Movimiento en un Plano

1. Movimiento en un Plano Autores Ignacio Cruz EncinasMario Enrique Álvarez RamosRoberto Pedro Duarte ZamoranoEzequiel Rodríguez Jáuregui Rogelio Gámez Corrales UNIVERSIDAD DE SONORA Departamento de Física

2. DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO • Sea r1 el vector de posición inicial que ubica a la partícula en el plano cartesiano, cuando éste está en el punto de coordenadas ( x1 , y1 ) en el instante de tiempot1. • Sear2el vector de posición final que ubica a la partícula en el plano cartesiano cuando está en el punto de coordenadas ( x2 , y2 ) en el instante de tiempo t2. • Se define el vector Ao cambio de posición como aquél que va desde la posición inicial de coordenadas ( x1 , y1 ) hasta la posición final de coordenadas ( x2 , y2 ). Veámoslos gráficamente:

3. DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO Trayectoria del cuerpo y + (x2 , y2) en t2 y2 A Dy = y2 – y1 (x1 , y1) en t1 r2 y1 r1 x1 Dx = x2– x1 x2 x +

4. Donde: D x = x2 – x1 es la componente del vector A en el eje x D y =y2 – y1 es la componente del vector A en el eje y A = |A|= √(Dx)2 + (Dy)2 =√(x2- x1)2 + (y2 - y1)2 es la magnitud del vector A,la cual representa la distancia entre la posición inicial y la final, más no la distancia recorrida por el cuerpo, puesto que la trayectoria que siguió la partícula es diferente. Analizando a los vectores que tenemos en la figura, observamos que el vectorr2es la resultante de sumar los vectores r1 y A; esto es: r1 + A = r2

5. Despejando al vector A (siguiendo las reglas del álgebra) tenemos que: A =r2 - r1 definiendo a AcomoDr , tenemos que: Dr = r2 - r1 lo cual en expresiones verbales representa: Cambio de posición o Desplazamiento = Posición final - Posición inicial

6. Características del vector desplazamiento Como el desplazamiento es un vector,tiene: • Magnitud, • unidad, metros • dirección • Sentido.- De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde lo medimos (ejes horizontales). Por ejemplo: Al Sur del Este (al S del E) Al Norte del Oeste (al N del O)

7. VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANO Ya quetenemos la definición de desplazamiento o cambio de posición, procedamos a calcular que tan rápido se realizaron tales cambios. Como una primera aproximación, una forma de calcularlos es mediante el cociente de: Dr∕ Dt cuyas unidades son m/s Este concepto así definido recibe el nombre de velocidad media. Para ver que tipo de cantidad física es (escalar o vectorial) analicemos el cociente: D res una cantidad vectorial D t es una cantidad escalar Y el cociente se puede expresar como: ( 1∕ D t ) ( D r )

8. D r 1 1 D r Vm =|vm| = D r = = D t D t D t Velocidad media … lo que representa la multiplicación de un escalar (1/Dt) por un vector (Dr), obteniendo un nuevo vector que es k veces mayor, menor o igual. La magnitud viene dada por: donde el subíndice m indica media. Tal magnitud representa la rapidez del vector velocidad media. El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origen, esto es, D r

9. Velocidad media … Con respecto a la velocidad media en el plano, existen dos casos importantes de analizar: • Uno de ellos es cuando la trayectoria coincide con la dirección del desplazamiento. • El otro que es el más general, cuando la trayectoria es cualquier otra trayectoria diferente a la del caso anterior. El primer caso no presenta mayor problema. Se trata de un • Movimiento rectilíneo uniforme (la magnitud de la velocidad media es constante, siempre en la misma dirección y sentido) o • Rectilíneo uniformemente acelerado (la magnitud de la velocidad media es variable pero siempre con la misma dirección y sentido). En ambos casos, aunque la partícula se encuentre en un plano, se está moviendo a lo largo de uno de los ejes (línea recta), siendo el tema que se abordó en el movimiento unidimensional aunque no en forma vectorial.

