Číselné soustavy a vzájemné převody

1. Číselné soustavy a vzájemné převody Střední odborná škola Otrokovice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Miloš Zatloukal Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

2. Charakteristika DUM 2

3. Číselné soustavy a vzájemné převody Obsah tématuČíselná soustava Tvoří ji - základ soustavy - váhy – řády – mocniny základu - symboly – vyjadřovací prvkyDesítková číselná soustavaObecná číselná soustava (převod z desítkové do obecné a zpět)Dvojková (binární) číselná soustavaČíselné soustavy odvozené z dvojkovéPřevody mezi soustavami

4. Číselná soustava Umožňuje vyjadřovat informaci jako číslo složené z jednotlivých symbolů – vyjadřovacích prvků. Číselnou soustavu charakterizují tyto vlastnosti: - Základ soustavy: Z – je obsažen v názvu soustavy - Váhy (jednotlivé řády) – Zn…Z3,Z2,Z1 ,Z0, Z-1, Z-2, …Z-m - Symboly (jakási „číslicová abeceda“ – vyjadřovací prvky) Místo pojmu číselná soustava se často používá pojem číselný kód (desítkový, dvojkový…) Nejznámější číselnou soustavou je v našem světě soustava desítková. Proč? Historické souvislosti, 10 prstů člověka…

5. Číselná soustava – pokračování Desítková soustava - Základ soustavy: Z = 10 - Váhy (jednotlivé řády): 10n …103, 102, 101 , 100, 10-1, 10-2, …, 10-m - Symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Z příkladu je vidět, že ze základu je odvozeno vše potřebné: váhy – mocniny základu – (hraniční mezi celými a necelými čísly je nultá mocnina 100 = 1) symboly - jejich počet (je rovný základu soustavy – tedy 10), - hodnota nejvyššího symbolu (o 1 menší než je základ soustavy – tedy 9) Příklad čísla vyjádřeného v desítkové soustavě: 549,286 Číslo má velikost: 5 stovek + 4 desítky + 9 jednotek+2 desetiny + 8 setin + 6 tisícin (půjde vlastně o rozklad typu součet součinů (tvořených prvkem a příslušným řádem).

6. Desítková číselná soustava – pokračování 549,286 Pro desítkovou soustavu lze číslo 5439,286 zapsat jako 5*100 + 4*10 + 9*1 + 2*0,1+8*0,01+6*0,001 nebo 5*102 + 4*101+ 9*100 +2*10-1+ 8*10-2+ 6*10-3 Obdobným způsobem bude později řešen převod čísla v některé z číselných soustav do desítkové soustavy.

7. Obecná číselná soustava Slouží k vyjádření čísla určité velikosti, využívá k tomu základ Z, z něj je pak odvozeno vše ostatní: - Název soustavy (např. dvojková, trojková…) - Prvky – symboly - jejich počet (=Z) - největší z nich (= Z - 1) – začíná se vždy nulou - Řády zvané také jako váhy jde o mocniny základu - s indexy 0, 1, 2, …, n) – pro čísla >= 1 … Z0, Z1, Z2, Z3 , …, Zn - s indexy -1, -2, …, -m) – pro čísla <1 … Z-1, Z-2, Z-3, …, Z-m Zde je namístě vysvětlit jak převést desítkové číslo na číslo jiné soustavy (obecné – ale v příkladu bude upřesněna)

8. Obecná číselná soustava – převod z desítkové – pokračování Jak se převede desítkové číslo do číselné soustavy o základu Z? Lze použít několik metod, např. metodu postupného odečítání čísla Z nebo postupného dělení číslem Z. Příklad: číslo (46)10převeďte do trojkové soustavy postupným dělením Řešení: 46 : 3 = 15 zbytek 1 15 : 3 = 5 zbytek 0 5 : 3 = 1 zbytek 2 1 : 3 = 0 zbytek 1 Výsledek: (46)10= (1201)3 Zbytky po celočíselném dělení zapsané pozpátku (tedy nejprve zbytek po posledním dělení, kdy je výsledek nula) pak vytvoří žádané číslo v trojkové soustavě

9. Obecná číselná soustava – zkouška – převod do desítkové (převod z obecné soustavy do desítkové) Předchozí příklad: (46)10= (1201)3 Zkouška Postup: - Pod jednotlivé číslice zprava doleva zapíšeme mocniny základu (zde čísla 3). Mocniny začínají od indexu 0 – tedy Z0 = 1. - Pak je můžeme vypočítat (provést umocnění) - Poté vytvoříme dílčí součiny (číslice převáděného čísla krát příslušná mocnina) - Nakonec dílčí součiny sečteme ( 1 2 0 1 )3 33 32 31 30 9 3 1 (1201)3 = 1*27 + 2*9 + 0*3 + 1*1 = 27 + 18 + 0 +1 = 46

10. Obecná číselná soustava – převod z desítkové – zobecnění Jak se převede desítkové číslo do číselné soustavy o základu Z? Metoda postupného dělení Zadané číslo vydělíme základem soustavy do které převádíme V dílčím kroku převodu (dělení) získáme - podíl (ten bude dále dělen v dalším kroku) - zbytek (ze zbytků nakonec vznikne výsledek) Kdy dělení končí? Tehdy, když je podíl nulový ( dělené číslo je menší než číslo kterým dělíme (základ Z). Zbytky zapsané pozpátku (tedy nejprve zbytek po posledním dělení, kdy je podíl nula), pak vytvoří žádané číslo v zadané soustavě. Pro ověření správnosti převodu lze provést zkoušku – jde zároveň o postup převodu z nějaké číselné soustavy do soustavy desítkové.

