Mantıksal Vekiller

1. Mantıksal Vekiller

2. Konular • Bilgi Tabanlı Vekiller • Mantık – modeller vegerektirme (entailment) • Önerme (ikili) mantığı-Propositional (Boolean) logic • Yüklemler Mantığı • Çıkarsama (Inference) kuralları • İleri zincirleme (forward chaining) • Geri zincirleme (backward chaining) - Çözünürlük (resolution)

3. Basit Bilgi Tabanlı Vekil • Basit Bilgi Tabanlı Vekil -Durumları, faaliyetleri ve s. bilgi olarak İfade edebilmeli;-Yeni bilgiler oluştura bilmeli;-Dünyanın özelliklerini mantıksal çıkara bilmeli;-Edindiği bilgilere uygun hareketler yapabilmeli

4. Vekilin Bilgi Tabanı • Vekilin bilgilerden yararlana bilmesi için iki modüle ihtiyacı vardır: • bilgitabanına • bilgi çıkarımmodülüne (inference engine). • Bilgi tabanı formal dilde ifade edilmiş cümleler kümesidir. Bilgi tabanının içeriği alana özgüdür • Bilgi tabanının içeriği: • vekilin önceden kaydedilmiş bilgileri (olgular ve kurallar), • bu bilgilerden yararlanmakla ve dış dünyanı algılamaları sonucu edindiği, öğrendiği bilgiler • Bilgi tabanının içeriği zamana göre ve vekilin tüm yaşamı boyunca öğrenme süresince değişmektedir

5. Çıkarsama Modülü • Vekil, ne yapacağı hakkında karar vermek için gereken bilgileri bilgi tabanından edine bilmelidir. • Bu, çıkarsama kuralları esasında çıkarsama modülünde gerçekleştirilir. • Çıkarsama modülü alana bağımsız algoritmaları içerir.

6. Bilgi Tabanlı Vekil Vekilin Dünyası Vekil Mantıksal Çıkarsama Bilgi Tabanı

7. Vekilin tanımlanması • Vekiller bilgi seviyesinde tanımlana bilmelidirler • (Nasıl çalıştırıldığına bakmaksızın neyi bildiklerinin belirlenmesi) • Veya çalışma seviyesinde tanımlana bilmelidirler • (Bilgi tabanında, bilgilerin ifade olundukları veri yapılarının ve onlar üzerinde işlem yapan algoritmaların belirlenmesi)

8. Basit Bilgi Tabanlı Vekil Programı Bilgi Tabanında (KB) başlangıçta ön bilgiler tutuluyor. Her zaman anında vekil programı iki iş yapıyor: 1) Bilgi tabanına neler algıladığını söylüyor (TELL). 2) Bilgi tabanından ne yapmak gerektiğini soruyor (ASK). Hareket seçildikten sonra program bu seçimi kaydediyor ve hareketi gerçekleştiriyor. Gerçekleştirme yeni TELL komutu ile bilgi tabanına bildiriliyor.

9. Başarım ölçümü altın +1000 puan, ölmek -1000 Her adım -1 , okun kullanılması -10 Ortam - Vampire komşu odalar kokuyor Kuyuya komşu kareler rüzgarlıdır Altın olan karede parıltı var Algılar:Esinti, Parıltı, Koku, Gürültü Tepkiler:Sola git, Sağa git, Yukarı git, aşağı git, Altını al, Ok at Vampir dünyasının PEAS tasviri

10. Vampir dünyasının nitelikleri • Tam izlenilebilirHayır – yalnız yerel algılama • BelirlenmişEvet – sonuçlar kesin belirlenmiş • EpizodikHayır – hareketlerin her seviyesinde ardışıklık • StatikEvet – vampirler ve kuyular hareket etmezler • DiskretEvet • Tek-vekil?Evet

11. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

12. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

13. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

14. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

15. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

16. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

17. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

18. Vampir dünyasında dolaşma B(breeze)-esinti P(pit)-kuyu S(stench)-koku G(Glitter)-parıltı

19. Bilginin mantıksal tasvirinin ve sonuç almanın temel kavramları • Mantık (Logic)- bilginin tasviri için kullanılan ve sonuçların ifade edildiği biçimsel dil • Cümleler, tasvir dilinin sözdizimine (Syntax) uygun olarakifade edilir. Sözdizimine uygun ve anlaşılır biçimde ifade edilmiş cümle iyi biçimlendirilmiş cümledir ( well formed sentence) Örnekler: X+y=4 (wfs) x4y+= (wfs değil)

