Problèmes d’optimisation

1. Problèmes d’optimisation Illustration de quelques catégorisations possibles Pierre Henrotay, Maggy Schneider Ladimath, ULg Université d’été du CIFEN, 26 août 2011

2. Des problèmes qui suscitent le désarroi Quelques réflexions entendues parmi les élèves • Y a pas de recette, c’est toujours différent, c’est imprévisible, on ne sait pas se préparer • C’est pas que des maths • Plus j’en fais, plus je m’y perds • On ne voit pas par où commencer • Il faut se souvenir de tout car beaucoup de choses, beaucoup de formules interviennent • C’est compliqué • Les énoncés, c’est compliqué • Inconnues, variables, grandeurs, relation, fonction, contrainte … tout ça c’est du pareil au même • Pouvez-vous nous traduire l’énoncé svp ?

3. Les auteurs confirment la complexité On a bien affaire ici à des problèmes « inédits et complexes » • Ces problèmes (d’optimisation) sont souvent assez compliqués… (Espace Math 5/6) • Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes (Stewart, Analyse 1) • La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il est bien difficile d'établir une méthode précise de résolution (Swokowski, Analyse)

4. Des pistes selon les auteurs? • En faire plus ? Ce n’est qu'au prix de beaucoup d'efforts et d'entraînement que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes (Swokowski, Analyse) Mais pour les élèves : • Cela aide certains : ceux qui analysent ce qui a été fait et pourquoi • Les autres : Plus j’en fais, plus je m’y perds

5. Des pistes selon les auteurs? • Rechercher une « recette miracle » ? Trouver une méthode générale qui permet d’aborder progressivement un problème nouveau est illusoire • Une piste possible : classifier, catégoriser, identifierdes similitudes • Essayer de reconnaître quelque chose de familier : relier la situation donnée à vos connaissances antérieures… • Essayer de reconnaître une structure … • Un des principes les plus importants de la résolution de problèmes est l'analogie… (Stewart, Analyse 1)

6. La piste de la catégorisation Le contexte de l’« Approche par compétences » nous interpelle ici L'élève compétent n'est pas celui qui sait seulement accomplir une opération stéréotypée en réponse à un signal préétabli. Il doit savoir choisir les procédures à mettre en oeuvredans des situations toujours nouvelles, il doit savoir élaborer une démarche originale. (B. Rey) La piste « classifier » ou « catégoriser » mérite d’être suivie Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se résolvent ou s'expliquent de la même façon. Nous discuterons ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre différents. (G. et N. Brousseau)

7. Une classification apparemment naïve • Première proposition des élèves : que cherche-t-on à optimiser ? (apparemment) naïf : tout ce qui est longueur, aire, volume… puis temps, puis coût, puis… puis… • Symptômatique d’une progression dans la résistance/difficulté à traiter : • quantité simple (somme, produit…), explicite dans l’énoncé • longueur, aire, volume • temps • coût • débit • résistance à la traction, à la torsion… • frottement • dissipation, déperdition calorifique • autres (éclairement…)

8. Une classification apparemment naïve • Les élèves abordent de bon gré les 2 premières « classes » mais sont déconcertés par les suivantes : ce n’est plus des maths, c’est de la physique • Le professeur a l’impression d’avoir violé une règle du jeu implicite (rupture du contrat) • Signe de l’inconfort de l’élève, qui est censé aussi faire des liens, ou (pire) appliquer des lois supposées « évidentes » • Or … un problème peut en cacher un autre : • temps lié à longueur via vitesse • coût lié à longueur, aire, volume • débit lié à aire • résistance liée à longueur ou aire • frottement lié à aire • dissipation, déperdition liée à aire • éclairement lié à longueur ou aire

9. Une classification apparemment naïve • Une piste pour surmonter l’obstacle : proposer aux élèves de transformer un problème de longueur, aire, volume en un autre Exemple problème de dimensions optimales à donner à un solide de volume fixé : une optimisation d’aire se transforme en optimisation d’un coût (peinture des faces) ou d’une perte calorifique (isolation des faces) • Conclusion : • Classification naïve, guère utilisable en pratique mais révélatrice de malaises et donc à creuser avec les élèves • Permet de jouer avec l’énoncé (traduction langage français/mathématique)

10. Une classification basée sur le nombre de variables • Deuxième proposition des élèves, largement induite car un classique des premières étapes de la résolution • Ré-exploration des exercices faits : « comment a-t-on procédé ? » Fil rouge : quelles stratégies, combien de variables et lesquelles ?

