Problema : Sejam v 1 , v 2 ,..., v n e b vectores de R m .

1. Problema: Sejam v1, v2,...,vn e b vectores de Rm. Consegue-se obter bcomo soma de múltiplos de v1, v2,...,vn? • Exemplos: • v1=(1,0), v2=(0,0) e b=(0,1)

2. v1=(1,2), v2=(0,1) e b=(1,0)

3. v1=(1,2), v2=(0,1), v3=(-1,1) e b=(1,0)

4. Sejam v1, v2,...,vn e b vectores de Rm. Diz-se que b é combinação linear de v1, v2,...,vn se b se escrever como soma de múltiplos destes vectores se o sistema Ax=b for possível em que A=[v1v2...vn]. Observação: Ax=b é impossível quando na matriz em escada A´|b´ a coluna b´ tem pivot. Diz-se que b é combinação linear dos vectores v1, v2,...,vn ou das colunas da matriz A=[v1v2...vn].

5. Problema: Sejam v1, v2,...,vn vectores de Rm. Quais são os vectores de Rm que são combinação linear de v1, v2,...,vn? • Exemplos: • v1=(1,0), v2=(0,0)

6. v1=(1,2), v2=(0,1)

7. v1=(1,2,-1), v2=(6,4,2)

8. Chama-se espaço gerado pelos vectores v1, v2,...,vn de Rm <v1, v2,...,vn> ao conjunto dos vectores de Rm que são combinação linear de v1, v2,...,vn Também se diz que <v1, v2,...,vn> é o espaço gerado pelas colunas da matriz A=[v1v2...vn], espaço das colunas de A ou C(A).

9. Determinação de <v1, v2,...,vn> =C(A) em que A=[v1v2...vn] e v1v2...vn • Constrói-se A|b. • Aplica-se a fase descendente do método de Gauss a A|b. Seja A´|b´ a • matriz em escada resultante. • 3. Se A´ não tem linhas nulas, • (O sistema Ax=b é possível • 4. Caso contrário, se i é linha nula de A´, tem-se a restrição b´i=0. Nota: quando A′ tem linhas nulas, o algoritmo identifica C(A) com o espaço nulo de uma matriz com m colunas e tantas linhas quantas as linhas nulas de A′.

10. Exemplos: • <(1,0), (0,0)> = • <(1,2),(0,1)> = R2 • <(1,2,-1),(6,4,2)> =

11. Exercício: Sejam v1=(0,0,1), v2=(0,1,1), v3=(0,2,1) e b=(1,0,0). • Determine E=<v1,v2,v3>. • Verifique que v3 é combinação linear de v1 e v2. • Determine <v1,v2>.

12. v1=(0,0,1), v2=(0,1,1) e b=(1,0,0) • Verifique que b não é combinação linear de v1 e v2. • Determine F=<v1,v2,b>.

13. Um conjunto {v1, v2,...,vn} de vectores de Rm diz-se linearmente independente se nenhum dos vectores é combinação linear dos outros. Se {v1, v2,...,vn} não é linearmente independente diz-se linearmente dependente. Observação: {v1} diz-se linearmente independente se v1≠0. Caso contrário, diz-se linearmente dependente. Exemplos: 1) {(0,0),(1,1)} é l.d.: (0,0)=0(1,1). Repare que (1,1) não é comb. l. de (0,0). 2) {(0,1),(1,1),(1,0)} é l.d.: (1,1)=1(1,0)+1(0,1).

14. 3) V={v1,v2,v3,v4} em que v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,2,1), v3= (2,-1,0,1), v4=(0,0,3,3). v3 é c.l. de v1 e v2, logo de v1, v2 e v4 Como existem colunas sem pivot na matriz em escada resultante de A=[v1 v2 v3 v4], V é linearmente dependente.

15. 4) V={v1,v2,v4} em que v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,2,1), v4=(0,0,3,3). v4 não é c.l. de v1 e v2 v2 não é c.l. de v1 A troca de colunas na matriz inicial não altera o nº de pivots na matriz em escada resultante. v2 não é c.l. de v1 e v4 v1 não é c.l. de v2 e v4 Como na matriz em escada resultante de A=[v1 v2 v4] todas as colunastêm pivot, V é linearmente independente.

16. A troca de colunas na matriz inicial A=[v1 v2 v4] não altera o nº de pivots na matriz em escada resultante. Considere, por exemplo, o sistema homogéneo Ax=0. Geometricamente, é a intersecção de 4 planos que passam na origem de R3. Se trocarmos duas colunas em A, continuamos a ter a intersecção dos mesmos 4 planos e, portanto, o conjunto das soluções é o mesmo.

17. Sejam V = {v1, v2,...,vn} e V é linearmente independente Todas as colunas da matriz em escada que resulta de A têm pivot O sistema homogéneo Ax=0 é determinado Chama-se característica de A, car A, ao nº de colunas pivot de A´. car Acorresponde ao número máximo de vectores linearmente independentes de V.

18. Nota: um conjunto de n vectores de Rm com n > m é linearmente dependente. (O sistema Amxnx = 0 é indeterminado com n > m.)