 Planejamento do curso DIA (CH) TEMAS RECURSOS

3. Planejamento do curso • DIA  (CH)  TEMAS   RECURSOS • 27/06 2 Apresentação do curso e introdução Datashow e PC • 04/07 2 Elementos básicos de análise de sobrevivência Datashow e PC • 11/07 2 Força de mortalidade Datashow e PC • 18/07 2 Relações de funções de sobrevivência com tábuas Datashow e PC • 25/07 2 Aplicações com tábuas de mortalidade reais Datashow e PC • 01/08   2Outras funções de tábuas de mortalidadeDatashow e PC • 08/08   2Aplicações de força central de mortalidadeDatashow e PC  • 15/08   2Leis de mortalidade Datashow e PC • 22/08   2Tipos de tábuas: seleta, final, agregadaDatashow e PC  • 29/08 2 Inferência em tábuas de mortalidade Datashow e PC • 05/09 2 Dinâmica de populações e sequência de tábuas Datashow e PC • 12/09 2 Revisão e tirada de dúvidas final Quadro-negro • 12/09 2Prova final  •  Avaliação •  A avaliação será com base em • trabalhos feitos ao final de cada aula (peso 40%) • uma prova final (peso 60%).

8. Tempo de vida futura encurtado (discretizado) Tábuas de mortalidade são frequentemente apresentadas com dados agrupados por anos inteiros. Pode-se definir a variável discreta K(x), dada pelo #anos completados por (x) antes de sua morte. K(x) = parte inteira de T(x). Assim, K(x) tem fç de probabilidade P( K(x) = k ) = P( k < T(x)  k+1 ) = k|qx A função de distribuição de K(x) é uma função escada (K(x) é discreta) com F(k) = 0|qx + ... + k|qx = k+1qx , para k= 0, 1, 2, .. Note que k|qx = kpx - k+1px

14. Comentários sobre a Tábua de Mortalidade americana 1979-1981 • tabela parte de uma raiz (hipotética) l0 = 100 000; • 1% dos recém-nascidos deverá morrer no 1o. ano de vida; • 77% dos recém-nascidos viverá até 65 anos; • Mínimos locais no número de mortes ocorrem aos 11 e 27 anos; • O máximo número de mortes dentro de um grupo é aos 83 anos; • Não há indicação de idade limite pois 21 ainda estão vivos; • lx e dx foram arredondados (sem haver necessidade).

15. Exercícios sobre tábuas de mortalidade - Parte I 1) Usando a tábua de mortalidade americana 1979-1981, qual a probabilidade de (20) i) viver até 100 anos? ii) morrer antes de 70 anos? iii) morrer em sua 10a década? Solução: i) P( T(20) > 100) = P( T > 100 | T > 20 ) = P( T > 100)/ P( T > 20 ) = S(100)/S(20). Mas S(x) = lx / l0 . Logo, S(100)/S(20) = l100 / l20 . ii) P( T(20)  70 ) = P( 20 < T  70 | T > 20 ) = [S(20) - S(70)] / S(20) = 1 - S(70)/S(20). Das contas em (i), S(70)/S(20) = l70 / l20 . iii) P( 90 < T(20)  100 ) = P( 90 < T  100 | T > 20 ) = [S(90) - S(100)] / S(20). Das contas em (i), P( 90 < T(20)  100 ) = ( l90- l100 )/ l20 .

26. Números esperados de anos vividos por sobreviventes • Tx - número esperado de anos vividos pelos sobreviventes até x • Tx = 0 t lx+t x+t dt = 0 lx+t dt • Pode se mostrar que Tx / lx = e0x . • Lx - número esperado de anos vividos entre x e x+1 pelos sobreviventes até x • Lx = 10 t lx+t x+t dt + lx+1 . 1 = 10 lx+t dt • Logo, Tx = Lx + Lx+1 + ... • Vida média entre x e x+1 • ax = E[ T(x) | T(x) < 1 ] = [10 t lx+t x+t dt ] / [10 lx+t x+t dt ] • Logo, Lx = ax dx + lx+1 .