11. Une classification basée sur le nombre de variables Exemple 1 : De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont l’aire est maximale ? Enoncé volontairement général (pas de « de côté », pas de dessin, pas de littéraux)

12. Une classification basée sur le nombre de variables Tous les élèves commencent par une représentation graphique : un triangle rectangle

13. Une classification basée sur le nombre de variables Pour quelques-uns : • Problème à 1 variable, car un côté suffit, l’autre étant déterminé par Pythagore • Cette réflexion est faite avant même d’écrire une quelconque formule pour l’aire • Ensuite, écriture de l’aire : • certains voient immédiatement comme celle du demi-rectangle • d’autres cherchent à exprimer en tant que demi-produit de la base (hypoténuse) par une hauteur qui leur échappe

14. Une classification basée sur le nombre de variables Pour beaucoup : • Problème à 2 variables, car on a un triangle et on connaît un seul côté • Très rapidement, ils écrivent la relation liant les 2 variables, car on donne l’hypoténuse (ils ne font pas vraiment référence à Pythagore, même si c’est bien cette relation qu’ils écrivent) • A nouveau, le fait de devoir exprimer l’aire n’intervient pas directement • Suite : comme pour le premier cas

15. Une classification basée sur le nombre de variables Pour certains : • Problème à 1 variable car on a besoin de la seule hauteur pour calculer l’aire puisqu’on connaît la base • Donc ici, le focus s’est déplacé de la modélisation du problème (comment représenter un triangle rectangle d’hypoténuse donnée) à ce qu’il faut optimiser – l’aire • Mais tous ou quasi oublient que le triangle est rectangle • La suite de leur calcul, c’est de dériver une fonction linéaire de la hauteur, ce qui conduit bien sûr à une aberration. Les élèves sont désemparés

16. Une classification basée sur le nombre de variables Pour peu d’élèves: • Problème à 1 variable, car il suffit de connaître un angle, le triangle étant rectangle • La difficulté est ici de calculer l’aire : il faut se souvenir des relations dans un triangle rectangle • Mais ces élèves sont justement ceux qui maîtrisent bien les triangles rectangles (sinon, ils n’auraient pas songé à une solution basée sur un angle) • La suite est intéressante également : • Soit effectuer mécaniquement le calcul de la dérivée puis résoudre l’équation trigonométrique résultante • Soit utiliser le sinus de l’angle double pour déduire immédiatement le résultat. La solution est triviale et on voit directement apparaître le triangle rectangle comme étant isocèle

17. Une classification basée sur le nombre de variables La façon de poser le problème n’est pas neutre ! Même problème, mais une illustration est fournie, où le triangle rectangle est inscrit dans un cercle

18. Une classification basée sur le nombre de variables • Avant d’entamer la résolution, les élèves imaginent correctement la solution optimale : ils font mentalement évoluer le sommet opposé à l’hypoténuse et tous ou presque sont convaincus que la solution est celle pour laquelle « les angles sont de 45° » • Cette fois, l’approche « 1 variable : l’angle » est choisie par une majorité des élèves

19. Une classification basée sur le nombre de variables Exemple 2 : De tous les rectangles inscrits dans un cercle, quel est celui dont l’aire est maximale ? Tous les élèves commencent par une représentation graphique : un rectangle de longueur horizontale, son centre puis le cercle circonscrit

20. Une classification basée sur le nombre de variables Pour la plupart : • Problème à 2 variables, car dans un rectangle, il y a une longueur et une largeur. C’est d’ailleurs ce qu’il faut pour déterminer l’aire • Pour trouver la relation entre ces deux variables, la plupart identifient rapidement que chaque diagonale est diamètre du cercle, et utilisent Pythagore

21. Une classification basée sur le nombre de variables • Peu font le lien entre ce rectangle et les deux demi-triangles rectangles qui le composent, dont l’hypoténuse est le diamètre du cercle • Et aucun ne remarque que ce problème est en réalité identique à celui traité précédemment

22. Une classification basée sur le nombre de variables Exemple 3 : De tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle, quel est celui dont l’aire est maximale ?