10. Velocidad media … El que se analiza ahora es el otro caso: • Cuando la partícula siga una trayectoria diferente a la del vector desplazamiento. Dicho análisis se puede subdividir en dos partes: • Analizar el problema en su forma más sencilla • Posteriormente aumentar el grado de complejidad. Sencillo: • Cuando la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero magnitud del vector velocidad media constante (misma rapidez). Complejo: • Aquél donde la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero la magnitud del vector velocidad media es variable (la rapidez cambia de instante a instante).

11. y+ 2 Dr12 trayectoria 3 Dr13 1 r 2 r 3 r1 x+ Velocidad media … Analizaremos el primer caso a partir de la siguiente ilustración. Para ello tomamos tres posiciones diferentes que estén sobre la trayectoria de la partícula.

12. Velocidad media … • La magnitud del vector v12es: v12= |v12|= (1 ∕D t 12) | Dr12 | Con misma dirección y sentido que r12 • La magnitud del vector v13 es: v13= |v13| = (1 ∕D t 13) | Dr13 | Con misma dirección y sentido que r13 Suponiendo que la rapidez es constante, es decir: |v12|=|v13|=constante a pesar de ello, los vectores velocidad media son diferentes debido a que no tienen la misma dirección (para que dos o mas vectores sean iguales, deben tener la misma magnitud, unidad, dirección y sentido, si una de esas condiciones cambia, entonces son diferentes).

13. Velocidad media … • Luego entonces, nos vemos obligados a decir que el vector velocidad media está cambiando de instante a instante y el concepto de velocidad media es insuficiente para describir el movimiento de la partícula en un plano cuando su trayectoria es curvilínea. • Para suplir esta deficiencia de información, se genera el concepto de velocidad instantánea en el plano.

14. Velocidad instantánea Analicemos nuevamente la figura con mayor detalle y siguiendo el siguiente procedimiento: • Elegir un punto de coordenadas (x0 , y0 ) que esté sobre la trayectoria de la partícula, en el instante de tiempo t0. • Elegir otro punto de coordenadas (x , y ) que también esté sobre la trayectoria pero en un instante de tiempo ( t10 ), posterior a t0 , es decir t10 > t0 • Calcular la velocidad media entre esos dos puntos para ver su dirección y sentido

15. y+ (x10 , y10) D r1→ 10 (x0 , y0) r 10 r1 x+ Velocidad instantánea … • velocidad media entre t 0 y t10 v10= |v10|= (1 ∕ t10 - t 0) | Dr1→10 | misma dirección que Dr1→10 trayectoria

16. y+ (x9 , y9) D r1→ 9 (x0 , y0) trayectoria r 9 r1 x+ Velocidad instantánea … • velocidad media entre t 0 y t 9 v9= |v9|= (1 ∕ t 9 - t 0) | Dr 1→ 9 | misma dirección que Dr1→ 9

17. Velocidad instantánea … y+ (x8 , y8) • velocidad media entre t 0 y t 8 v8= |v8|= (1 ∕ t 8 - t 0) | Dr 1→ 8 | misma dirección que Dr1→ 8 D r1→ 8 (x0 , y0) trayectoria r 8 r1 x+

18. Velocidad instantánea … y+ (x7 , y7) D r1→ 7 • velocidad media entre t 0 y t 7 v7= |v7|= (1 ∕ t 7 - t 0) | Dr 1→ 7 | misma dirección que Dr1→ 7 (x0 , y0) r 7 trayectoria r1 x+

19. Velocidad instantánea … Analizando lo anterior, podemos decir que: • Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la partícula. • Encontramos vectores velocidades medias diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud). v10 ≠ v9 ≠ v9 ≠ v7 El intervalo de tiempo es cada vez menor (t 7 - t 0 ) <(t 8 - t 0 ) <(t 9 - t 0 ) <(t 10 - t 0 ) • Nos estamos acercando al punto de coordenadas ( x 0 , y 0 ) en el instante de tiempo t 0.