20. Bilginin mantıksal tasvirinin ve sonuç almanın temel kavramları • Cümleler aynı zamanda “anlamı” (semantics)ile tanımlanıyor • Anlam, her bir mümkün dünyada (cümlenin ala bileceği değerler ortamı) cümlenin gerçekliğini belirler. • Örnekler: x+2 ≥ y cümledir; x2+y > {} cümle değil. Bu söz dizimidir. Örnek cümlenin anlamı: • eğer x+2 sayısı y sayısından küçük değilse x+2 ≥ y doğrudurx = 7, y = 1 koşulunun sağlandığı dünyada x+2 ≥ y doğrudur • x = 0, y = 6 koşulunun sağlandığı dünyada x+2 ≥ y yanlıştır

21. Model • Model- cümlenin doğru veya yanlışlığını tespit eden matematik soyutlamadır. • Eğerαcümlesi her hangi m modelinde doğru ise m, α cümlesinin modelidir • M(α) - α –nın tüm modelleri kümesidir • x+y= 4cümlesini doğru yapan {x,y} çiftlerine tüm mümkün atamalar bu cümlenin modelleridir. • x ve y tam sayılar ise, bu cümlenin modelleri: • {0,4}, {-3, 7}, {2,2}…

22. Mantıksal Sonuç (Entailment) • Mantıksal Sonuç- bir sonuçtan diğer bir sonucun mantıksal alınmasıdır: α ╞ β • α ‘nın doğru olduğu tüm modellerde β doğru ise,β cümlesi, α cümlesinin mantıksal sonucudur. Yani, α ’nin doğru olması, β‘nın da doğru olması anlamını veriyor . • «X çiçektir» önermesi «X güldür» önermesinin mantıksal sonucudur. Çünkü tüm güller çiçektir. gül╞çiçek • X ve Y’nin tüm eksi olmayan değerlerinde, yani, tüm (x>=0,y>=0) modellerinde x+y>=0 cümlesi, X 2 + Y 2 >=0 cümlesinin mantıksal sonucudur: X 2 + Y 2 >=0 ╞x+y>=0

23. Vampir dünyasında mantıksal sonuç alma [1,1]’de vekili endişelendirecek bir durum algılanmadıktan sonra sağa hareket ve [2,1]’de rüzgar olması durumu Yalnız kuyuları dikkate almakla, Bilgi Tabanı (KB) için tüm mümkün modeller 3 Boolean seçim 8 mümkün model eğer M(KB)  M(α) ise KB ╞ α 1,1 2,1

24. Vampir Dünyasının Modelleri Bilgi Tabanı (KB): olgular 1,1’de rüzgar ve kuyu yoktur 2,1’de rüzgar var Kurallar: Rüzgarlı kareye komşu karelerin en azından birinde kuyu vardır. Vekilin bulunduğu kareler (1,1 ve 2,1) ve bu karelere komşu kareler hakkında bilgiler vampir dünyasının 8 modelini oluşturur. Kuyular siyah kare ile gösterilip. 1,1 2,1

25. Vampir Dünyasının Modelleri • KB = vampir dünyasının kuralları+gözlemler 1,1 2,1 Bilgi tabanında vampirin diğer 5 modeli hakkında bilgi yoktur

26. Vampir Dünyasının Modelleri • KB = vampir dünyasının kuralları + gözlemler • α1 = "[1,2] güvenlidir“ sonucunu vekilin bilgi tabanından ala bilir miyiz?, Başka, değişle KB, α1 cümlesini mantıksal doğuruyor mu? Buna model yoklaması (model checking) yöntemi ile cevap buluna bilir: KB ╞ α1 • Model yoklamasında bilgi tabanındaki tüm modeller taranarak, α1 ‘nın çıkarıla bileceği öğrenildi. 1,2 1,1 2,1

27. Vampir Modelleri 2,2 KB = vampir dünyasının kuralları + gözlemler α2 = "[2,2] güvenlidir” (kuyu yoktur)“ KB ╞ α2 Bilgi tabanı α2 cümlesini geçerli yapmaz, çünkü KB’nin doğru olduğu iki modelde bu cümle doğru değildir; 2,2’de kuyu olmamasını, yani, bu karenin güvenli olmasını, yalnız bilgi tabanındaki bilgilerle kesin söyleye bilmeyiz. 1,1 2,1

28. Modellerin taranması ile mantıksal çıkarım algoritması • Tüm modellerin derinine taranması geçerli ve tamdır • n simge için zaman karmaşıklığıO(2n), uzay karmaşıklığıO(n)