23. Une classification basée sur le nombre de variables Plusieurs élèves estiment que le triangle optimal devrait être équilatéral, pour des raisons de symétrie Pour la majorité : • Problème à 2 variables car dans un triangle, pour calculer une aire, on a besoin d’une base et d’une hauteur • C’est clairement la formulation de l’aire qui a induit la catégorisation et le choix des variables • La relation entre base et hauteur est cependant moins évidente

24. Une classification basée sur le nombre de variables Et pourquoi pas un problème à 1 variable ? • Aucun ne pense à aborder le problème en introduisant une seule variable, comme un angle, qui caractériserait le triangle isocèle • La propriété liant angle au centre et angle inscrit, qui serait simplificatrice, n’est pas non plus toujours fraîche en mémoire

25. Une classification basée sur le nombre de variables Un guide pour choisir la ou les variables ? A élaborer avec les élèves Résultat : • Si je devais demander à quelqu’un de construire l’objet, quelle information lui donner ? De quoi a-t-il besoin ? • Si je devais expliquer à quelqu’un de quoi on parle, quelle information lui donner ? Comment le faire au mieux ?

26. Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ? • Une rigole a pour section un trapèze. La petite base inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de l’eau soit maximal ? • Réflexions d’élèves : Pourquoi se soucier de choisir ses variables ? On finit quand même par n’en avoir plus qu’une, puisqu’on élimine les autres , il n’en reste qu’une et c’est la bonne • Oui… mais laquelle, y en a-t-il une « meilleure » que les autres ? • Autopsie d’un exercice :

27. Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ? • Les élèves démarrent sur une stratégie à deux variables, car un trapèze est déterminé par une grande base, une petite base (donnée) et une hauteur. La formule de l’aire du trapèze, à optimiser, les conforte dans ce choix • La plupart trouvent la relation entre grande base, hauteur et petite base via Pythagore • La substitution dans l’expression de l’aire à rendre optimale donne cependant un résultat un peu compliqué, qui en décourage certains. On a dû se tromper…

28. Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ? • Une tout autre approche aurait été de choisir pour variable l’angle que fait une paroi oblique avec les bases. Les relations dans les triangles rectangles permettent de facilement relier hauteur et grande base à l’angle, et l’aire devient fonction de ce seul angle • La difficulté est reportée dans le calcul de la dérivée de fonctions trigonométriques, et surtout dans l’étude du signe de cette dérivée

29. Une variable peut en cacher une autre Le choix de la « bonne » variable n’est pas toujours évident La partie supérieure droite d’une feuille de papier de 30 cm sur 20 cm est repliée le long du bord inférieur. Comment choisir l’endroit du pli pour minimiser la longueur du pli ?

30. Une variable peut en cacher une autre Une deuxième variable peut temporairement aider ABCD est un carré unitaire. D en est le coin inférieur gauche. On trace le cercle unitaire de centre D. T est un point de l’arc de cercle AC. On trace la tangente au cercle, passant par T. Cette tangente détermine M sur le segment AB et N sur le segment BC. Pour quelle position de T la distance MN est-elle minimale ?

31. Quelles relations entre variables ? Exemple de liste construite avec les élèves en balayant les exercices faits : 1. explicite dans l’énoncé • « dont la somme (ou : différence, produit, quotient…) est… » ; nécessité de traduire le français en mathématique • relation de proportionnalité :« … la longueur est trois fois la hauteur… » 2. relation algébrique, mesure géométrique • souvent issue d’une formule : périmètre, aire, volume ... « Trouver le champ rectangulaire d’aire maximum et de périmètre donné »

32. Quelles relations entre variables ? 3. relation géométrique • Pythagore • De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont l’aire est maximum ? • Triangles semblables ou Thalès • Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans un cône donné 4. relations (tri)angulaires • Une rigole a pour section un trapèze. La petite base inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de l’eau soit maximal ?

33. Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) Qu’ont en commun les problèmes suivants : • Un messager se trouve sur la berge d’un fleuve de 3 km de large. Il doit se rendre à un camp situé à 8 km en aval, sur l’autre berge. Le messager marche à 5 km/h et nage à 4 km/h. Où doit-il aborder pour que son trajet soit le plus rapide possible ? • On désire tirer une ligne téléphonique entre deux points A et B distants de 50 m. A est au niveau du sol et B se trouve à 30 m de profondeur. Poser un câble sur le sol revient à 400 EUR/m mais le câble enterré, c’est 700 EUR/m. Pour un coût minimal, quelle est la longueur de la portion de câble à tirer au sol ?

34. Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) • Chacun de ces problèmes conduit à l’étude d’une fonction irrationnelle • Richesse en variables didactiques • La fonction peut être un temps, une distance, un coût… • Le comportement peut être différent selon certains paramètres (vitesses dans chaque milieu…) • Plus généralement, un prétexte à l’évocation : • Du principe de moindre effort • Du principe d’optimalité

35. Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) Une difficulté technique inhérente à cette classe : L’étude de la variation de la fonction n’est pas toujours simple, à cause des racines carrées; ceci perturbe les élèves, pour qui l’étude du signe de la dérivée première (et seconde, encore plus pénible ici) est incontournable Or : • considérer les asymptotes obliques donne l’allure de la fonction • la physique du problème fait que l’extremum trouvé doit être un minimum (ou un maximum)

36. Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) • Une recherche d’un « minimum » qui traduit un principe général de moindre effort • Dans un chemin optimal, tout sous­-chemin est aussi optimal Dans les problèmes de ce type, on a implicitement admis que dans chaque « milieu », le chemin optimal est la ligne droite • Loi de Snell-Descartes pour la réfraction (1637), Principe de Fermat (1657), Principe de moindre action de Maupertuis (1744)…

37. Des obstacles particuliers Des obstacles récurrents • La mise à échelle – une solution à un multiple près • L‘énoncé dit « proportionnel », sans dire quel est le rapport de proportionnalité, ou « fixée » sans dire quelle valeur serait imposée • Entendu : Il manque quelque chose On ne donne pas le rapport, c’est impossible Disons 1 m³, OK ? • Si une grandeur (fonction) est optimale, un multiple de celle-ci le sera aussi ; il s’agit d’un simple choix – arbitraire – d’unités

38. Des obstacles particuliers • Passer de 2D en 3D et vice versa • Malaise général avec la perception 3D • Représentation simple (vue en coupe) = aide Trouver la hauteur du cône de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnée • Risque : « aplatir » l’ensemble du problème (les volumes devenant des aires pour certains élèves)

39. Des obstacles particuliers • Plus difficile car demande une opération de construction : A partir du disque en fer-blanc, on veut fabriquer un entonnoir conique : on y découpe un secteur et on plie le reste en joignant les deux bords de coupe de façon à former un cône. Quel doit être la partie du secteur découpé pour que la capacité du cône obtenu soit maximale ?

40. Des obstacles particuliers • Savoir représenter la réalité n’est pas inné • On souffle trop ? Faut-il limiter la guidance ? • Comparer les énoncés suivants : • Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnée • Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal • Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r comme illustré. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal

41. Des obstacles particuliers • Confondre ce qui est à optimiser et les relations entre variables • Confusion, inversion, mélanges… Partager une somme de 75 Euros en deux montants, de sorte que le produit de l’un par le carré de l’autre soit maximum. Que vaut ce maximum ? • solution proposée par certains : x.y²=75 • Expérience à tenter avec les élèves : modifier un énoncé pour que les rôles soient échangés (classiquement : optimiser une aire ou un volume avec contrainte sur un périmètre ou une aire et vice versa) Adosser à un mur rectiligne un poulailler rectangulaire d'aire 50 m² de façon telle que la longueur du treillis nécessaire pour clôturer soit minimale