20. Velocidad instantánea … Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de acercarnos mas al instante de tiempo t 0 eligiendo otro instante de tiempo menor ( t 6 ). • Elegir el mismo punto de coordenadas (x 0 , y 0 ) en t 0 y otro punto que también esté sobre la trayectoria pero en un instante de tiempo t 6 anterior a t 7. • Calcular la velocidad media entre este nuevo par de posiciones para ver su dirección y sentido. • Comparar las velocidades medias obtenidas, así como los respectivos intervalos de tiempo.

21. Velocidad instantánea … y+ (x6 , y6) • velocidad media entre t 0 y t6 v6= |v6|= (1 ∕ t6 - t 0) | Dr1→6 | misma dirección que Dr1→6 Dr1→6 (x0 , y0) trayectoria r 6 r1 x+

22. Velocidad instantánea … Para abreviar, se sigue repitiendo el mismo procedimiento una infinidad de veces, de tal manera que las parejas de puntos (x0 ,y0) y (x , y ) estén tan cerca uno del otro que prácticamente estaremos trabajando con la sección recta de una curva. En dichos puntos, los vectores velocidades medias variarán muy poco en magnitud, dirección y en sentido, siendo el intervalo de tiempo tan pequeño como nosotros queramos (próximo a cero). Cuando ocurre esto, la dirección del vector velocidad media es tangente a la trayectoria y el intervalo de tiempo se dice que tiende a cero (pero sin hacerse cero) y prácticamente estamos trabajando alrededor del instante de tiempo t 0 por lo que la velocidad media recibe el nombre de velocidad instantánea. Veámoslo en una última gráfica:

23. Velocidad instantánea … y+ Prolongación de Dr trayectoria Velocidad instantánea = El significado de la derivada es la tangente a la curvaen un punto y consecuentemente en un instante de tiempo. Tangente a la curva en el punto (x0 , y0)en t0 Dr (x0 , y0) (x , y) r r0 x+

24. Velocidad instantánea … • Con dicho concepto, podemos conocer la dirección y el sentido del vector velocidad en cualquier instante de tiempo, lo único que tenemos que hacer es trazar la tangente a un punto sobre la trayectoria de la partícula. Con esto, la velocidad instantánea siempre será tangente a la trayectoria. • Veámoslo gráficamente utilizando la misma gráfica con la que desarrollamos el concepto de velocidad instantánea y supondremos que la rapidez con la que se mueve la partícula es constante (la flecha que representa a la velocidad instantánea tendrá siempre la misma longitud).

25. Velocidad instantánea … y+ v4 v5 v3 v6 trayectoria v7 Vectores v8 v2 v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7 v1 v1 =v8 Magnitudes v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8 x+

26. Aceleración media • En la gráfica anterior, el vector velocidad cambia de dirección (aunque su magnitud sea la misma). Como los vectores no son iguales implica que existe un cambio en el vector velocidad. • Dicho cambio viene dado por: Dv = vf – vi que viene siendo un nuevo vector que surge de la diferencia de dos vectores. Como se vio anteriormente, también se puede expresar como: Dv = vf +(– vi) es decir, como la suma del vector velocidad final mas el negativo del vector velocidad inicial. • Veámoslo gráficamente

27. Aceleración media … y+ v5 v4 Dv56 -v3 -v4 v3 v6 -v2 -v1 -v5 -v7 Dv78 v7 Dv12 v2 -v6 v8 v1 D v = v f +( – vi ) x+

28. Aceleración media … • Todos los cambios de velocidad son diferentes. • Cada cambio del vector velocidad tiene su propia • Magnitud, • Dirección y • Sentido. Por tal motivo nos preguntamos ¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo? Una forma de calcular dichos cambios son por medio del cociente: D v∕ D t = ( v f – vi ) / ( t f – t i ) que recibe el nombre de aceleración media. Aceleración media ≡ā = D v∕ D t Cuyas unidades son m ∕ s2

29. Aceleración instantánea • Para calcular la aceleración instantánea, se recurre al mismo procedimiento que se siguió para calcular la velocidad instantánea. • Aceleración instantánea ≡ a Existen dos casos especiales cuando la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, es decir, el vector aceleración tiene la misma magnitud, unidad, dirección y sentido. Tales casos son: • Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y • Movimiento circular uniforme.

