1 / 62

Aplicaţii ale integralei definite

Aplicaţii ale integralei definite. Grupa 1 – Aria suprafeţelor plane Subgraficul unei funcţii continue şi pozitive Aria subgraficului unei funcţii continue şi pozitive Aria suprafeţei plane cuprinsă între subgraficele a două funcţii continue. G rupa 2 - Arii Aria cercului

watson
Download Presentation

Aplicaţii ale integralei definite

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Aplicaţii ale integralei definite

  2. Grupa 1 – Aria suprafeţelor plane Subgraficul unei funcţii continue şi pozitive Aria subgraficului unei funcţii continue şi pozitive Aria suprafeţei plane cuprinsă între subgraficele a douăfuncţii continue Grupa 2- Arii Aria cercului Aria pătratului Aria dreptunghiului Aria trapezului Grupa 3- Volumul corpurilor de rotaţie Volumul conului Volumul cilindrului Volumul sferei Volumul trunchiului de con Grupa 4 –Diferite probleme cu volumul unui corp de rotaţie Grupa 5 - Probleme din diverse domenii care se rezolvă cu ajutorul integralei definite Probleme propuse

  3. Prima pagina Aplicaţii ale integralei definite Cum ar fi viaţa mea fără matematică? Aria suprafeţelor plane

  4. Prima pagina 1.Aria unei suprafeţe plane [a,b] Fie f: [0; ) o funcţie continuă. Reamintim cele două moduri de abordare a problemei ariei mărginită de curba y=f(x), axa Ox şi dreptele verticale x=a şi x=b(fig.1 a) Figura 1 Pentru a calcula aria A se împarte figura în benzi verticale(fig1 b) şi fiecare bandă se aproximează cu aria unui dreptunghi. În final se face suma ariilor dreptunghiului. Această operaţie ne dă o aproximare a ariei A, care este cu atât mai bună cu cât numărul dreptunghiurilor este mai mare.

  5. Prima pagina = 2. Subgraficul unei funcţii continue si pozitive Dacă f:[a,b] R este o funcţie continuă, pozitivă, atunci mulţimea cuprinsă între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=a şi x=b se notează cuşi se numeşte subgraficul funcţiei f, figura 1.

  6. Prima pagina R este o funcţie continuă si pozitivă, iar: = , are arie şi aria ( ) = 2.2. Aria subgraficului unei funcţii continue. Teoremă. Dacă f:[a,b] este subgraficul funcţiei f, atunci mulţimea Comentarii • Dacă f(x) 0, graficul funcţiei f este situat • deasupra axei Ox aria ( ) 0; 2) Dacă f(x) 0, graficul funcţiei f este situat sub axa Ox Aria ( ) = - .

  7. Prima pagina dx= dx= 3. Aria subgraficelor. Probleme rezolvate Exemplu Să se calculeze aria figurii determinate de graficul funcţiei f:[-2,2]→R,f(x)=x², axa 0x şi dreptele x=-2, x=2 (Fig 3). Soluţie. Aria cerută este egală cu aria Observaţie Regiunea haşurată este simetricăîn raport cu axa 0y (funcţia este pară). Deci aria

  8. Prima pagina a) 2 0 2 b) Aria 3 2 Cerinţă: Să se determine ariile subgraficelor funcţiilor: Figura 5 Rezolvare: Rezolvare: Figura 6 Aria

  9. Prima pagina c) d) Rezolvare: Figura 7 Aria Rezolvare: Aria Figura 8

  10. Prima pagina = 4. Aria suprafeţei plane cuprinsăîntre graficele a două funcţii continue Dacă f,g: [a,b] R sunt funcţii continue astfel încât: f(x) g(x), x [a,b] atunci mulţimea cuprinsă între graficele funcţiilor f şi g şi dreptele de ecuaţii x=a şi x=b notată cu = are arie si aria Figura 12 1.În general dacă f,g: → R sunt funcţii continue atunci aria suprafeţei plane cuprinsăîntre graficele funcţiilor f, g şi dreptele de ecuaţii x=a ,x=b este aria = . 2. Dacă , atunci aria

  11. Prima pagina 4.1. Aria suprafeţei plane cuprinsăîntre graficele a două funcţii continue. Probleme rezolvate 1. Să se determine aria suprafeţei plane mărginite de graficele funcţiilor Soluţie: Reprezentările geometrice ale graficelor celor două funcţii sunt redate în figura 13. Aria 2. Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între axa Ox şi imaginea geometrică a graficului funcţiei Soluţie: Imaginea geometrică a graficului funcţiei f este redatăîn figura 16. Aria suprafeţei plane haşurate este:

  12. Prima pagina 5. Aria unei suprafeţe plane. Probleme rezolvate Cerinţă: Să se determine aria suprafeţei plane pentru: a) Figura 9 Soluţie: Expresia f(x) se explicitează astfel: { 1-x, x [-1,1] x-1, x (1,2] Subgraficul este reprezentat în figura 9. În acest caz, aria

