1 / 22

Faktor Persekutuan Terbesar

Faktor Persekutuan Terbesar

widyaacahya
Download Presentation

Faktor Persekutuan Terbesar

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar Y. Hartono FKIP Unsri 10 Oktober 2011 Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  2. Definisi dan Notasi Definisi Bilangan bulat d disebut faktor persekutuan terbesar (fpb) dari a dan b apabila 1 d|a dan d|b, 2 jika c|a dan c|b, maka c ≤ d. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  3. Definisi dan Notasi Definisi Bilangan bulat d disebut faktor persekutuan terbesar (fpb) dari a dan b apabila 1 d|a dan d|b, 2 jika c|a dan c|b, maka c ≤ d. Dengan kata lain, fpb dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang dapat membagi kedua bilangan tersebut. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  4. Definisi dan Notasi Definisi Bilangan bulat d disebut faktor persekutuan terbesar (fpb) dari a dan b apabila 1 d|a dan d|b, 2 jika c|a dan c|b, maka c ≤ d. Dengan kata lain, fpb dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang dapat membagi kedua bilangan tersebut. Kita menggunakan notasi (a,b) untuk fpb dari a dan b. Jadi, jika d adalah fpb dari a dan b, maka d = (a,b). Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  5. Contoh Faktor dari 12 adalah {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Faktor dari 30 adalah {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30}. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  6. Contoh Faktor dari 12 adalah {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Faktor dari 30 adalah {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30}. Faktor persekutuan dari 12 dan 30 adalah {±1, ±2, ±3, ±6}. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  7. Contoh Faktor dari 12 adalah {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Faktor dari 30 adalah {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30}. Faktor persekutuan dari 12 dan 30 adalah {±1, ±2, ±3, ±6}. Jadi (12,30) = 6 Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  8. Sifat-sifat FPB Kira akan membuktikan tiga sifat berikut: 1 (a,b) = d → (a/d,b/d) = 1. 2 (a,b) = d → ∃m,n ∈ Z ∋ am + bn = d. 3 a = bq + r → (a,b) = (b,r). Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  9. Sifat-sifat FPB Teorema 1 (a,b) = d → (a/d,b/d) = 1. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  10. Sifat-sifat FPB Teorema 1 (a,b) = d → (a/d,b/d) = 1. Bukti. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dengan (a,b) = d. Kita akan menunjukkan bahwa a/d dan b/d tidak memiliki faktor persekutuan lain kecuali 1. Misalkan e ∈ Z+adakah faktor persekutuan dari a/d dan b/d, yaitu e|(a/d) dan e|(b/d) sehingga ada k,ℓ ∈ Z sehingga a/d = ke dan b/d = ℓe, atau a = dek dan b = deℓ. Jadi kita lihat bahwa de adalah faktor persekutuan dari a dan b. Tetapi, karena d adalah faktor persekutuan terbesar, maka de ≤ d sehingga e = 1. ? Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  11. Sifat-sifat FPB Teorema 2 [Bezout] (a,b) = d → ∃m,n ∈ Z ∋ am + bn = d. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  12. Sifat-sifat FPB Teorema 2 [Bezout] (a,b) = d → ∃m,n ∈ Z ∋ am + bn = d. Bukti. Misalkan S adalah himpunan semua kombinasi linier dari a dan b; yaitu S = {am + bn|m,n ∈ Z}. S tak kosong sebab a = a × 1 + b × 0 dan b = a × 0 + b × 1 dan karenanya a,b ∈ S. Jadi S berisi bilangan bulat positif elemen terkecil, sebut saja d = ax + by. Akan dibuktikan bahwa d = (a,b). Menurut algoritma pembagian, a = dq + r, 0 ≤ r < d, Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  13. sehingga diperoleh = d − dq r = a − (ax + by)q = a(1 − qx) + b(−qy). Ini menunjukkan bahwa r ∈ S sedangkan 0 ≤ r < d dan d adalah bilangan bulat positif terkecil dalam S. Jadi r = 0 dan d|a. Dengan cara yang sama dapat pula ditunjukkan bahwa d|b. Selanjutnya, jika c|a dan c|b, maka c|ax + by = d. Hal ini membuktikan bahwa d = (a,b). ? Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  14. Sifat-sifat FPB Teorema 3 a = bq + r → (a,b) = (b,r). Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  15. Sifat-sifat FPB Teorema 3 a = bq + r → (a,b) = (b,r). Bukti.Di sini cukup ditunjukkan bahwa a, b, dan r memiliki faktor persekutuan yang sama. Untuk itu, misalkan k|a dan k|b, maka k|a − bq = r. Selanjutnya, misalkan ℓ|b dan ℓ|r, maka ℓ|bq + r = a. Ini berarti, semua faktor persekutuan dari a dan b juga merupakan faktor persekkutuan dari b dan r, termasuk faktor persekutuan terbesarnya, yaitu (a,b) = (b,r). ? Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  16. Tentukan fpb dari 252 dan 198 Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  17. Algoritma Euclid Misalkan r0= a dan r1= b dengan a ≥ b > 0. Jika penggunaan algoritma pembagian secara beruntun menghasilkan rj= rj+1qj+1+ rj+2dengan 0 < rj+2< rj+1untuk j = 0,1,2,... n − 2 dan rn+1= 0, maka (a,b) = rn, sisa terakhir yang tidak nol. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  18. Bukti Algoritma Euclid Misalkan r0= a dan r1= b dengan a ≥ b, algoritma pembagian memberikan = r1q1+ r2, 0 ≤ r2< r1, r0 = ... r2q2+ r3, 0 ≤ r3< r2, r1 = ... rj−1qj−1+ rj, 0 ≤ rj< rj−1, rj−2 = rn−2qn−2+ rn−1, rn−1qn−1+ rn, rnqn. 0 ≤ rn−1< rn−2, 0 ≤ rn< rn−1, rn−3 rn−2 rn−1 = = Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  19. Dengan Teorema 3, kita peroleh (a,b) = (r0,r1) = (r1,r2) = ··· = (rn−1,rn) = (rn,0) = rn yang membuktikan algoritma. ? Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  20. Contoh Faktor persekutuan terbesar dari 252 dan 198 dapat dicari dengan cara berikut. 252 = 1 × 198 + 54 198 = 3 × 54 + 36 54 = 1 × 36 + 18 36 = 2 × 18 + 0. Jadi (252,198)=18. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  21. Menurut teorema Bezout, ada bilangan bulat x dan y sehingga 252x + 198y = 18. Perhatikan bahwa 18 = 54 − 1 × 36 = 54 − 1 × (198 − 3 × 54) = 4 × 54 − 1 × 198 = 4 × (252 − 1 × 198) − 1 × 198 = 4 × 252 − 5 × 198 = 252 × 4 + 198 × (−5). Jadi, x = 4 dan y = −5. Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

  22. Latihan Gunakan algoritma Euclid untuk mencari fpb dari pasangan bilangan berikut: 1 666 dan 1414 2 20758 dan 44350 Carilah bilangan bulat x dan y sehingga 1 666x + 1414y = (666,1414) 2 20758x + 44350y = (20758,44350) Y. Hartono FKIP Unsri Kuliah 4: Faktor Persekutuan Terbesar

More Related