29. Mantıksal Çıkarsama (Inference) • Mantıksal sonuç yöntemi, bir sonuca göre diğerinin çıkarıla bildiğini tanımlar. Fakat bu çıkarımın nasıl gerçekleştiğini göstermez. Bunun için mantıksal çıkarsama yöntemleri uygulanmaktadır. • 2 yöntem: • Model yoklaması -KB’nin doğru olduğu tüm modellerde α doğrudur” cümlesini yoklamak için tüm mümkün modellerin taranması (mantıksal sonuçalma yolu ile) • Mantıksal çıkarsama kuralları (sonraki konular) • Mantıksal çıkarsama böyle ifade edile bilir: • KB ├i α α cümlesi, i yordamı ile KB’den çıkarıla bilir

30. Önermeler mantığı-Propositional logic • Önermeler mantığı temel mantıksal fikirleri ifade eden en basit mantıktır. • Önermeler mantığında her cümle bir önermedir. Önermeler genelde harflerle gösterilir. • “Ali iyi öğrencidir”, “Fatma çok iyi öğrencidir”, “Mehmet’in babası Ahmet’tir” önermeleri uygun olarak, A,F, M gibi tanımlana bilir. • Her bir önerme gerçek (doğru veya yanlış) değer alır. • Önermeler mantığının ifade gücü zayıftır. Örneğin, ilk iki cümle anlamsal olarak çok yakındır. 3. cümle ise farklıdır. Önermeler mantığı bu farkı dikkate alamıyor.

31. Önermeler mantığı cümleleri • eğer S cümle ise, S cümledir (değil, tersini alma-negation) eğer S1ve S2cümle ise, S1 S2cümledir (ve bağlacı-conjunction) eğer S1ve S2cümle ise, S1 S2cümledir (veya bağlacı-disjunction) eğer S1ve S2cümle ise, S1 S2cümledir (koşul-implication) (~S1 v S2) • eğer S1ve S2cümle ise, S1 S2cümledir (iki yönlü koşul -biconditional) Basit (atomik) cümle- tek bir önermeden oluşur. Basit cümleler arasında mantık bağlayıcıları kullanmakla birleşik cümleler oluşturulur P1,2  (P2,2 P3,1) = doğru(doğruyanlış) = doğrudoğru= doğru

32. gerçeklik tablosu Gerçeklik tablosu, mantıksal ifadenin argümanlarının alabileceği değerlere göre, ifadenin değerini hesaplayan tablodur. Özellikle, geçerlik tabloları bir önerme ifadesinin, tüm yasal giriş değerleri için doğru olup olmadığın, yani mantıksal olarak geçerliliğini söyler.

33. Vampir dünyasının önermeler mantığında ifadesi Önermeler: Pi,j– doğrudur; eğer [i, j] ‘de kuyu varsa. Bi,j -doğrudur; eğer [i, j]’de rüzgar varsa. Kural: “Kuyular komşu karelerde rüzgara neden oluyor“  P1,1 B1,1 B2,1 B1,1 (P1,2 P2,1) B2,1  (P1,1 P2,2  P3,1)

34. Vampir dünyasının basit Bilgi Tabanı R1:  P1,1 /* [1,1]’de kuyu yoktur */ R4: B1,1 /* [1,1]’de rüzgar yoktur */ R5: B2,1 /* [2,1]’de rüzgar var */ /* Kuyular komşu karelerde rüzgara neden oluyor */R2: B1,1  (P1,2  P2,1) R3: B2,1  (P1,1  P2,2  P3,1)

35. Vampir dünyasında (1,2 odası güvenlidir) cümlesinin mantıksal çıkarımı için gerçeklik tablosu Önceki örneklerde gösterilmiş kareler için yalnız rüzgar ve kuyu olup-olmaması değerlendirmeleri dikkate alınmıştır. B rüzgarı, P-kuyuyu simgeler. Örnek anlatım: 1. satırda 1,1 ve 2,1 karelerinde rüzgar olmadığı, diğer karelerde ise kuyu olmadığı ifade edilmiştir. Bilgi tabanında böyle bir bilgi yoktur. “1,2 ‘de kuyu yoktur” doğrudur. Yalnız okla gösterilmiş modeller bilgi tabanında vardır. KB o halde doğrudur ki, R1-R5 kuralları doğrudur