27. Taxa central de mortalidade • mx = [10 lx+t x+t dt ] / [10 lx+t dt ] = ( lx - lx+1 ) / Lx = dx / Lx • Média de x ponderada pela padronização de lx • É uma espécie de versão discreta da força de mortalidade x • Útil na modelagem estatística de tábuas de mortalidade pois fornece a relação entre o número de falecidos entre as idades x e x + 1 e o número de indivíduos que possuem a idade x. • Temos ainda que • mx = dx / [ lx - (dx /2) ] = (dx / lx ) / [ (lx / lx)- (dx /2 lx) ] = 2 qx / ( 2 -qx ). • Daí decorre que qx = 2 mx / (2 + mx ) e px = 2 - mx / (2 + mx ).

28. Se as mortes entre x e x+1 se distribuem uniformemente (lx+t x+t = dx) •  ax = 1/2 • Lx = lx+1 + (1/2) dx= lx - (1/2) dx = ( lx + lx+1 ) / 2 • Tx = (1/2) lx + lx+1 + lx+2 + ... (provar) • e0x = ex + 0,5 • Outras possibilidades podem ser contempladas para a forma de distribuição das mortes entre x e x+1. As mais famosas são: • i) uniforme (vista acima), • ii) exponencial (força de mortalidade constante) • iii) Balducci

36. Existem situações que fazem com que mortalidade seja diferenciada: • indivíduos podem ter sido aprovados em exame médico • indivíduos podem ter deficiência física • etc... • Padrão de mortalidade é alterado e novas probabilidades devem ser utilizadas. • Para explicitar esse ponto, notação também será alterada: • x  [x] , idade na qual indivíduo teve padrão mudado (por exame médico). • (x+u)  ([x]+u) , indivíduo com x+u anos que teve padrão mudado em x • Exemplo: considere 3 indivíduos com 30+i anos: (30+i), ([30]+i) e ([31]+i-1) • 2q30+i é a probabilidade de (30+i) morrer em 2 anos • 2q[30]+i é a probabilidade de [30]+i morrer em 2 anos • 2q[31]+i-1 é a probabilidade de [31]+i-1 morrer em 2 anos • Tábuas construídas para esses indivíduos são ditas tábuas seletas.

37. Espera-se que efeito do exame acabe com o tempo e mortalidade dependa apenas da idade, • isto é, que exista r tal que q[x-j]+r+j  q[x]+r  q[x]+r , para j > 0 • r é o período de seleção. • A sociedade de atuária americana recomenda r=15, isto é, tomar q[x-j]+15+j q[x]+15 • Com isso, tábuas seletas só precisam ter r colunas com probs. q[x]+j, j=1,... , r. • A tábua de mortalidade para ([25]) necessita dos valores de q[25]+j , j=1, ... , 15, 16, ... • Podemos obter • q[25]+j, j=1,... , 15 da tábua seleta • q[25]+15+j, j=1,... das relaçõesq[25]+16  q[26]+15  q41 , q[25]+17  q[27]+15  q42 , ... • Tábuas seletas e finais são obtidas pela truncagem das tabelas seletas • após o período de seleção r. • A coluna contendoq[x]+r(= qx+r) de uma tábua seleta e final é chamada de tábua final.

