DÍA 57 * 1º BAD CT PROBABILIDADES

1. DÍA 57 * 1º BAD CTPROBABILIDADES

2. MONEDAS • Se lanza al aire una moneda. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?. • ¿Y de obtener cruz?. • Espacio muestral: E={C, X} • Suceso obtener cara: A={C} • Suceso obtener cruz: B={X} • Sucesos favorables 1 • P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,5 • Sucesos posibles 2 • Sucesos favorables 1 • P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,5 • Sucesos posibles 2 • También, como B es el contrario de A: • P(B) = P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5

3. DADOS • Se lanza al aire un dado exagonal. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5?. • ¿Y de obtener un número par? • ¿Y de no obtener un 5? • Espacio muestral: E={1,2,3,4,5,6} • Suceso obtener un 5: A={5} • Suceso obtener un número par: B={2,4,6} • Sucesos favorables 1 • P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,1667 • Sucesos posibles 6 • Sucesos favorables 3 • P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,5 • Sucesos posibles 6 • P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,1667 = 0,8333 • MUY IMPORTANTE • En el cálculo de probabilidades hay que trabajar con un mínimo de tres decimales. • En Bachillerato es obligatorio trabajar con cuatro decimales. • Se admite el redondeo si el error producido es mínimo.

4. Se lanza al aire un dado en forma de tetraedro. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3?. • ¿Y de obtener un número primo? • ¿Y de no obtener un 3? • Espacio muestral: E={1,2,3,4} • Suceso obtener un 3: A={3} • Suceso obtener un número primo: B={1,2,3} • Sucesos favorables 1 • P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,25 • Sucesos posibles 4 • Sucesos favorables 3 • P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,75 • Sucesos posibles 4 • P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,25 = 0,75 • IMPORTANTE • La probabilidad de obtener un número primo no es igual que la de no obtener un 3. • En este experimento es simple coincidencia.

5. Se lanza al aire un dado en forma de dodecaedro. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7?. • ¿Y de obtener un número múltiplo de 5? • ¿Y de no obtener un 3? • Espacio muestral: E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} • Suceso obtener un 3: A={3} • Suceso obtener un múltiplo de 5: B={5,10} • Sucesos favorables 1 • P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,0833 • Sucesos posibles 12 • Sucesos favorables 2 • P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,1667 • Sucesos posibles 12 • _ • P(3) = 1 – P(3) = 1 – P(7) = 1 – 0,0833 = 0,9167 • IMPORTANTE • La probabilidad de obtener un número primo no es igual que la de no obtener un 3. • En este experimento es simple coincidencia.

6. BOLAS • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca o Negra?. • ¿Y de que no sea negra? • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • S. favorables 2 • P(B) = --------------------- = ------- = 0,2222 • S. posibles 9 • S. favorables 2+4 • P(B+N) = ---------------------- = -------- = 0,6667 • S. posibles 9 • _ • P(N) = 1 – P(B+A) = 1 – (2+3)/9 = 1 – 5/9 = 4/9 = 0,4444

7. En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. Se extrae una bola al azar. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca?. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea Negra?. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea Roja?. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea Verde?. • Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} • P(B) = S. f./ S. p. = 5 / 20 = 0,25 • P(N) = S. f./ S. p. = 3 / 20 = 0,15 • P(R) = S. f./ S. p. = 2 / 20 = 0,10 • P(V) = S. f./ S. p. = 10 / 20 = 0,5 • MUY IMPORTANTE • P(B)+P(N)+P(R)+P(V) = 1 • La suma de todas las probabilidades posibles es siempre la unidad.

8. CARTAS • En una baraja española se extrae al azar una carta. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Oro?. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea el 3 de Copas?. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Caballo?. • ¿Y de que no sea un As? • Espacio muestral: E={1O,2O,3O, …,CE,RE} , 40 cartas en total. • P(O) = S. f./ S. p. = 10 / 40 = ¼ = 0,25 • P(3C) = S. f./ S. p. = 1 / 40 = 0,025 • P(C) = S. f./ S. p. = 4 / 40 = 0,10 • P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 4/40 = 1 – 0,1 = 0,9 • Nota: En algunas ocasiones la probabilidad se mide en porcentajes (%).

9. EXPERIMENTO COMPUESTO • EXPERIMENTO COMPUESTO • Un experimento compuesto es el que está formado por varios experimentos simples. • Ejemplos • * Lanzar dos monedas, o lanzar una moneda dos veces. • * Lanzar tres dados, o lanzar un dado tres veces. • * Lanzar una moneda y un dado. • * Lanzar dos monedas y tres dados , a la vez o en cualquier orden. • * Lanzar un dado y extraer dos cartas de una baraja. • * Extraer 2 bolas de una urna, a la vez o de una en una (sin devolución). • * Extraer 3 bolas de una urna, pero devolviendo a la urna la bola extraída antes de extraer la siguiente (con devolución). • * Rellenar una quiniela de futbol. • * Jugar al bingo o a la Primitiva.

