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Cours de graphes

Cours de graphes. Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications. Les grandes lignes du cours. Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots

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Presentation Transcript

  1. Cours de graphes • Coloriage de graphes. • Problème des 4 couleurs, graphes planaires. • Théorème de Vizing. • Applications. Cours de graphes 5 - Intranet

  2. Les grandes lignes du cours • Définitions de base • Connexité • Les plus courts chemins • Dijkstra et Bellmann-Ford • Arbres • Arbres de recouvrement minimaux • Problèmes de flots • Coloriage de graphes, graphes planaires • Couplage • Chemins d’Euler et de Hamilton • Problèmes NP-complets Cours de graphes 5 - Intranet

  3. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des sommets d’un graphe : • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  4. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des sommets d’un graphe : • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  5. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des sommets d’un graphe : • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 5 couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  6. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des sommets d’un graphe : • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 2 couleurs suffisent ! Cours de graphes 5 - Intranet

  7. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des sommets d’un graphe : • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! • Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique d’un graphe G, noté « c ( G ) »(lettre grecque chi de « crwma », qui signifie couleur). Mais 2 couleurs suffisent ! Cours de graphes 5 - Intranet

  8. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : téléphonie mobile ! • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! Cours de graphes 5 - Intranet

  9. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : téléphonie mobile ! • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins ! Cours de graphes 5 - Intranet

  10. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : téléphonie mobile ! • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins ! M Cours de graphes 5 - Intranet

  11. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : téléphonie mobile ! • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins ! M Cours de graphes 5 - Intranet

  12. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : téléphonie mobile ! • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins ! M Cours de graphes 5 - Intranet

  13. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : téléphonie mobile ! • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins ! Cours de graphes 5 - Intranet

  14. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des arêtes d’un graphe : • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  15. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des arêtes d’un graphe : • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  16. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des arêtes d’un graphe : • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 6 couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  17. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Coloriage des arêtes d’un graphe : • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! • Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 4 couleurs suffisent ! Cours de graphes 5 - Intranet

  18. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : emplois du temps ! Profs Elèves Cours de graphes 5 - Intranet

  19. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves Cours de graphes 5 - Intranet

  20. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves Créneaux horaires sous forme de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  21. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves Créneaux horaires sous forme de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  22. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves Créneaux horaires sous forme de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  23. Coloriage de graphes----------------------------------------------------------------- • Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves Créneaux horaires sous forme de couleurs ! Cours de graphes 5 - Intranet

  24. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- L E P R O B L E M E D E S Q U A T R E C O U L E U R S ! ! ! Cours de graphes 5 - Intranet

  25. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? Cours de graphes 5 - Intranet

  26. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? Cours de graphes 5 - Intranet

  27. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes ! Cours de graphes 5 - Intranet

  28. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes ! C’est un problème de coloriage des sommets d’un graphe ! Cours de graphes 5 - Intranet

  29. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Cours de graphes 5 - Intranet

  30. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! • Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! Cours de graphes 5 - Intranet

  31. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! • Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! Cours de graphes 5 - Intranet

  32. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! • Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! Cours de graphes 5 - Intranet

  33. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! • Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! • En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à633 cas à étudier. Cours de graphes 5 - Intranet

  34. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! • Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! • En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à633 cas à étudier. • Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ??? Cours de graphes 5 - Intranet

  35. Le problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------- • Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! • Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! • En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à633 cas à étudier. • Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ??? • On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) ! Cours de graphes 5 - Intranet

  36. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- L E S G R A P H E S P L A N A I R E S ! ! ! Cours de graphes 5 - Intranet

  37. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? Cours de graphes 5 - Intranet

  38. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! Cours de graphes 5 - Intranet

  39. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! Cours de graphes 5 - Intranet

  40. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! Cours de graphes 5 - Intranet

  41. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! Cours de graphes 5 - Intranet

  42. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cours de graphes 5 - Intranet

  43. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cours de graphes 5 - Intranet

  44. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cours de graphes 5 - Intranet

  45. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cours de graphes 5 - Intranet

  46. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Est-ce que ce graphe est planaire ? • Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! C’est le graphe bi-parti complet 3 – 3 : K ! 3,3 NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cours de graphes 5 - Intranet

  47. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire ! 5 En construction ! Cours de graphes 5 - Intranet

  48. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire ! 5 En construction ! Cours de graphes 5 - Intranet

  49. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire ! 5 En construction ! Cours de graphes 5 - Intranet

  50. Les graphes planaires----------------------------------------------------------------- • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire ! 5 En construction ! Cours de graphes 5 - Intranet

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