38. A tabela abaixo contém um trecho da tábua de seguradoras inglesas 1967-1970 [x] 1000 q[x] 1000 q[x]+1 1000 qx+2 l[x] l[x]+1 lx+2 x+2 30 0,43767 0,57371 0,69882 33.829 33.814 33.795 32 31 0,45326 0,59924 0,73813 33.807 33.791 33.771 33 32 0,47711 0,63446 0,79004 33.784 33.767 33.746 34 33 0,50961 0,68001 0,85577 33.760 33.742 33.719 35 34 0,55117 0,73655 0,93663 33.734 33.715 33.690 36 O período de seleção usado nessa tábua foi r=2. Note que l[x+2] l[x+1]+1 lx+2 e portanto é razoável supor que l[x]+2= lx+2 . Entretanto q[x+2] <q[x+1]+1 <qx+2 são bem diferentes e, embora todas se refiram a (32), ordem faz sentido. Tábua agregada leva em conta apenas a idade dos indivíduos.

39. Exercício sobre tábuas seletas Com base na tábua das seguradoras inglesas, calcule 2q[30], 5p[30] , 1|q[31] e 3q[31]+1 Solução: i) 2q[30] = P( ([30]) sobreviver 2 anos) = l32 / l[30] = 33.795 / 33.829 = 0,99899. ii) 5p[30] = P( ([30]) sobreviver 5 anos) = l35 / l[30] = 33.719 / 33.829 = 0,99675. iii) 1|q[31] = P( ([31]) morrer em seu 32o. ano) = ( l[31]+1 - l[31]+2 ) / l[31] Como l[31]+2 = l33 ., 1|q[31] = ( 33.791 - 33.771 ) / 33.807 = 0,00059. iv) 3q[31]+1 = P( ([31]+1) morrer em 3 anos) = ( l[31]+1 - l[31]+4 ) / l[31]+1 Como l[31]+4 = l35 ., 3q[31]+1 = ( 33.791 - 33.719) / 33.791 = 0,00213. ,

41. Inferência em tábuas de mortalidade (cont.) • Normalmente em tábuas, não há censura  qx = dx / lx . • Supondo que as mortes na idade [x] estão concentradas em • x + ½, o tempo de exposição na idade x é • Ex = lx+1 . 1 + dx . ½ = lx - dx . ½ • Supondo que a taxa de mortalidade é constante em cada idade (x+s = x+1/2 , para 0 < s < 1), estimamos • x+1/2 = dx / Ex  qx = 1– exp( - x+1/2 ) = 1– exp(- dx / Ex). • Observações: • Os 2 estimadores de qx são parecidos pois 1 – exp(-z)  z, se z for pequeno • Se a taxa de mortalidade é constante para cada idade, • a verossimilhança da idade x é (x+1/2 )dx exp( - x+1/2 Ex) •  dx / Ex é EMV de x+1/2 • ,

42. Para usar métodos analíticos de inferência, precisamos assumir distribuição para v.a.’s dx e Ex (ou lx). • Costuma-se assumir Ex (ou lx) conhecidos. • Existem 2 opções mais comuns para dx: • dx  Poisson (x+1/2 Ex)  da verossim. Acima • dx  Binomial ( lx , qx ) • Na prática, não há muita diferença nos 2 caminhos; • Se lx é grande e qx é pequeno (normalmente verdade) então • Binomial  Poisson, • lx Ex • qx x+1/2

43. Intervalos de confiança (caminho Poisson) Assumindo o caminho Poisson, podem-se construir I.C.’s para x+1/2 a partir de I.C.’s para  = x+1/2 Ex. Exemplo: suponha dx = 19 eEx = 2000, para algum x O I.C. 90% para  é 12,44 <  < 27,88 (da tabela do Gerber) Dividindo todos os termos por 2000, I.C. 90% para x+1/2 é 0,00622 < x+1/2 < 0,01394.  1,00624 < exp ( x+1/2 ) < 1,01404  0,98616 < exp ( - x+1/2 ) < 0,99380  0,00620 < 1 - exp (-x+1/2) < 0,01384  I.C. para qx Note semelhança entre os I.C.´s de x+1/2 e qx