  13. Prima pagina { [0,1] b) (1,2] Soluţie: Subgraficul este reprezentat în figura 10. Aria

  14. Prima pagina Cerinţă: Să se determine aria cuprinsă între graficul lui , axa Ox şi dreptele x=1,x=2 (Fig.5). Soluţie. Observăm cădacă Deci aria

  15. Prima pagina 6.Aria unei regiuni cuprinse între graficul lui f, axa Ox şi dreptele x=a, x=b Dacăeste continuă, atunci aria mulţimii A delimitată de graficul lui ,axa Ox şi dreptele x=a, x=b este egală cuaria (Fig.6)

  16. Prima pagina { Exemplu.Săse calculeze aria mulţimii A determinate de graficul lui ,axa Ox şi dreptele x=0, x=2 (Fig.7) SoluţieAria cerută este egală cu aria ,unde Deci aria (A)=aria(A1)+(A2)=

  17. Prima pagina Cum ptr. x [4,5], Soluţie:Ecuaţia f(x)=6 are soluţiile şi rezultă că aria căutată este: Soluţie: Dacă x , cosx deci În concluzie pentru x . Atunci aria căutată va fi: 3. Fie Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între graficul funcţiei şi axa Ox. 7.Probleme rezolvate • Fie • a) Să se determine aria limitată de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x=0 şi x= Soluţie: 2.Să se calculeze aria figurii delimitate de graficul funcţiei şi de dreapta y=6.

  18. Prima pagina { 5. Să se calculeze aria figurii delimitate de graficul funcţiei şi dreptele şi Se observă că pentru deci aria este: Soluţie:Observăm că pentru Rezultă că aria căutată este 6.Fie si . Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între graficele funcţiilor f şi g. 4.Se dă funcţia definită prin Să se calculeze aria suprafeţei mărginite de dreptele x=-2, x=2, axa Ox şi graficul funcţiei. Soluţie: Se impune explicitarea funcţiei: ecuaţia are soluţia Aria căutată este:

  19. Prima pagina { 8.Fie definită prin: . Să se afle aria cuprinsă între graficul f, axa Ox şi dreptele Soluţie: Pentru şi, deci, sin Rezultă că aria cerută este Vom calcula o primitivă a funcţiei: 7. Să se determine aria mărginită de graficul funcţiei ,axa Ox şi dreptele Solutie:Cum ,aria căutată este: . Prin urmare:

  20. Prima pagina 8. Probleme propuse 1. Se consideră funcţiile date prin şi • Să se calculeze aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele şi 2. Se consideră funcţia , a)Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele şi . 3.Pentru se consideră funcţiile definite prin si a)Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficul funcţiei axa Ox şi dreptele de ecuaţii si 4.Se consideră funcţia a)Să se determine numărul realastfel încât aria suprafeţei plane determinată de graficul funcţieif, axa Ox, dreptele de ecuaţii si să fie egală cu

  21. Prima pagina 8.Se consideră funcţia definită prin 7.Se consideră funcţiile şi definite prin 6.Se consideră funcţiile • . • Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi 5.Se consideră funcţiile defintie prin şi • Să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei F, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi şi • a)Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi • Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa şi dreptele de ecuaţii şi

  22. Prima pagina Bibliografie • Matematică- Manual pentru clasa a XII-a, Marius şi Georgeta Burtea, Editura Carminis • Matematică- clasa XII- Culegere de probleme, B.Enescu, L.Vlaicu, Editura Europontic • Matematică- Manual pentru clasa a XII-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress • http://www.ideiindialog.ro/articol_167/umanismul_matematicii.html • www.math.msu.edu/~mshapiro/KidMath/KidMath.html

  23. Prima pagina Realizatori 1.Adalinean Paula Iulia 2.Căpâlnă Tamara Eunicia 3.Crişan Roxana Veronica 4.Marian Andrada Bianca 5.Pălii Mirel Ionuţ 6.Ştef Camelia Mirela

  24. Prima pagina Aplicaţii ale integralei definite

  25. Prima pagina ARIA SUPRAFEŢELOR PLANE

  26. Prima pagina 1.ARIA CERCULUI Să se calculeze aria cercului cu central în origine si de razăr. Ecuaţia acestui cerc este x²+y²=r², de unde ,x[r,r]. Semicercul superior are ecuaţia ,iar aria lui este care se mai poate scrie

  27. Prima pagina Pentru calcul primitiveiprocedămastfel: Deci de unde prin urmare, aria unui semicerc. Deci:

  28. Prima pagina 2.ARIA DREPTUNGHIULUI Se obţine ca aria subgraficului funcţiei Aria:

  29. Prima pagina 3.ARIA PĂTRATULUI Se cere aria suprafeţei determinată de dreapta y=a, axa Ox şi dreapta de ecuaţie x=0 şi x=a. Aria:

  30. Prima pagina 4.ARIA TRAPEZULUI Fie Determinăm m şi n din condiţia ca punctele A(0,a),B(h,b) să aparţină graficului funcţiei f. . Deci funcţia căutată este: Aria: Am obţinut astfel binecunoscuta formulă din geometria plană.

  31. Prima pagina • Blibliografie: • teorie:predare in cadrul orei de matematica cartea rosie-”numele” • imagini: reproducere prin intermediul programului de desenat Microsoft Paint

  32. Volumul corpului de rotaţie Prima pagina Aplicaţii ale integralei definite Grupa 3

  33. Prima pagina Volumul corpurilor de rotatie O alta aplicatie a calculului integral (a integralei definite) o constituie determinarea volumelor unor corpuri de rotatie unor suprafete in jurul unei axe de rotatie.Corpurile astfel generate se numesc corpuri de rotatie.

  34. Prima pagina Trunchiul de con • Definitie: Trunchiul de con este corpul ce se obtine prin rotatia completa a unui trapez dreptunghic in jurul axei perpendiculare pe baza G˛=h˛+(R-r)˛ • Elementele trunchiului de con: • 2 baze (cercuri de raze diferite) • baza mare C(O;R) • baza mica C(O;r) • generatoarea trunchiului (CB) • inaltimea trunchiului OOš • distanta dintre centrele bazelor

  35. Prima pagina Din punct de vedere al calcului integral 1) Volumul trunchiului de con - trunchiul de con se obţinut prin rotirea trapezului aABb în jurul axei Ox. Dacă r şi R sunt razele bazelor trunchiului, atunci ecuaţia dreptei AB este şi deci trunchiul de con este corpul de rotaţie determinat de funcţia:

  36. Prima pagina • Prin urmare, volumul său V este Dacă notăm h=b-a , atunci h este înălţimea trunchiului de con. Considerând x-a=t , obţinem Se obtine bine cunoscuta formula din geome in spatiu

  37. Prima pagina Volumul Cilindrului • Cilindrul se obtine prin rotirea subgraficului functiei: in jurul axei Ox

  38. Prima pagina Volumul Cilindrului-corp de rotatie

  39. Prima pagina Conul • Conul circular drept de raza R si inaltime h se obtine prin rotirea subgraficului functiei: in jurul axei Ox

  40. Prima pagina Sfera • 1.Sa se calculeze volumul sferei de raza R. Vom considera semicercul de diametru 2R ,cu centrul in origine, situat in semiplanul determinat de axa Ox si semiaxa Oy. Acest semicerc reprezinta graficul functiei • Sfera se obtine rotind subgraficul functiei f in jurul axei Ox,prin urmare: Sfera de raza R se obtine prin rotirea subgraficului functiei (semicerc) in jurul axei OX.

  41. Prima pagina Sfera

  42. Prima pagina Exemple de probleme: • Să se calculeze volumul corpului de rotaţie generat prin rotirea în jurul axei Ox a suprafeţei plane limitate de graficele funcţiilor . • Se stie ca si deci pentru orice .In plus egalitatea are loc pentru x=0 Prin urmare:

  43. Prima pagina Exemple de probleme: • Se considera functia Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei: Rezolvare:

  44. Prima pagina Exemple de probleme: • .Se considera functia Sa se determine numarul real p a.i. volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei ,pt orice sa fie minim. Rezolvare: sa fie minim. O functie de gradul doi are minimul in varf, deci V este minim daca p este abscisa varfului.

  45. Prima pagina Exemple de probleme: • .Se considera functia: Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei h:[0,1] R, Rezolvare: Volumul este:

  46. Prima pagina Probleme propuse • 1)Se considera functia: Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei f • 2) Sa se determine numarul real pozitiv a stiind ca volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului este egal cu

  47. Prima pagina Realizatori: • Bochis Andreea • Campean Calin • Duma Iulia • Maris Gabriela • Pop Cosmin • Suciu Flavia

  48. Prima pagina Aplicaţii ale integralei definite în diferite domenii

  49. Prima pagina • Concentraţia unei soluţii apoase a unei substanţe,variază urmând legea: • C , fiind grosimea stratului de soluţie. Care este cantitatea Q de substanţăconţinută într-o coloană verticală de soluţie a cărei secţiune dreaptă este S=1 m2 şi grosimea variind între 0 şi 200m ? Solutie: Considerăm un strat foarte mic al coloanei de soluţie apoasă cu secţiunea S si grosimea dx , situat la adâncimea x. Cantitatea de substanţă conţinută în acest strat este: dQ=CSdx= dx Integrând de la 0 la 200 se obţine:

  50. Prima pagina 2.O firmă de publicitate a primit comanda de a inscripţiona pe 50 de tricouri sigla clientului, aceasta având forma ovală, încadrate într-un dreptunghi de dimensiuni 10 cm şi 20 cm. Costul inscripţionării este de 5 lei pe centimetru pătrat , iar adaosul practicat este de 20% Calculaţi profitul firmei de publicitate obţinut după executarea acesteicomenzi. (indicaţie: aproximaţi suprafaţa siglei cu aria unei elipse, considerând funcţiile unei unităţi de pe axă corespunzându-i 1 cm) , Soluţie: Cu ajutorul calculului integral calculăm aria elipsei:A=2 Raţionalizăm, despărţim în două integrale, una este formulă directă, iar cealaltă se calculează prin părţi.Obţinem

More Related