本章主要内容 5.1 正弦信号与相量 5.2 电路的相量模型 5 .3 阻抗与导纳 5 .4 相量分析的一般方法 5 .5 正弦稳态电路的功率 5 .6 三相电路

1. 第五章 正弦交流电路 本章主要内容 • 5.1 正弦信号与相量 • 5.2 电路的相量模型 • 5.3 阻抗与导纳 • 5.4 相量分析的一般方法 • 5.5 正弦稳态电路的功率 • 5.6 三相电路

2. 5.1 正弦信号与相量 正弦交流电：各量（电压、电流、电动势）随时间按正弦规 律变化。 以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般 解析函数式为 i(t)=I m sin(ωt+φ)   一、正弦量的三要素 1.振幅（最大值） 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。

3. 2. 角频率ω 角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数, 即 单位为rad/s或1/s 其中“T”表示正弦量变化一周所需的时间，称为周期。单位为秒(s)。 “f”表示正弦量每秒钟变化的周数，称为频率。单位为赫兹(Hz)。f=50 Hz，称为我国的工业频率，简称“工频”。 周期和频率互成倒数， 即 3. 初相 正弦量解析式中的ωt+φ称为相位角。 i(t)=I m sin(ωt+φ)， t=0时， 相位为φ， 称其为正弦量的初相。

4. 如下图正弦量的三要素：幅值为Um、 角频率为 　　　　　　　　　　　初相为０ 二、相位差 相位差指两个同频率正弦量的相位之差。 如：

5. 两个同频率的正弦量 u 1(t)=U 1m sin(ωt+φ1)   u2(t)=U2m sin(ωt+φ2) φ12 =(ωt+φ1 )―(ωt+φ2 )= φ1 ―φ2 相位差 由此得： 相位差＝初相之差 同频率正弦量的几种相位关系： （１）超前关系 φ12= φ1-φ2>0且|φ12|≤π弧度，称第一量超前第二量。

6. （２）滞后关系 φ12= φ1-φ2 <0且|φ12|≤π弧度，称第一量滞后第二量， 即，称第二量超前第一量。 （３）同相关系 φ12= φ1-φ2 =0,称这两个正弦量同相。 （４）反相关系 φ12= φ1-φ2＝π, 称这两个正弦量反相。 例：判断下图正弦量的相位关系：

7. 解：(a)u和i同相； (b)u1超前u2； (c)i1和i2反相； (d)u和i正交。

8. 三、正弦量的有效值 一直流电流I和一交流电流i分别通过同一电阻R, 在同一个周期T内所产生的热量相等， 那么这个直流电流I的数值就叫做交流电流i的有效值。 由此得出 交流电流的有效值为 同理， 交流电压的有效值为 正弦交流电流的有效值为

9. 由此得出有效值和最大值关系： 例：电压有效值为２２０V，则最大值为：

10. 四、正弦量的相量表示法 1 、复数的运算规律 复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如： 相加、减的结果为： A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加； 两个复数相除，将模相除，辐角相减。 如：

11. 复数有两种表示法：实部与虚部的形式；模与辅角的形式。复数有两种表示法：实部与虚部的形式；模与辅角的形式。 欧拉公式： 1/j=-j

12. 2. 正弦量的相量表示 设有一复数 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为 可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。

13. 式中 同理 把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。 例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，u2 =70.7sin(ωt-45o)V 。 求：⑴ 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 解（1）

14. （2） （3） 相量图如图所示

15. 3. 两个同频率正弦量之和 设有两个同频率正弦量 方法： (1) 写出相应的相量， 并表示为代数形式。 (2) 按复数运算法则进行相量相加， 求出和的相量。  (3) 作相量图， 按照矢量的运算法则求相量和。

16. 5.2 电路的相量模型 一、KCL和KVL的相量模型 二、基本元件的相量模型 1 、 电阻元件 根据欧姆定律得到 上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图所示。

17. 图 电阻元件的电压、电流相量及波形图 其相量关系为：

18. 2、电感元件 电感元件上电压、电流之间的相量关系式为： 由上式可得 U= ωLI =XLI 上式表明电感上电流滞后电压为90°。 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL。对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，XL=0，电感相当于短路。

19. 电感元件的波形、相量图如图所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90°。电感元件的波形、相量图如图所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90°。 图 电感元件的波形、相量图