30. y + y + x + x + Sin resistencia del aire Con resistencia del aire Movimiento de Proyectiles • El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se refiere a aquellos cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones: • Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no presente resistencia al objeto lanzado, ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría otras formas.

31. Movimiento de Proyectiles • Que el lanzamiento no sea muy elevado, de tal manera que la aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la altura. • Que el lanzamiento no sea de muy largo alcance, de tal manera que la superficie de la tierra pueda considerarse plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la trayectoria toma formas de elipses.

32. Movimiento de Proyectiles Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos (entre otros muchos) de cuerpos que describen una trayectoria parabólica: • Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat. • Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y que cae al suelo. • La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de elevación. • El primer ejemplo es de los considerados casos generales ya que la pelota es golpeada desde una cierta altura, saliendo con un ángulo de elevación diferente de cero y cae en tierra. • El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como tiro horizontal, donde el objeto sale con un ángulo de cero grados con respecto a la horizontal. • El tercer ejemplo también es considerado un caso especial (Blancos y Alcances) y es cuando un objeto sale de un nivel ( por ej. suelo) y llega a ese mismo nivel (suelo).

33. Movimiento de Proyectiles • Para entrar en materia, diremos que el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un movimiento resultante o compuesto de dos movimientos: • Uno horizontal y uniforme y el otro • Vertical y uniformemente acelerado, ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce el movimiento resultante. • Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes entre sí. • La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal. Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:

34. Movimiento de Proyectiles Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y sin rozamiento (no hay resistencia al objeto lanzado), si consideramos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, siempre tendrá la misma velocidad recorriendo distancias iguales en iguales intervalos sucesivos de tiempo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura: D D D D D t t t t t D D D D D x x x x x Movimiento horizontal: si la mesa es infinita y no presenta resistencia al objeto lanzado, éste se seguirá moviendo con la misma velocidad inicial con la que fue lanzado. La velocidad en el eje x será siempre la misma v0x = vx = constante. El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo. Ver Simulación

35. D y t D D y t D D y t D t D D y D y t D Movimiento de Proyectiles Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la pelota desde el borde de la mesa y analicemos el movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para los mismos intervalos de tiempo, es decir la magnitud de la velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente figura: Movimiento vertical: es uniformemente acelerado. En los mismos intervalos de tiempo, el cuerpo recorre cada vez mayor distancia, es decir, la magnitud de su velocidad vertical vy se va incrementando. Se considera que cuando va en el aire, no hay oposición al objeto que se deja caer (caída libre, sin resistencia de ninguna índole) Ver simulación

36. Movimiento de Proyectiles Ahora combinemos ambos movimientos, pero en el caso del movimiento horizontal, ya no consideraremos una mesa infinita sino que ésta es corta, alta y sin fricción. En todo caso, como no hay resistencia al objeto lanzado horizontalmente, éste tenderá a continuar moviéndose de la misma forma en el eje x, es decir uniformemente. Adicionalmente, recordemos que las velocidades son vectores que se pueden sumar para obtener la resultante. La combinación de ambos movimientos se ilustra en la siguiente figura:

37. D y t D D y t D t D D y D D y y t t D D Movimiento de Proyectiles D D D D D t t t t t D D D D D x x x x x Ver simulación

38. Ecuaciones de movimiento de Proyectiles Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar lo relativo a la descomposición de vectores en sus componentes rectangulares: V0 v0y = │V0│sen θ0 θ0 v0x = │V0│cos θ0 Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son independientes, teniendo en consecuencia uno horizontal y uniforme y otro vertical y uniformemente acelerado, siendo las mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por lo que se agrega a las velocidades el subíndice x o y dependiendo si la velocidad es horizontal o vertical respectivamente.