44. Intervalos de confiança (caminho binomial) Assumindo o caminho binomial, podem-se construir I.C.’s para qx a partir da aproximação normal dx /lx normal (qx , qx (1- qx )/lx ). Daí, obtém-se o I.C. 95% para qx dado pelos limites (dx /lx)  1,96 [ dx (lx - dx )/ (lx)3 ]1/2 Para I.C. 99% troca-se 1,96 por 2,576. Exemplo: suponha dx = 19 elx = 2000, para algum x dx /lx = 0,0095 dx (lx - dx )/ (lx)3 = 19 (2000-19)/20003 = (0,002169)2 Assim, I.C. 95% para qx tem limites 0,0095  1,96 . 0,002169  I.C. 95%: 0,00525 < qx < 0,01375 Aproximação normal funciona bem para lx grandes.

45. Abordagem Bayesiana (caminho Poisson) Usando Poisson, a verossimilhança da idade x é dada por l(x+1/2 ) = (x+1/2 )dx exp( - x+1/2 Ex) Supondo prioris x+1/2  Gama ( x , x ), obtém-se, pelo teorema de Bayes, a posteriori x+1/2 | dados  Gama ( x + dx , x + Ex). A média a posteriori de x+1/2 é (x + dx ) / ( x + Ex). A média a posteriori de qx = 1– exp( - x+1/2 ) é 1–[x/(x + 1) ]x. Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construídos, a partir da distribuição Gama. Intervalos de credibilidade para qx podem ser construídos, a partir dos intervalos para x+1/2 .

46. Abordagem Bayesiana (caminho Binomial) Usando binomial, a verossimilhança da idade x é dada por l(x+1/2 )  (qx )dx (1 - qx )lx -dx Supondo prioris qx  Beta ( x , x ), obtém-se, pelo teorema de Bayes, a posteriori qx | dados  Gama ( x + dx , x + lx). A média a posteriori de qx é (x + dx ) / ( x + lx). Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construídos, a partir da distribuição Gama. Intervalos de credibilidade para qx podem ser construídos, a partir dos intervalos para x+1/2 .

47. Graduação • Os valores de qx estimados por todos os procedimentos acima não levam em conta nenhuma relação entre seus sucessivos valores. • A decorrência disso é que eles podem ter grandes e indesejáveis flutuações, principalmente nas idades mais avançadas. • Além disso, não levam em conta possíveis formas determinísticas (leis de mortalidade) que pode se querer impor. • A idéia da teoria de graduação, introduzida por Whittaker em 1920, visa justamente tratar essas questões. • Veremos mais tarde como isso pode ser feito.

48. Forças de mortalidade proporcionais Sejam px+1/2 = f. m. para idade x da tábua padrão x+1/2 = f. m. para idade x da tábua de interesse Suponha que tábua de interesse tenha força de mortalidade proporcional à uma tábua padrão, isto é, x+1/2 = f px+1/2 , para toda idade x. Temos que dx  Poisson (x+1/2 Ex) = Poisson (fpx+1/2 Ex). Assim, d = x dx Poisson (f xpx+1/2 Ex). Portanto, f pode ser estimado por (x dx)/(xpx+1/2 Ex) e e s+1/2 pode ser estimado por ps+1/2 .(x dx)/(xpx+1/2 Ex) Intervalos de confiança para f (e x+1/2) podem ser construídos.

49. Múltiplas causas de morte • Considere a decomposição da morte pelas suas m causas. • Temos assim, para cada idade x, • m forças de mortalidade 1,x+1/2 , ... , m,x+1/2 • m prob. condicionais de morte q1,x , ... , qm,x • m contagens de mortos d1,x , ... , dm,x • Os E.M.V. de j,x+1/2 são dados por dj,x / Ex , j = 1, ... , m. • Analogamente, os E.M.V. de qj,x são dados por • (dj,x/dx) [ 1 – exp ( - dx/Ex ) ], j = 1, ... , m. • Intervalos de confiança para j,x+1/2e qj,x podem ser construídos. • Estimadores e intervalos Bayesianos também podem ser obtidos.