  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  • A=  1, 2, 3, 4, 5 , • B =  4, 5, 6, 7, 8  ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

27. การเท่ากันของเซต • เซต A และ B เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกที่เหมือนกันทุกตัว เช่น: • A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} : A = B • A = {หมา, แมว, ม้า}, B = {แมว, ม้า, กระรอก, หมา} : A  B • A = {หมา, แมว, ม้า}, B = {แมว, ม้า, หมา, หมา} : A = B • A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | xเป็นจำนวนเต็ม โดยที่x>0 และx<5 }: A = B ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

28. Set Identities • เอกลักษณ์(Identity) : A = A = AU • ครอบคลุม(Domination): AU = U , A =  • สะท้อน(Idempotent): AA = A = AA • ส่วนเติมเต็มซ้อน(Double complement): • สลับที่(Commutative): AB = BA , AB = BA • กระจาย(Distributive):A(BC) = (AB)(AC) • เปลี่ยนกลุ่ม(Associative): A(BC)=(AB)C ,A(BC)=(AB)C • ซึมซับ(Absorption):A(AB) = A, A(AB) = A • ส่วนเติมเต็ม(Complement):A = U, A =  ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

29. การพิสูจน์การเท่ากันของเซตการพิสูจน์การเท่ากันของเซต ในการพิสูจน์การเท่ากันของประโยคที่มีตัวแปรเป็นเซตE1 = E2 (โดยที่Es แทนนิพจน์ของเซตใดๆ), ทำได้ 3 วิธี: 1. พิสูจน์ว่าE1E2และE2E1 2. ใช้เงื่อนไขของสมาชิกเซต(set builder notation)และ กฎการสมมูล 3. ใช้ตารางค่าสมาชิก(membership table) ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

30. Equal Sets Proof Method 1: Mutual subsets Example:จงแสดงว่า A = B โดยที่เซต A และ B นิยามโดย • A={x|x เป็นจำนวนเฉพาะ และ 12 ≤ x ≤ 18} • B={x|x=4k+1 และ k  {3,4}} • ส่วนที่1 พิสูจน์ว่า A  Bโดยให้ xA ดังนั้น x=13 หรือ x=17 โดยที่เราสามารถเขียนได้ว่า 13=4(3)+1 และ 17=4(4)+1 แสดงว่า xB ด้วย จึงสรุปได้ว่า A  B • ส่วนที่2 พิสูจน์ว่า B  Aโดยให้ xB ดังนั้น x=4(3)+1 หรือ x=4(4)+1 ซึ่งจะได้ค่า x=13 และ 17 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าระหว่าง 12 และ 18 แสดงว่า xA ด้วย จึงสรุปได้ว่า B  A ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

31. ใช้นิยามของเซต และตัวดำเนินการต่างๆ ช่วยในการพิสูจน์ ตัวอย่าง เช่น: ทฤษฎีย่อย:จงพิสูจน์กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการรวม(Unions) (AB )C = A(B C ) พิสูจน์: (AB )C = {x | x  A B  x  C }(จากนิยาม) = {x |(x  A  x  B )  x  C } (จากนิยาม) = {x | x  A  ( x  B  x  C ) } (กฎการเปลี่ยนกลุ่ม) = {x | x  A  (x  B  C ) } (จากนิยาม) = {x | x  A(B C ) } (จากนิยาม) = A(B C ) (จากนิยาม) Method 2: Set builder notation ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

32. ตัวอย่าง 2 • จงพิสูจน์การเท่ากันของเซตที่กำหนดโดยใช้ set builder notation และ logical equivalence • Proof: • Q.E.D. ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

33. Method 3: Membership Tables • มีลักษณะคล้ายกับตารางค่าความจริงในเรื่องตรรกศาสตร์ • คอลัมน์แทนนิพจน์ของเซต • แถว แทนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของค่าการเป็น/ไม่เป็นสมาชิกของเซตที่ต้องการพิสูจน์ • ใช้ “1” แสดงการเป็นสมาชิกของเซต, “0” แสดงการไม่เป็นสมาชิกของเซตนั้น • เปรียบเทียบค่าในคอลัมน์ของนิพจน์ที่ต้องการ หากค่าเหมือนกันทุกแถว แสดงว่านิพจน์ของทั้งสองคอลัมน์นั้นเป็นเซตที่เท่ากัน ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

34. Membership Table Example จงพิสูจน์ว่า (AB)B = AB ดังนั้น (AB)B = AB # ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

35. Membership Table Exercise จงพิสูจน์ว่า (AB)C = (AC)(BC) ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา

36. แบบฝึกหัด • จงพิสูจน์ว่า (AB)B = ABโดยใช้วิธี Set builder notation • นักเรียนห้องหนึ่งมี 180 คน ทุกคนชอบเล่นกีฬา จากการสำรวจพบว่า มีนักเรียนที่ชอบเล่นปิงปอง 100 คน นักเรียนที่ชอบว่ายน้ำ 92 คน นักเรียนที่ชอบเล่นตะกร้อ 115 คน นักเรียนที่ชอบทั้งเล่นปิงปองและว่ายน้ำมี 52 คน นักเรียนที่ชอบทั้งว่ายน้ำและเล่นตะกร้อมี 57 คน นักเรียนที่ชอบเล่นทั้งปิงปองและตะกร้อมี 43 คน • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบเล่นกีฬาทั้งสามประเภท • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบว่ายน้ำอย่างเดียว • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบเล่นปิงปองอย่างเดียว ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ม.บูรพา