39. Ecuaciones de movimiento de Proyectiles • MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme) x = x0 + v0x t v0x = vx = constante • MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado) y = y0 + v0y t - ½ g t2 y = y0 + ½ ( vy + v0y ) t vy = v0y – g t vy2 - v0y2 = –2 g ( y – y0 ) • MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE y = y0 + x tan θ0 – g x 2 ⁄ ( v0 cos θ0 ) 2 Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del mov. vertical y realizando operaciones algebraicas.

40. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: Tiro Horizontal Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde una cierta altura. Debido a esto: • El ángulo inicial de salida es de cero grados. θ0 = 0 • La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal es uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier instante de tiempo. V0 =│V0│= v0x = vx • La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es cero. v0y = 0

41. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: Ecuaciones para Tiro Horizontal • Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento generales se reducen a: x = v0 t y = - ½ g t2 y = ½ ( vy ) t vy = – g t vy2 = –2 g y • El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra despejando el tiempo de la segunda ecuación t = (- 2y / g)½ donde y < 0 │ V0│ = v0x ; v0y = 0 x + y < 0 y -

42. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES • Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a tierra). • Debido a lo anterior, tenemos que: v0x =│V0│cos θ0 v0y =│V0│sen θ0 y = y0 = 0 Los aspectos principales a considerar son: • Tiempo total de vuelo. • Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil. • Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido. vx = v0x vy = 0 ymax V0 θ0 Xmax = R

43. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES • TIEMPO TOTAL DE VUELO ( tT) Se encuentra a partir de la condición y = y0 = 0 y de la primera ecuación general para el movimiento vertical: y = y0 + v0y t - ½ g t2 0 = 0 + v0y t - ½ g t2 Despejando el tiempo t = 2 v0y ⁄ g O bien t T = (2 │V0│sen θ0)⁄ g

44. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES: • ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R ) Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal recorrida se da cuando t es el tiempo total. Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento horizontal con x0= 0 x = v0x tT x = v0x (2 v0y ⁄ g) Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicial x = V0 cos θ0 (2 v0 sen θ0 ⁄ g) x = V02(2cos θ0 sen θ0 ) ⁄ g Usando la identidad trigonométrica 2 cos θ0 sen θ0 = sen 2 θ0 Se tiene que el alcance máximo viene dado por: x = (V02sen 2 θ0 ) ⁄ g

45. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES: • ALTURA MÁXIMA ( y = ymax.) Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es cero. vy = 0 Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima: • La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que en caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta hacerse nula. • La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como es uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola. Sustituyendo la condición anterior en la ecuación: vy2 - v0y2 = –2 g ( y – y0 ) v0y2 = 2 g ( ymax ) ymax = v0y2⁄ 2 g ymax = (v0 cos θ0)2⁄ 2 g

46. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES: Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que todas ellas dependen de: • La velocidad inicialV0 • El ángulo de disparoθ0 • El valor de la gravedadg • En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad inicialV0y variamos el ángulo de disparoθ0 tendremos que para mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer. • Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a mayor ángulo, mayor altura alcanzará. Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:

47. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: y + t```> t``> t` t``` q > q > q `` ` ` ``` t`` misma V 0 ``` q t` `` q q ` x +

48. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión: x = (V02sen 2 θ0 ) ⁄ g y puesto queV0ygson constantes, entonces el alcance depende deθ0, además considerando que en blancos y alcances, el ángulo varía de: 00<θ< 900 la función seno tiene el siguiente comportamiento: 0 ≤ sen θ0 ≤ 1 siendo su máximo valor la unidad. Consecuentementede la expresión para el alcance máximo tenemos que:

49. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: sen 2 θ0 = 1 resolviendo para el ángulo: 2 θ0 = sen-1 ( 1 ) θ0 = ½ sen-1 ( 1 ) θ0 = ½ (900 ) θ0 = 450 Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:

50. Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: sen 2 θ0 = 1 resolviendo para el ángulo: 2 θ0 = sen-1 ( 1 ) θ0 = ½ sen-1 ( 1 ) θ0 = ½ (900 ) θ0 = 450 Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración: