Projeto e Análise de Algoritmos

1. Projeto e Análise de Algoritmos Celso Carneiro Ribeiro http://www.inf.puc-rio.br/~celso Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

2. Parte 1 Introdução Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

3. Alguns exemplos • Totalizar uma folha de pagamento • Ordenar uma lista de números • Multiplicar dois números inteiros • Multiplicar duas matrizes • Dado um tabuleiro de xadrez, obter o melhor movimento para as peças brancas. • Obter o conjunto de rotas ótimas para um determinado número de veículos, que devem distribuir um certo número de produtos em determinados pontos de venda de certas cidades. • Dado um programa R escrito em uma linguagem L e uma entrada X qualquer para R, decidir se R termina se for submetido à entrada X. Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

4. O que é um algoritmo? • Do dicionário Aurélio: processo de cálculo ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, com generalidade e sem restrições, regras formais para a obtenção do resultado, ou da solução do problema. • Conjunto predeterminado e bem definido de regras e processos destinados à solução de um problema, com um número finito de etapas. Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

5. O que é um algoritmo? • Sequência finita de instruções elementares e bem definidas (não-ambíguas), que levam à solução de um problema específico. • Operações válidas • Definidas (some 6 ou 7 a x) • Efetivas ( ) (aritmética de inteiros versus reais) • Término em tempo finito (procedimento computacional) Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

6. Qual algoritmo utilizar para resolver um problema? Quando se resolve um problema, é necessário decidir-se pelo algoritmo a ser utilizado. Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

7. Exemplo 1: Multiplicação de dois números inteiros com n dígitos Algoritmo 1: ~n2 Algoritmo 3: ~n1.59 Algoritmo 2: ~n2 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

8. Exemplo 2: MDC – Algoritmo ingênuo Entrada: x, y  Z* Saída: MDC(x, y) = Max{ z  Z |  a,b  Z, x = az, y=bz } Function mdc(x, y: integer): integer var t: integer início se x<y então t  x senão t  y enquanto (x mod t <>0) ou (y mod t<>0) faça t  t-1; mdc  t fim fim_function Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

9. Exemplo 2: MDC – Algoritmo de Euclides Function mdc_e(x, y: integer): integer início se y=0 então mdc_ex senão mdc_emdc_e(y, x mod y) fim fim_function_mdc_e MDC (54180, 13125) = ? MDC (54180, 13125) = 105 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

10. Exemplo 2: MDC Algoritmo ingênuo realiza 13020 iterações. Algoritmo de Euclides realiza 5 iterações! Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

11. Exemplo 2: MDC – Algoritmo de Euclides Eliminação da recursão function mdc(x, y: integer): integer var t: integer início enquanto y<>0 faça início t x mod y x y y t fim mdc_e_i  x fim fim_function_mdc Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

12. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Seqüência de Fibonacci: an = an-1 + an-2 a0 = 0 a1 = 1 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

13. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Algoritmo 1 function fib1(n) se n<2 então retorne n senão retorne fib1(n-1) + fib1(n-2) fim_function_fib1 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

14. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Algoritmo 2 function fib2(n) i  0 j  1 para k=1 até n faça j  i+j i  j-i fim_para retorne j fim_function_fib2 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

15. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Algoritmo 3 function fib3(n) i  1, j  0, k  0, h  1 enquanto n>0 faça se n é ímpar então t j.h j i.h + j.k + t i i.k + t fim_se t h2 h 2.k.h + t k k2 + t n n div 2 fim_enquanto retorne j fim_function_fib3 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

16. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Cálculo da complexidade • fib1(n) = fib1(n-1) + fib1(n-2) • Cada chamada de fib1: O(1) • T(n) é o número de chamadas de fib1 para o cálculo do n-ésimo termo Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

17. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Cálculo da complexidade • Parte homogênea: solução da forma rn • Parte não-homogênea: métodos dos coeficientes indeterminados (termo não homogêneo=1) Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

18. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Cálculo da complexidade Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

19. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Cálculo da complexidade • S(n): número de somas efetuadas para calcular n-ésimo termo • S(n) = S(n-1) + S(n-2) + 1 Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro

20. Exemplo 3:Cálculo do n-ésimo elemento da seqüência de Fibonacci Algoritmo 1: Algoritmo 2: Algoritmo 3: Cálculo da complexidade Algoritmo 1: Algoritmo 2: f100: 21 dígitos decimais Algoritmo 3: Pascal, CDC Cyber 835: n=102 n=108 109 anos _ 1 ½ ms 25 minutos ½ ms 2 ms Projeto e Análise de Algoritmos - Celso Carneiro Ribeiro