36. Mantıksal eşitlik ifadeleri Eğer aynı cümleler aynı modellerde doğru ise onlar mantıksal eşittirler: α ≡ ß iff α╞ βand β╞ α Commutativity-yerdeğişme Associativity-birleşme Double negation elimination- ikikat değil elemesi Contraposition-zıtlık İmplication elimination “koşul” elemesi Biconditional elimination –iki yönlü koşul elemesi Distributivity-dağılma

37. Önerme örnekleri “Bütün köpekler vahşidir” önermesinin tersi şunlar olabilir: • Bütün köpeklerin vahşi olması söz konusu değildir. • Köpeklerin hepsi vahşi değildir. • Bazı köpekler vahşi değildir. “Hiçbir köpek vahşi değildir” önermesi “Bütün köpekler vahşidir” önermesinin tersi değildir. • Tersini alma işleminde, ilk ifadenin doğru olduğu her durumda ikinci ifade yanlış olmalıdır (veya tersi) “Bütün köpekler vahşidir” önermesi sadece bir köpeğin vahşi olduğu durumda yanlıştır, ancak “Hiçbir köpek vahşi değildir” önermesi bu durumda doğru değildir. Açıklaması:Örn., A köpeği vahşi değilse 1. önerme yanlış değer almış olacak. Onun tersi «doğru» değer almalıdır. Ama 2. önerme de bu durumda «yanlış» değer almış oluyor, yani bu cümleler ters cümleler değiller.

38. Mantıksal çıkarsama kuralları • Modus Ponens eğer p=>q doğru ise ve p doğru ise, o zaman q doğru olmalıdır • Modus Tolens eğer p=>q doğru ise ve q yanlış ise, p yanlış olmalıdır • Ve_eleme (And-Elimination) eğer p*q doğru ise, p doğrudur ve q doğrudur • Ve_ya eleme (Or-Introduction) eğer p doğru ise, o zaman p+q doğrudur • İki kat değil elemesi (Double-Negation Elimination) Değil’in değil’i artıdır

39. Örnekler p, q, ve r önermelerdir: p: Sınava gireceksin q: Kitaptaki tüm alıştırmaları yaptın r:Dersten A aldın. Bu önermeleri kullanmakla aşağıdaki cümleleri ifade edin: 1.Dersten A aldın, ama kitaptaki tüm alıştırmaları yapmadın • Dersten A almak için sınava girmek gerekmektedir. • Sınava girmek ve kitaptaki tüm çalışmaları yapmak , dersten A almak için yeterlidir Çözüm 1 r∧¬q 2. r⇒p 3. p∧q⇒r

40. Çözünürlük (Resolution) Bağlaçlı normal biçim (Conjunctive Normal Form (CNF) cümlelerin ayırmalarının birleşmesi (conjunction of disjunctions of literals clauses) örnek: (A B)  (B C D) • Çözünürlük çıkarsama kuralı (Resolution inference rule): l1… lk, m1 … mn verilmişse ve li vemj zıt değerli simgeler ise l1 … li-1 li+1  … lkm1 … mj-1 mj+1... mn doğrudur. (“, “ “ve” anlamındadır) Örnek:P1,3P2,2, P2,2 ifadesinden P1,3 çıkıyor, çünki (P2,2 veP2,2 zıttır)

41. İfadelerin bağlaçlı normal biçime (CNF) dönüştürülmesi B1,1 (P1,2 P2,1) örneği üzerinde •  aradan götürülmeli, α  β ifadesini (α  β)(β  α) ile değişmeli. (B1,1 (P1,2 P2,1))  ((P1,2 P2,1)  B1,1) 2. aradan götürülmeli, α  β ifadesini α β ile değişmeli. (B1,1 P1,2 P2,1)  ((P1,2 P2,1)  B1,1) 3. , Morgan kuralları ve iki kat değil(double-negation) kullanılmakla ifade içine alınmalı: (B1,1  P1,2 P2,1)  ((P1,2 P2,1)  B1,1) 4. Dağılma (distributivity) kurallarınıuygulamalı: (B1,1 P1,2 P2,1)  (P1,2  B1,1)  (P2,1 B1,1)

42. Çözünürlük algoritması • Giriş:aksiyomlar denen öneriler ve amaç • Çıkış: aksiyomlardan amacı almak mümkün mü? • Aksiyomlar ve eksi amaçtan oluşan S kümesini oluşturmalı • S’in her bir öğesini bağlaçlı normal biçimde (CNF) ifade etmeli • a) her bir “eğer … o halde…” ifadesini DEGİL ve VEYA işlemleri ile ifade etmeli. • (“Eğer a ise b” ifadesini ~a v b gibi ifade etmeli) • b)Alınmış cümleleri aşağıdaki biçimde ifade etmeli (öneriler “değil” biçiminde de ola bilir) • 3. Tekrarlamalı • a) S kümesinden her hangi iki cümle seçmeli; bu cümleler zıt değerli simge içermelidirler • b) bu iki cümleyi çözmeli (Sonuç cümleye çözücü (resolvent) denir). • O zamana dek ki, boş küme alınacak veya ilerleme mümkün olmayacak