11. Číselná soustava dvojková - Základ soustavy: Z = 2 - Váhy (jednotlivé řády): 2n …23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, …, 2-m - Symboly: 0, 1 Použití dvojkových čísel: informatika, počítače, programování Z dvojkové soustavy jsou odvozeny některé další soustavy – čtyřková, osmičková, šestnáctková – praktické využití má např. soustava šestnáctková (např. v oblasti mikropočítačů). Převod z desítkové do dvojkové soustavy Lze sice použít metodou postupného dělení (základem, tedy dvojkou) ale menší možnost chyby poskytuje metoda rozkladu do vah (řádů) – mocnin čísla 2 – tedy metoda postupného odečítání.

12. Číselná soustava dvojková – pokračování Příklad : Desítkové číslo 29 převeďte do dvojkové soustavy Postup: na pravou stranu rovnice napíšeme mocniny dvojky – od nejnižších (20) zprava doleva až po nejvyšší ještě potřebnou mocninu (vyšší už svojí hodnotou přesahuje zadané číslo) 16, 8, 4, 2, 1 32 je už příliš velké číslo Nyní zkoumáme, zda je daná mocnina v čísle 29 obsažena – pokud ano, zapíšeme jedničku, pokud ne tak nulu. Po zapsané jedničce od zadaného čísla odečteme hodnotu příslušné mocniny (abychom věděli, kolik ještě zbývá k dalšímu rozdělení) 16 je ve 29, píšeme 1, 29-16=13 8 je ve 13, píšeme 1, 13-8=5, 4 je v 5, píšeme 1, 5-4 = 1, 2 v 1 není (dvojka je větší) – píšeme nulu, 1 v 1 je, píšeme 1 (1-1=0) převod končí (29)10 = (1 1 1 0 1)2 16 8 4 2 1 Zkouška: 1*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 16+8+4+0+1= 29

13. Číselné soustavy odvozené z dvojkové 1) Převod z dvojkové do odvozené Zdrojovou číselnou soustavou bude soustava dvojková, cílovou soustavou je taková, která je odvozená z dvojkové – tj. čtyřková, osmičková, šestnáctková… Příklady: (1110010)2 = (1302)4 (1110010)2 = (162)8 (1110010)2 = (72)16 (1110010)2 = (3I)32 - slovy 3 í (I odpovídá číslu 18, kdy 10 = A, Bé 11, …, 15=F, 16=G, 17=H, 18=I) Postup: zdrojové číslo rozdělíme zprava do skupin po tolika číslicích (bitech), kolik jich je potřeba pro zápis nejvyššího symbolu (číslice) dané soustavy – 2, 3, 4, 5 … bity pro čtyřkovou, osmičkovou, šestnáctkovou , 32-ovou … soustavu a každou skupinu bitů převedeme na desítkové číslo – pozor u čísel větších než 9, tam je pak ve výsledku použít písmena A, B… (1110010)2 = (162)8 (1110010)2 = (001 110 010)2 (pokud chybí u nejvyšší jedničky bity – doplníme nulami) 1 6 2 - tedy výsledek je (162)8

14. Číselné soustavy odvozené z dvojkové – pokračování Tabulka 2) Převod ze soustavy odvozené z dvojkové (čtyřková, osmičková, šestnáctková…) do dvojkové soustavy. Příklady: (23)4 = (1011)2 (74)8 = (111100)2 (6C)16 = (1101100)2

15. Číselné soustavy odvozené z dvojkové - pokračování Postup převodu: Každou číslici vstupního čísla převedeme samostatně na tolikabitové dvojkové číslo, na kolik bitů zapíšeme nejvyšší symbol dané soustavy – pro čtyřkovou jde o trojku (11 = 2 jedničky), pro osmičkovou o 7 (111 = 3 jedničky) pro šestnáctkovou o 15 (1111 = 4 jedničky) Pro 32-ovou o 31 (11111 = 5 jedniček), atp. Tedy u čtyřkové každou číslici na dvoubitové dvojkové číslo, u osmičkové každou číslici na tříbitové dvojkové číslo, u šestnáctkové každou číslici na čtyřbitové dvojkové číslo, u 32-ové na pětibitové dvojkové číslo, atp.

16. Počet symbolů = prvků = znaků určité číselné soustavy o základu Z je: Z + 1 Z - 1 Z Kontrolní otázky 2. Jakou váhu jednotek mají celá čísla v jakékoli číselné soustavě o základu Z: Z0 = 1 Z-1 = 1/Z Z1 = Z 3. Záporná mocnina základu Z – např. Z-2 určuje číslo: menší než nula záporné číslo menší než jedna

17. Počet symbolů = prvků = znaků určité číselné soustavy o základu Z je: Z + 1 Z - 1 Z Kontrolní otázky – správné odpovědi – červeně 2. Jakou váhu jednotek mají celá čísla v jakékoli číselné soustavě o základu Z: Z0 = 1 Z-1 = 1/Z Z1 = Z 3. Záporná mocnina základu Z – např. Z-2 určuje číslo: menší než nula záporné číslo menší než jedna

18. Seznam obrázků:

19. Seznam použité literatury: [1] Matoušek, D.: Číslicová technika, BEN, Praha, 2001, ISBN 80-7232-206-0 [2] Blatný, J., Krištoufek, K., Pokorný, Z., Kolenička, J.: Číslicové počítače, SNTL, Praha, 1982 [3] Kesl, J.: Elektronika III – Číslicová technika, BEN, Praha, 2003, ISBN 80-7300-075-X

20. Děkuji za pozornost 