20. 3、 电容元件 电容元件上电压、电流之间的相量关系式为： 将上式改写为： 通常把 XC= 定义为电容的容抗。 电容元件上，电流振幅为电压振幅的ωC倍 。

21. 以上表明电容电流超前电容电压90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图所示。以上表明电容电流超前电容电压90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图所示。 图 电容元件的波形、相量图

22. 5.3 阻抗与导纳 1. 复阻抗 设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-8所示，流过各元件的电流都为I， 各元件上电压分别为uR(t)、 uL(t)、 uC(t)，端口电压为 u (t)。

24. 上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。Z为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，阻抗Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即：上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。Z为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，阻抗Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即： 式中∣Z∣称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即

25. Z是一个复数, 所以又称为复阻抗 Z是一个复数, 所以又称为复阻抗。 |Z|称为该电路的阻抗，是复阻抗的模。 复阻抗、阻抗的单位都为Ω。  φ为阻抗角，是复阻抗的幅角

26. 复阻抗的另一形式 Z的实部为R, 称为“电阻”, Z的虚部为X, 称为“电抗”， 它们之间符合阻抗三角形。 阻抗三角形

27. 2. 复导纳 对于如图所示R、L、C并联电路，根据相量形式得KCL，得到： 图 RLC并联电路

28. Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。∣Y∣称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。 称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。

29. 5.4 相量分析的一般方法 相量法的实质是将正弦稳态的电压和电流用相 量表示，元件的参数用阻抗或导纳表示，在复 数领域内分析正弦稳态电路。所以，对于一般 网络，前面各章介绍的各种方法和定理也都完 全适用。（即把电阻性网络分析方法中的电阻 换成阻抗或导纳）

30. 5.5 正弦稳态电路的功率 一、瞬时功率p

31. R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 正弦稳态电路中，在关联参考方向下，设电阻元件电流电压： IR (t)=Im sinωt A uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V 则瞬时功率为 pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W 由于cos2ωt≤1,故 pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0

32. 其瞬时功率的波形图如4-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。其瞬时功率的波形图如4-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。 电阻的平均功率（与直流电路相似）

33. 2.电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为 则电感电压为： 其瞬时功率为

34. 上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图所示。上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图所示。 图 电感元件的瞬时功率 从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时，电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。

35. 电感消耗的平均功率为： 电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。 3．电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流、电压为:

36. 其瞬时功率为： 图 电容元件的瞬时功率

37. 从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即： 电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。

38. 二、有功功率P（平均功率） 三、无功功率Q

39. 四、视在功率S 单位：伏·安(V·A)， 常用的单位还有千伏·安(kV·A) 五、功率因数 功率三角形

40. P、Q、S之间存在如下关系 工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用 表示复功率，即 = P + j Q

41. 六、共轭匹配（与最大功率传输相似） 令 只改变XL，保持RL不变， 当XS+XL=0 时， 即XL=－XS， PL可以获得最大值

42. 改变RL， 使PL获得最大值的条件是 得RL=RS 所以负载获得最大功率的条件为 即

43. 最大功率为 例：一R、L串联的电感线圈，用电压表测端口的电压为 50V，电流表读数为1A，功率表的读数为30W，工频情 况下求R 、L值。 解：

44. 另解：

45. 1. 三相电源及其连接 N V 2 W 1 w U U 2 1 V W 1 2 120° S 为相电压的有效值 5.6 三相电路 一、 三相对称正弦交流电压 三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分， 由三相交流发电机的三相绕组产生。 三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差120°。 三相正弦电压的解析式

46. u u u u W U V w t w t 1 2 0 w t -120° 120° 240° 360° 三相正弦电压的向量关系 三相正弦电压的波形 三相正弦电压的向量图

47. 三相电源的连接 将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图所示。低压配电系统中，采用三根相线和一根中线输电，称为三相四线制；高压输电工程中，由三根相线组成输电，称为三相三线制。 每相绕组始端与末端之间的电压，也就是相线和中线之间的电压，叫相电压，其瞬时值用u1、u2、u3表示，通用up表示。 图 星形连接

48. 任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用u12、u23、u31表示，通用ul表示。任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用u12、u23、u31表示，通用ul表示。 由于 u12=u1-u2 u23=u2-u3 u31=u3-u1 其次，作出线电压和相电压的相量图，如图所示。 图 星形连接线电压相电压的相量图

49. 由于 构成等腰三角形，所以 所以 同理 一般写为 作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的相电压超前30°。

50. 2.三相负载的星形连接 三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。 负载的星形连接 图 三相负载的星形连接