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Sinais e Sistemas – Capítulo 3

Sinais e Sistemas – Capítulo 3. Simon Haykin. Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier. Seja x(t) uma função periódica com período fundamental T. Então,. é uma aproximação por FS, onde. Supondo que podemos encontrar os coeficientes A[k], tal que , então.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 3

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Presentation Transcript

  1. Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin Aula 12

  2. Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier • Seja x(t) uma função periódica com período fundamental T. Então, é uma aproximação por FS, onde • Supondo que podemos encontrar os coeficientes A[k], tal que , então Aula 12

  3. Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier • Logo, • Observe que a integral do lado direito é igual a zero, exceto quando k = m, de modo que Aula 12

  4. Representação por Série de Fourier • Podemos escrever a FS como • Dizemos que x(t) e X[k] são um par de FS Aula 12

  5. Representação por Série de Fourier • Exemplo: Determine a representação por FS para o sinal Solução: O período fundamental de x(t) é T=4. Consequentemente Procuramos expressar x(t) como Aula 12

  6. Representação por Série de Fourier A última expressão está na forma de FS. Logo, comparando com , temos que Aula 12

  7. Representação por Série de Fourier Aula 12

  8. Representação por Série de Fourier • Exemplo: Determine a representação por FS da onda quadrada mostrada na figura Solução: O período é T, de forma que ω0=2π/T. Neste caso, é conveniente usar a forma de integral de FS, isto é Aula 12

  9. Representação por Série de Fourier Substituindo ω0=2π/T Aula 12

  10. Representação por Série de Fourier Para k=0, temos Aula 12

  11. Representação por Série de Fourier Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/4, temos Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/16, temos Aula 12

  12. Representação por Série de Fourier A forma funcional ocorre com tanta frequência na análise de Fourier, que damos a ela um nome especial Dessa forma, os coeficientes da FS obtidos no último exemplo podem ser expresso usando a função sinc Aula 12

  13. Representação por Série de Fourier • O máximo da função sinc é a unidade em u=0. • Os cruzamentos por zero ocorre nos valores inteiros de u. • O módulo decresce com 1/u • A parte da função sinc entre os cruzamentos por zero para u=±1 é conhecida como lóbulo principal • As ondas menores são conhecidas como lóbulos laterais Aula 12

  14. Representação por Série de Fourier • Cada termo da FS , para X[k] não nulo, contribui para a representação do sinal. • Para ilustrar isso, consideraremos a onda quadrada o exemplo anterior. • Vamos explorar a simetria par de X[k] para escrever a FS como uma soma de cossenos harmonicamente relacionados. Logo, como X[k]=X[-k], então Aula 12

  15. Representação por Série de Fourier Aula 12

  16. Representação por Série de Fourier • Se definirmos B[0]=X[0] e B[k]=2X[k], k≠0, então • Exemplo: Definimos a aproximação por soma parcial para a representação da FS da onda quadrada, isto é Suponha que T=1 e Ts/T=1/4. Neste caso, Aula 12

  17. Representação por Série de Fourier Descreva um período do J-ésimo termo nesta soma e para J=1,3,7, 29 e 99. Solução: Aula 12

  18. Representação por Série de Fourier Aula 12

  19. Representação por Série de Fourier Aula 12

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