10. MONEDAS • Se lanza al aire dos monedas. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?. • ¿Y de obtener una cara y una cruz?. • Espacio muestral: E={CC, CX, XC, XX} , vemos que se pueden producir cuatro sucesos o fenómenos. • P(CC) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 • También: P(C∩C)=P(C).P(C)=0,5.0,5 = 0,25 • P(XX) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 • También: P(X∩X)=P(X).P(X)=0,5.0,5 = 0,25 • P(CCUXX) = Sf/Sp = 2/4 = 0,5 • También: P(CCUXX)=P(CC)+P(XX)=0,25+0,25 = 0,5

11. DADOS • Se lanza al aire dos dados exagonales. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un doce?. • ¿Y de obtener un doble? • ¿Y de obtener un 7 como suma? • ¿Y de no obtener un 4? • Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} • P(S=12) = Sf/Sp = 1/36 = 0,0277 • P(Doble) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 • P(S=7) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 • _ • P(S=4 ) = 1 – P(S=4) = 1 – 3/36 = 1 – 0,0833 = • = 0,9167

12. Se lanza al aire dos dados exagonales. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos seises?. • ¿Y de obtener un cuatro y un uno? • Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} • Sea A=Obtener un 6 en un dado. • Sea B=Obtener un 6 con el otro dado. • Sea C=Obtener un 4 en un dado. • Sea D=Obtener un 4 con el otro dado. • Sea E=Obtener un 1 en un dado. • Sea F=Obtener un 1 con el otro dado. • P(A∩B)=P(A).P(B) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,0277 • También P(6∩6)=P(6).P(6) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,0277 • P(C∩F)U(D∩E) = P(C).P(F) + P(D).P(E) = 1/6.1/6+1/6.1/6 = • = 1/36 + 1/36 = 0,0556 • P(4∩1)U(1∩4) = P(4).P(1) + P(1).P(4) = 1/6.1/6+1/6.1/6 = • = 1/36 + 1/36 = 0,0556

13. BOLAS • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. • ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. • ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? • ¿Y de que una sea A y otra N?. • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/8= 8/72 = 1/9 = 0,1111 • Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. • P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/8= 9/72 = 1/8 = 0,125 • Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. • P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = • = 3/9 . 4/8 + 4/9 . 3/8= 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0,3333

14. En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. • Se extraen tres bolas al azar y sin reinserción. • a)¿Cuál es la p. de que resulten en este orden: R  B  V?. • b)¿Cuál es la p. de que las dos primeras sean B y la tercera R?. • c)¿Cuál es la p. de que todas sean N?. • d)¿Cuál es la p. de que ninguna sea Roja?. • e)¿Cuál es la p. de que las tres sean de un mismo color?. • Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} • a) • P(R∩B∩V) = P(R).P(B).P(V) = 2/20 . 5/19 . 10/18 = 100 / 6840 = 0,01462 • b) • P(B∩B∩R) = P(B).P(B).P(R) = 5/20 . 4/19 . 2/18 = 40 / 6840 = 0,005848 • c) • P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = 3/20 . 2/19 . 1/18 = 6 / 6840 = 0,000874 • d)_ _ _ _ _ _ • P(R∩R∩R) = P(R).P(R).P(R) = 18/20 . 17/19 . 16/18 = 4896 / 6840 = • = 0,7158 • e) • P(BBBUNNNUVVV) = P(B).P(B).P(B) + P(N).P(N).P(N) + P(V).P(V).P(V)

15. BOLAS • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extraen dos bolas al azar con reinserción. • ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. • ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? • ¿Y de que una sea A y otra N?. • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/9= 8/81 = 0,09876 • Nota: Al extraer la segunda bola se ha devuelto la primera a la urna. • P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/9= 9/81 = 1/9 = 0,1111 • P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = • = 3/9 . 4/9+ 4/9 . 3/9= 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963

16. Probabilidad compuesta: Resumen • Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumplan dos (o más) sucesos: • P(A y B) = P(A∩B)= P(A).P(B) • Es la llamada Regla del producto. • Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumpla alguno de los dos (o más) sucesos: • P(A o B) = P(AUB)= P(A)+P(B) • Es la llamada Regla de la suma. • Para el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos se puede utilizar el diagrama del árbol, el cual es imprescindible cuando el experimento presenta cierta complejidad.

17. DIAGRAMA DE ÁRBOL • Para componer un diagrama de árbol seguiremos las siguientes normas: • 1.- Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. • 2.- En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. • 3.- Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama (Regla del producto). • 4.- Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas (Regla de la suma). • Nota: Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es la unidad.

18. URNAS DE BOLAS (1) • En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. • En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. • Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. • a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. • b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. • c)¿Y de que sean de distinto color? P(B∩B) = 2/5 . 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) B 5/9 B P(B∩N) = 2/5 . 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) 2/5 4/9 N P(N∩B) = 3/5 . 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 B N 5/9 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c) 3/5 P(N∩N) = 3/5 . 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 4/9 N

19. URNAS DE BOLAS (2) • En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. • Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. • Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. P(B∩B) = 3/5 . 3/5 = 9/25 = 0,36 B 3/5 B P(B∩N) = 3/5 . 2/5 = 5/25 = 0,20 3/5 2/5 N P(N∩B) = 2/5 . 4/5 = 8/25 = 0,32 B N 4/5 2/5 P(N∩N) = 2/5 . 1/5 = 2/25 = 0,08 1/5 N Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28

20. Curiosidades • QUINIELA DE FÚTBOL • Para acertar un pleno al 15 en una quiniela de fútbol hay que rellenar 315 boletos, o sea 14.348.907 columnas. • Eso significa que hay que gastarse algo menos del premio al pleno, lo que sólo compensa si se es el único acertante. • Por cada columna rellena tenemos una probabilidad de ganar el pleno de: • P(15) = 0,0000000697 • BONOLOTO o PRIMITIVA • Para acertar los 6 número (de 49) en la lotería primitiva o bonoloto, hay que rellenar C49,6 =49!/43!.6! = 49.48.47.46.45.44/720 = 13.983.816 boletos. • Eso significa que hay que gastarse algo menos del premio al pleno, lo que sólo compensa si se es el único acertante. • Por cada columna rellena tenemos una probabilidad de ganar el pleno de: • P(6) = 0,0000000715