Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE__04_PVP_196_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. Pravděpodobnost úvod

4. Co je pravděpodobnost? • Pojem pravděpodobnost používáme v běžné mluvě ve stejném významu jako třeba šance nebo naděje. Vyjadřujeme pomocí ní třeba míru rizika nebo jistoty. • Vymyslete příklady, kdy ve větě použijete pojem pravděpodobnost s číselným vyjádřením. • Doplňte věty: • V osudí je 10 očíslovaných míčků. Pravděpodobnost, že vytáhnu míček 5 je ... • Zítra pojedu do Prahy. Pravděpodobnost, že potkám prezidenta republiky je ...

5. Jaká je pravděpodobnost? • Že bude zítra pršet? • Že při hodu mincí padne líc? • Že při hodu hrací kostkou padne 6? • Že stihnu poslední večerní vlak? • Že budu v hodině českého jazyka zkoušený? • Že si při tahu z balíčku 32 karet vytáhnu srdcové eso? Zamyslete se, kdy lze pravděpodobnost vyjádřit nějakým známým způsobem.

6. Jaká je pravděpodobnost? Náhodné pokusy Jiné situace • Při hodu mincí padne líc. • Při hodu kostkou padne 6. • Při tahu z balíčků 32 karet vytáhnu srdcové eso. • Při hře v ruletu padne sudé číslo. I při dodržení předepsaných podmínek mohou vést k různým výsledkům, které závisí na náhodě. • Zítra bude pršet. • Stihnu poslední večerní vlak. • Budu v hodině českého jazyka zkoušený. • Hustota tělesa při fyzikálním pokusu vyjde stejně jako v tabulkách. Neovlivňuje je náhoda, ale vnější okolnosti (roční období, rychlost chůze, ...)

7. Pravděpodobnost v matematice • Matematická teorie pravděpodobnosti se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. • Příklad: Hod mincí. Mohou nastat dva jevy – rub, líc. • I. způsob – teoretický – usoudíme-li, že mince je poctivá, jsou oba jevy stejně pravděpodobné. • II. způsob – experiment – provádíme stejný pokus stále dokola a zaznamenáváme výsledky. Tento způsob je ale časově náročný a také není zřejmé, jak dlouho máme pokus provádět.

8. Množina možných výsledků pokusu • U každého náhodného pokusu můžeme předem vyjmenovat všechny možné výsledky a to tak: • že se navzájem vylučují, • jeden z nich nastane vždy. • Množina všech výsledků se označuje a její libovolný prvek • Libovolná podmnožina se nazývá jev. Bývá popsána nějakou vlastností. Příklad: Při hodu dvěma různými mincemi mohou nastat následující výsledky L+L, L+R, R+L, R+R. Jevem je například, že na každé minci padne různá strana.

9. Jevy • V daném pokusu lze rozeznávat tolik jevů, kolik existuje podmnožin množiny . Má-li množina celkem n prvků, získáme různých jevů. • Speciální případy jevů: • jistý jev – nastává vždy (celá množina ), • nemožný jev – nenastane nikdy (prázdná množina ). • Označení jevů: Obvykle používáme písmena A, B, C,... Příklad: Hod kostkou – množina výsledků má 6 prvků. Jev A ... padne sudé číslo (3 možnosti), jev B... padne složené číslo (2 možnosti), jev C ... padne číslo větší jak 6 (nemožný jev), jev D ... padne přirozené číslo (jistý jev).

10. Vlastnosti jevů • O jevech vztahujících se k určitému pokusu platí vše, co o množinách. Používáme však jiné názvosloví. • Je-li , výsledek je příznivý jevu A. • Je-li , jev B je podjevem jevu A. • Je-li , jevy A, B se navzájem vylučují. • Jev , který nastává právě tehdy když jev A nenastává, se nazývá jevem opačným k jevu A. Poznámka: Označení pro sjednocení a průnik jevů je stejné jako u množin ().

11. Historická poznámka • Pravděpodobnost se začala rozvíjet až v 17. století. Zabývala se problémy, které se týkaly hazardních her. • Jedna z prvních otázek pravděpodobnosti zněla: „Je pravděpodobnější, že při 4 hodech kostkou padne šestka nebo při 24 hodech dvěma kostkami padnou šestky dvě?“ • Tuto otázku řešili matematikové Blaise Pascal, Pierre de Fermat a Antoine Gombaud. V této době se obecně mělo za to, že je lepší vsadit na 2 kostky, protože je povoleno více hodů. Matematická pravděpodobnost však popřela tento názor. Pravděpodobnější zhruba o 2 % je hod 1 kostkou na 1 šestku.

12. Použitá literatura: CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 170 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-365-3. CRILLY, A. J. Matematika: 50 myšlenek, které musíte znát. Vyd. 1. Praha: Slovart, 2010. 208 s. ISBN 978-80-7391-409-7. ČERMÁK, Pavel a ČERVINKOVÁ, Petra. Odmaturuj! z matematiky 1. Vyd. 3., (opr.). Brno: Didaktis, 2004. 208 s. Odmaturuj!. ISBN 80-7358-014-4. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.