42. Il faut se souvenir de tout… De quoi au juste ? De quoi a-t-on souvent besoin ? Proposer aux élèves de réaliser un pense-bête, élaborer avec eux un formulaire : c’est rassurant Résultat typique : • Volume (parallélépipède, cylindre, sphère, cône), aire et périmètre (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle, secteur, arc) • Vocabulaire :somme, produit, quotient, terme, facteur • Trigonométrie du triangle rectangle, triangles semblables • Thalès • Angle inscrit et au centre • Second degré (racines, sommet) • Etude du signe

43. L’optimisation comme application des dérivées Demander aux élèves : « Est-ce toujours nécessaire ? Avons-nous rencontré des contre-exemples ? » Cas identifiés sur base des exercices faits : • Un maximum ou un minimum peut être réalisé aux bornes de l’intervalle • Une fonction peut être non dérivable (même en étant continue) • La fonction à optimiser est un trinôme du deuxième degré, une vieille connaissance • La fonction à optimiser possède un extrémum évident • Fonctions irrationnelles : recours aux asymptotes

44. Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? • On distingue dans l’énoncé les données des inconnues. • Parmi les grandeurs inconnues, on choisit la variable et ses bornes de variation ; on exprime les autres grandeurs inconnues en fonction de cette variable. • On recherche une expression analytique de la fonction traduisant les données les valeurs de la variable qui maximisent ou minimisent cette fonction • On calcule la dérivée de cette fonction. • On recherche les racines de cette dérivée ; on les confronte avec les conditions exigées dans l’énoncé. • On vérifie que pour la (ou les) valeur(s) retenue(s), la fonction est bien maximisée ou minimisée. • On conclut !

45. Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? • Exprimer a) la quantité Q à rendre optimale (maximale ou minimale) comme fonction d’une ou plusieurs variables. b) toute relation entre les variables. • Utiliser ces relations pour exprimer Q comme fonction d’une seule variable et déterminer l’ensemble D des valeurs admissibles de cette variable. • Rechercher les points critiques de cette fonction sans oublier de contrôler ce qui se passe aux bords de D. Il faut donc dériver Q par rapport à la variable, résoudre Q’=0 et étudier le signe de Q’. • Vérifier le résultat.

46. Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? • Lisez le problème attentivement et plusieurs fois en faisant la distinction entre les données et les inconnues. • Faites un schéma ou un diagramme, si c'est possible, et profitez-en pour donner des noms aux variables inconnues. Les inconnues se repèrent dans l'énoncé aux termes « quel, chercher, combien, à quelle distance, ou quand ». • Mettez par écrit les éléments donnés du problème ainsi que toute relation entre les variables. • Déterminez quelle est la variable à maximiser ou minimiser et exprimez-la en fonction d'une seule des autres variables. • Cherchez les points critiques de la fonction obtenue au point 4. • Calculez les extremums à l'aide de la marche à suivre (…) ou des tests de la dérivée première ou seconde. Contrôlez ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle le cas échéant.

47. Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes.

48. Retour sur l’utilisation d’une catégorisation • Les élèves jouent collectivement le rôle d’« analystes du savoir », en étudiant la manière dont les problèmes ont été appréhendés et résolus , en exprimant et analysant leurs obstacles, en explorant les types de tâches associées aux diverses classes de problèmes et les techniques les plus efficaces • Pas de quête d’une recette miracle, mais une focalisation sur la reconnaissance de classes de problèmes identifiées et travaillées préalablement, comme observé chez les experts • A rapprocher du comportement du crisis manager : Au fur et à mesure qu'il gère des crises, le crisis manager construit un savoir-faire d'expérience par lequel il se dote d'une classification des crises ainsi que d'un répertoire de procédures adaptées. Bref, au fur et mesure que le crisis manager acquiert de l’expertise, la notion de crise se dissout progressivement (M. Crahay)