L’ellisse come luogo di punti

1. Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti L’ellisse come luogo di punti • Nell’ultima lezione abbiamo presentato le coniche, e in particolare l’ellisse, come sezioni di un cono circolare retto • l’ellisse infatti si ottiene sezionando un cono con un piano che forma con il suo asse un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono.

2. Ora dimostreremo che l’ellisse può essere definita anche in un altro modo: • Nel piano di un’ellisse, infatti, esistono due punti per i quali la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse è sempre la stessa. • Questi due punti si chiamano “fuochi dell’ellisse”.

3. Ma torniamo, per ora, al nostro cono. • Supponiamo di inserire, all’interno del cono, una sfera tangente al piano dell’ellisse ed al cono stesso, nel modo mostrato nella figura. • Secondo te, in quanti punti si toccano cono e sfera? Due punti Infiniti punti

4. Hai risposto: due punti • Probabilmente ti ha confuso il disegno. • In realtà, se una sfera tocca un cono in due punti, lo tocca anche in infiniti altri punti che stanno tutti su una circonferenza il cui piano è perpendicolare all’asse del cono.

5. Nota anche un’altra cosa: le semirette giacenti sul cono e che partono dal vertice sono tutte tangenti alla sfera, ed i segmenti che vanno dal vertice al punto di tangenza sono tutti uguali. • Un’altra domanda: ci sono altre sfere che sono tangenti al cono e al piano? Si No

6. Hai risposto: infiniti punti • Infatti. Il cono tocca la sfera su infiniti punti che stanno tutti su una circonferenza di raggio più piccolo del raggio della sfera. • Il piano della circonferenza è perpendicolare all’asse del cono.

7. Hai risposto: No • Non nella parte di spazio compresa fra il vertice ed il piano dell’ellisse, • però, nell’altra parte dello spazio ce n’è un’altra, più grande della prima. • Ovviamente, anche questa circonferenza tocca il cono in infiniti punti. • Altra domanda: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse? Uno infiniti

8. Hai risposto: Si • Infatti, ce n’è un’altra nella parte di spazio illimitata che si trova dall’altra parte del vertice, rispetto al piano. • Ora si chiede: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse? Uno Infiniti

9. Hai risposto: uno • Infatti fra una sfera ed un piano ad essa tangente ci può essere un solo punto di intersezione, quello più vicino alla sfera stessa. • Da notare che ogni retta del piano che passa per tale punto è anch’essa tangente alla sfera.

10. Hai risposto: infiniti • Questo era vero per il cono, ma non può essere vero per il piano. • Infatti se ci fossero più punti di tangenza fra piano e sfera, il segmento che unisce tali punti (che per forza appartiene al piano) sarebbe interno alla sfera. • Il piano quindi sarebbe in parte interno, in parte esterno alla sfera (e quindi non sarebbe tangente)

11. Fra le due sfere ed il piano dell’ellisse ci sono quindi 2 punti di intesezione. • Chiamiamo tali punti “fuochi dell’ellisse” (e indichiamoli con F1 ed F2). F1 F2

12. F1 F2 P • Scegliamo ora, a caso, un punto dell’ellisse (chiamiamolo “punto P”) • tracciamo anche la semiretta che parte dal vertice del cono e passa per il punto dell’ellisse che abbiamo scelto.

13. A F1 F2 P B • Indichiamo poi con A e B i punti di contatto fra tale semiretta e le sfere tangenti al piano dell’ellisse. • A proposito, secondo te, la distanza fra A e B dipende dalla scelta di P oppure no? Non dipende dalla scelta di P dipende dalla scelta di P

14. A A’ B B’ Hai risposto: non dipende dalla scelta di P V • Infatti il segmento AB è la differenza fra il segmento VB ed il segmento VA, che non dipendono dalla scelta della semiretta.

15. Hai risposto: dipende dalla scelta di P V • Guarda bene: prendi due punti P e P’ sull’ellisse, e considera i corrispondenti punti A’ e B’. • I segmenti VA e VA’ sono uguali • e sono uguali anche VB e VB’ • Allora AB e A’B’ non possono che essere uguali. • Quindi la lunghezza di AB non dipende dalla scelta di P. A A’ P P’ B B’

16. A F1 F2 P B • Unisci ora il punto P con i due fuochi • sta attento perché questo passaggio è cruciale: • Secondo te, il segmento PF1 ed il segmento PA sono uguali o diversi? Sono uguali sono diversi

17. A F1 F2 P B Hai risposto: sono diversi • Bisogna ammettere che qui la prospettiva è veramente fuorviante. • Pero pensaci un attimo: • i due segmenti sono entrambi tangenti alla sfera • inoltre passano entrambi per P. Giusto?

18. P • Ora, una sfera stacca segmenti uguali su tutte le tangenti che passano per un punto P (vedi disegno). • Di conseguenza i segmenti, anche se sembrano diversi, per un effetto di prospettiva, in realtà sono uguali.

19. P Hai risposto: sono uguali • Giusto, questo era proprio difficile. • In effetti i segmenti di tangente condotti da un punto ad una sfera sono tutti uguali fra loro.

20. A F1 F2 P B • Quindi il segmento PA ed il segmento PF1 sono fra loro uguali. • E analogamente anche PB è uguale a PF2 (questo dal disegno si vede ancora meno, ma è sempre vero). • Ora fa attenzione • Se PA=PF1 e PB=PF2 allora: PF1 + PF2 =AB PF1 + PF2 =PA+PB

21. Hai risposto: PF1 + PF2 =PA+PB V • Questo è vero, ovviamente, ma pensaci, A, P e B stanno sulla stessa retta, e sono consecutivi, quindi la somma dei due segmenti PA e PB è proprio uguale al segmento AB, non ti pare? A P B

22. Hai risposto:PF1 + PF2 =AB • Giustissimo, finalmente siamo arrivati all’ultimo passaggio ...

23. Allora, abbiamo concluso che per ogni punto P dell’ellisse, la distanza PF1, sommata alla distanza PF2, è uguale al segmento AB • Ora, come abbiamo visto, la lunghezza di AB è indipendente dalla scelta di P • Ma allora, la somma delle distanze del punto P dai due fuochi F1 ed F2 è indipendente dalla scelta di P. A A’ F1 F2 P P’ B B’

24. Conclusione • Questo significa che per ogni ellisse esistono due punti (i due fuochi) per i quali è costante la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse. • Questo è proprio quello che si voleva dimostrare.