Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto ANO 2010

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento RemotoANO 2010 Camilo DalelesRennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

Regressão Linear Simples Análise de Regressão “método estatístico que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis de modo que uma variável pode ser estimada (ou predita) a partir da outra ou das outras” relação Neter, J. et al. Applied Linear Statistical Models. McGraw Hill, 1996

P = 4 L Relação funcional x Relação estatística As variáveis podem possuir dois tipos de relações: • Funcional: a relação é expressa por uma fórmula matemática: Y = f(X) Ex: relação entre o perímetro (P) e o lado de um quadrado (L) Todos os pontos caem na curva da relação funcional

Relação funcional x Relação estatística • Estatística:não há uma relação perfeita como no caso da relação funcional. As observações em geral não caem exatamente na curva da relação. Ex: relação entre o peso (P) e a altura (A) de uma pessoa A existência de uma relação estatística entre a variável dependente Y e a variável independente X não implica que Y dependa de X, ou que exista uma relação de causa-efeito entre X e Y.

Y Y Y Y X X X X Medida de Associação r = 0,9 r = 0,3 r = 0 Coeficiente de Correlação (de Pearson) mede o grau de relação linear entre X e Y r = - 0,9

Y Y Y Y ? ? X X X X Coeficiente de Correlação • Interpretações errôneas dos coeficientes de correlação • Um alto coeficiente de correlação nem sempre indica que a equação de regressão estimada está bem ajustada aos dados. Y X

Y Y A Y X X X B Y X Coeficiente de Correlação • Interpretações errôneas dos coeficientes de correlação • Um coeficiente de correlação próximo de zero nem sempre indica que Xe Y não são relacionadas.

Análise de Regressão • Determinar como duas ou mais variáveis se relacionam. • Estimar a função que determina a relação entre as variáveis. • Usar a equação ajustada para prever valores da variável dependente. • Regressão Linear Simples • Yi= 0 + 1Xi + i

i Inclinação populacional Intercepto populacional Erro Aleatório Variável Dependente Variável Independente Modelo de Regressão Linear Simples E(Y) = 0 + 1 X Y 1 Coeficiente angular b0 X

Estimação dos parâmetros Em geral não se conhece os valores de 0, 1e 2 Eles podem ser estimados através de dados obtidos por amostras. O método utilizado na estimação dos parâmetros é o método dos mínimos quadrados, o qual considera os desvios dos Yi de seu valor esperado: i = Yi – (0 + 1 Xi) Em particular, o método dos mínimos quadrados requer que consideremos a soma dos ndesvios quadrados, denotado por Q:

Estimação dos parâmetros De acordo com o método dos mínimos quadrados, os estimadores de 0 e 1 são aqueles, denotados por b0e b1, que tornam mínimo o valor de Q. Derivando Igualando-se essas equações a zero obtém-se os valores b0e b1 que minimizam Q: (resíduo)

Y X Propriedades da equação de regressão 1) 2) é mínima 3) 4) A reta de regressão passa sempre pelo ponto

Assim, os desvios de Yidevem ser calculados em torno de sua própria média estimada , e a soma dos quadrados, denominada soma de quadrados dos resíduos será: Estimação da Variância do Erro (2) A variância dos erros i,, denotada por 2, é um parâmetro do modelo de regressão, e necessita ser estimada. A variância de uma v.a. qualquer é calculada pela soma dos desvios quadráticos dividido pelo no de graus de liberdade. O cálculo da variância 2 é feito da mesma maneira. É importante notar que a variância dos Yi é também 2. Entretanto, cada Yivêm de distribuições de probabilidade diferentes, com diferentes médias dependendo do nível de Xi.

Estimação da Variância do Erro (2) Soma de quadrados dos resíduos (SQRes): A soma dos quadrados dos resíduos tem n – 2 graus de liberdade, pois 2 graus de liberdade foram perdidos por estimar b0 e b1. Portanto, o estimador de 2, denominado de Quadrado Médio do Resíduo (QMRes), é dado pela razão entre a soma dos quadrados dos resíduos e (n – 2): Pode ser demonstrado que:

Y ? X Inferência em Análise de Regressão Considere o modelo: Yi = 0 + 1 Xi+ i  ~ N(0;2)e COV(i,j)= 0 IC para 0 e 1 IC para Ynovo 0 = 0 ? 1 = 0 ? (teste de hipótese) se H0 verdadeira E(t) = 0 se H0 falso E(t) <<<< 0

Yi 0 20 40 60 80 Abordagem da Análise de Variância na Análise de Regressão Y SQTo = SQReg + SQRes Coeficiente de determinação 0  R2  1 Interpretação: R2 mede a fração da variação total de Y explicada pela regressão. X

Abordagem da Análise de Variância na Análise de Regressão se H0 verdadeiro E(F) = 1 se H0 falso E(F) >>>> 1

s s2 valor-P Análise de Regressão no EXCEL OBS: Para regressão linear simples: teste F = teste t bilateral F = t2

Modelos Linearizáveis Modelo Padrão: Yi= 0 + 1Xi + i exponencial potencial logaritmo potência inverso

Resíduo = Análise de Resíduos

Resíduo Padronizado = Análise de Resíduos

“outlier” “ideal” 2não constante não linearidade não independência tempo Análise de Resíduos

Regressão passando pela origem (0 = 0) (R2 pode ser negativo!)

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