Rotação dos Corpos Rígidos

1. Rotação dos Corpos Rígidos Profª Jusciane da Costa e Silva

2. Rotação do Corpos • A rotação acontece em todas as escalas.

3. Introdução Não podem ser representado como o movimento de um ponto. São corpos que giram em torno de um eixo.

4. Introdução • Desejamos analisar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. • Conceitos: • Corpo rígido: É um conceito limite ideal, de um corpo indeformável que pode girar com todas suas partes travadas conjuntamente sem sofrer qualquer mudança. • Eixo Fixo: Significa que a rotação ocorre em torno de um eixo que não se move.

5. Introdução • Rotação Pura (movimento angular): Todos os pontos do corpo se movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo de rotação e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em um mesmo intervalo de tempo. • Translação Pura (movimento linear): Todos os pontos se movem ao longo de uma linha reta e todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo. • Linha de Referência – ponto que liga a origem ao ponto desejado.

6. Variáveis de Rotação • Grandezas equivalentes angulares das grandezas lineares posição, deslocamento, velocidade e aceleração. • Posição angular • Consideremos uma linha que liga a origem a um ponto P (OP), essa linha chamaremos de Linha de Referência. • A coordenada  de um corpo rigído girando em torno de um eixo fixo pode ser negativa ou positiva. • Positiva – Sentido contrário ao relógio. • Negativa – Sentido do relógio.

7. Variáveis de Rotação • A posição angular desta linha é o ângulo da linha em relação a um sentido fixo, que tomamos como a posição angular igual a zero. • S é o comprimento do arco do círculo que se estende do eixo x até a linha de referência, e r é o raio do círculo. • O ângulo é definido em Radianos e não em graus ou revoluções.

8. Variáveis de Rotação • Deslocamento angular • Se um corpo gira em torno de um eixo de rotação, variando sua posição angular, dizemos que o corpo sofre um deslocamento angular. • Positivo – Contrário ao relógio. • Negativo – Sentido do relógio.

9. Variáveis de Rotação • Velocidade angular • Se um corpo está numa posição 1 no tempo t1 e numa posição 2 num tempo t2, então sua velocidade angular média será • A velocidade angular instantânea Unidade: rad/s

10. Variáveis de Rotação • Aceleração angular • Se a velocidade angular do corpo em uma rotação varia então ele produz uma aceleração angular • A velocidade angular instantânea Unidade: rad/s2

11. Exemplo 01 • Consideremos um volante do motor de carro que está sendo • testado. A posição angular dessa roda é dada por • O diâmetro do volante é igual a 0,36 m. • (a) Ache o ângulo , em radianos e em graus, nos instantes t1 = 2 s • e t2 = 5 s. • (b) Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do volante neste intervalo de tempo. • (c) Calcule a velocidade angular média, em rad/s entre t1 = 2 s e t2 = 5 s. • (d) Ache a velocidade angular instantânea no instante t = 3s. • (e) Calcule a aceleração angular média no mesmo intervalo do item (c).

12. Rotação com aceleração angular constante • Vimos no MRU que quando a = const. os cálculos ficam muito mais fáceis. • Seja 0 a velocidade angular de um corpo rígido no tempo t = 0 e  a velocidade num tempo t, a aceleração é αt é a variação total da velocidade entre o t = 0 e t. • Quando α é constante,  varia com uma taxa uniforme Valor médio entre 0 e t é a média entre o valor inicial e final

13. depois de algumas manipulações matemáticas encontramos Equação básica do movimento.

14. Relação entre grandezas lineares e angulares • Como podemos encontrar a velocidade e a aceleração de um dado ponto em um corpo girando? Por exemplo, para encontra K precisamos saber v. • Se um corpo rígido gira formando um ângulo  um ponto no corpo a uma posição r em relação ao eixo de rotação descreve um arco de círculo de comprimento s, logo • derivando • Uma vez que num corpo rígido todos os pontos tem a mesma velocidade , pontos em r maiores tem velocidades maiores.

15. Relação entre grandezas lineares e angulares • O período de uma revolução T para o movimento de cada ponto e para o próprio corpo rígido é • Aceleração • Para representar a aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência temos o termo centrípeto e tangencial.

16. Energia Cinética de Rotação • Um corpo rígido girando é constituído por massas em movimento, logo ele possui K. • Consideremos um corpo constituído por um grande número de partículas com massas m1, m2, ...,mn situados a uma distância r1, r2,...rn do eixo de rotação. • Como v = r • chamando I = miri2 de momento de inércia, que está relacionado de como a massa está distribuída no espaço.

17. Energia Cinética de Rotação • logo • onde • Portanto quando maior for o momento de inércia maior será a • energia cinética do corpo girando. • Unidades I = kg m2.

18. Exemplo 02 • Um engenheiro está projetando uma parte de • uma certa máquina que consiste em três • conectores pesados ligados por suportes leves. • Os conectores podem ser considerados como • partículas pesadas conectadas por hastes • desprezíveis. • Qual o momento de inércia desse corpo em relação ao eixo perpendicular ao plano desenhado e passando no ponto A. • Qual o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com a haste BC? • Se o corpo gira em torno do eixo perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com velocidade de 4 rad/s, qual é sua energia cinética? Portanto um corpo rígido pode ter mais de um momento de inércia.

19. Cálculo do Momento de Inércia • Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos calcular o momento de inércia • No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número de partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que integrar • Exemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L. Qual o momento de inércia?

20. Cálculo do Momento de Inércia • 1. haste é uniforme: CM é o seu centro.

22. Teorema dos Eixos Paralelos • Suponha que queremos encontrar o momento de inércia I de um corpo de massa M em torno de um eixo dado. • reformulando • temos o teorema dos eixos paralelos