43. Çözünürlük algoritmasına örnek • Bilgi tabanında aşağıdaki cümleler vardır: • Havanın nemliği yüksektir veya gökyüzü bulutludur • Eğer gökyüzü bulutlu ise o halde yağmur yağacak • Eğer havanın nemliği yüksek ise hava sıcaktır • Hava sıcak değil • Amaç: yağmur yağacak • Çözünürlük teoremi ile amacın bilgi tabanından çıkarıla bileceğini kanıtlayalım. • İspatı:p- nemlik yüksektir; q-gökyüzü bulutludur; r-yağmur yağacak; s-hava sıcaktır. • Bu cümlelerin CNF biçimleri böyle olacak: • Eksi amaç:~r. S kümesinde bu 5 cümle vardır. Sonra çözünürlük algoritması ile uygun çözüm ağacı oluşturuluyor. Sonuçta null cümleye ulaştığımız için amaç ispat edilmiş sayılıyor

44. Çözünürlük örneği KB = (B1,1 (P1,2 P2,1))  B1,1 Amaç: α = P1,2 ters amaç KB ifadesi önce sadeleştirilir( “ise” yerine mantık bağlayıcıları kullanılır. Sonra ise De Morgan kuralı uygulanır. (dönüştürme sonuçları 41.ci sayfada)

45. Vampir dünyasının önermeler mantığında ifadesi P1,1 W1,1(1,1) odasında vampir yoktur Bx,y (Px,y+1 Px,y-1 Px+1,y Px-1,y) Sx,y (Wx,y+1 Wx,y-1 Wx+1,y Wx-1,y) Sx,y- (x,y) odasında koku var (x ve y yerine her kuralda sayılar yazılmalıdır) W1,1 W1,2 …  W4,4 W1,1W1,2 W1,1W1,3 … 64 tane farklı önerme simgesi, 155 cümle

46. Temel Kavramlar • Sıfır tertip yüklemler mantığı • Birinci tertip yüklemler mantığı –bilgi ifadeetme biçimi • Niceleyiciler • Mantıksal Çıkarım Kuralları • Çözünürlük yöntemi

47. YÜKLEMLER MANTIĞI

48. Temel kavramlar • 0-tertip yüklem veya önerme hesabı (propositional calculus) veya önermeler mantığı • Her cümle, önerme simgesi denen bir simge ile ifade edilir: • Ali iyi öğrencidir • Fatma çok iyi öğrencidir • Ahmet’in babası Mehmet’tir Bu cümleleri uygun olarak A,F,M ile ifade edebiliriz • A,F,M- önerme simgeleridir ve gerçek değerler (doğru veya yanlış) alıyorlar • 0- tertip yüklemin ifade gücü zayıftır.

49. Önermeler mantığının artı ve eksi yönleri Önermeler mantığı tanımlayıcıdır (declarative)Önermeler mantığı düzenseldir (compositional): B1,1 P1,2‘nin anlamı B1,1ve P1,2’ ‘nin anlamlarından alınıyor Önermeler mantığının anlamı bağlamdan bağımsızdır (context-independent)(doğal dilde anlam bağlama bağlıdır) Önermeler mantığının ifade gücü doğal dilden farklı olarak çok sınırlıdır Örneğin, bunu söylemek mümkün değil: “kuyular, komşu karelerde rüzgarlara neden oluyor“; bunun için her kare için bir cümle yazmak zorundayız

50. Birinci tertip mantık (First Order Logic-FOP) Önermeler mantığı dünyanın olgulardan oluştuğunu varsayıyor Birinci tertip mantık ise doğal dilde olduğu gibi dünyanın nesnelerden, ilişkilerden,işlevlerden oluştuğunu varsaymaktadır:Nesneler (isim ve isim birleşmeleri): insanlar, atlar, sayılar, renkler, oyunlar,savaşlar… İlişkiler (fiil ve fiil birleşmeleri): kırmızıdır, kardeşidir, … ‘dan büyüktür, … aralığındadır, … İşlevler (verilmiş nesne için tek bir “değer” veren ilişki) : en iyisi, üçüncüsü, babası…