Antes y despu s de los errores

1. Antes y despu�s de los errores Saberes disponibles y Situaciones de usoMg. Graciela Chemello

2. Antes Dise�ar secuencias de actividades cuyo prop�sito sea trabajar en los saberes que suelen generar dificultades en el aprendizaje

3. Despu�s Dise�ar actividades de re-mediaci�n entre el saber a aprender y los alumnos.

4. El origen de los errores y el sistema did�ctico Errores ligados al saber matem�tico en la historia Errores ligados a los conocimientos insuficientes o incompletos de los alumnos Errores ligados a las condiciones y caracter�sticas de la ense�anza

5. Errores ligados al saber matem�tico en la historia consideraci�n de los negativos y el cero como n�meros consideraci�n del espacio geom�trico de manera independiente del espacio f�sico

6. Errores ligados a conocimientos incompletos / insuficientes de alumnos �no pensar a la figura geom�trica como la representante de una clase� �la clase de los cuadrados est� incluida en la clase de los rombos� �la multiplicaci�n agranda��.en el conjunto de los n�meros naturales

7. Errores ligados a las condiciones / caracter�sticas de la ense�anza �comunicaci�n insuficiente en relaci�n con la trayectoria de aprendizaje matem�tico� saberes necesarios para articular aritm�tica-�lgebra �focos de estudio recientes de la investigaci�n did�ctica� articulaci�n entre diferentes representaciones atender las formas de validar las producciones

8. Entre nivel primario y secundario saberes necesarios para articular aritm�tica-�lgebra En estas actividades se propone comparar distintos procedimientos para sumar y restar o para multiplicar y dividir, usando las propiedades de estas operaciones para que sea m�s f�cil resolver. Disponer de estas propiedades, dominar su uso en el marco aritm�tico, es fundamental para resignificarlas en el marco del �lgebra.

9. Entre nivel primario y secundario 1. �Qu� se puede hacer para calcular? 2. �Multiplicar y dividir puede ser f�cil? 3. �Qu� se puede hacer para calcular sumas y restas con decimales? 4. �Qu� se puede hacer para multiplicar y dividir fracciones y decimales?

10. Multiplicar y dividir n�meros naturales A 1. Juego �Multiplico y sumo� A 2. Comparaci�n de los c�lculos que aparecieron en el juego. A 3. Descomponer para multiplicar A 4. Dividir con calculadora A 5. Dividir sin calculadora A 6. Revisi�n del proceso de trabajo

11. Sumar y restar fracciones y decimales A 1. Juego �El cinco y medio� A 2. C�lculos mentales. A 3. Juego �Escoba del 1� A 4. Algunos c�lculos que aparecen en el juego A 5. Calcular transformando para que sea m�s f�cil A 6. C�lculos mentales. Aproximaci�n del resultado A 7. Conclusiones en grupo

12. Leer, escribir y argumentar En muchas ocasiones, en Matem�tica, usamos diferentes formas para expresar lo mismo. Podemos escribir un n�mero de diferentes maneras, usar unidades distintas para indicar una cantidad y adem�s en, Geometr�a, hay m�s de una forma de caracterizar una figura. Tambi�n los gr�ficos ofrecen alternativas, cuando se trata de comunicar informaci�n. En las clases de Matem�tica, resolvemos problemas usando todo lo que sabemos pero, a veces, hay que comprobar si los conocimientos que vamos a usar siguen siendo v�lidos en las nuevas situaciones.

13. �ES O NO ES LA MISMA FIGURA? articulaci�n entre diferentes representaciones �C�mo nos damos cuenta de que dos conjuntos de datos permiten construir figuras distintas o no?

14. Problema 1 a. Daniel y Luc�a reciben un dibujo de un tri�ngulo y deben describirlo. Luc�a dice que tiene una base de 5 cm y los �ngulos de la base son de 60 cada uno, mientras que Daniel se refiere a su tri�ngulo como equil�tero de 5 cm de lado. �Luc�a y Daniel recibieron el mismo dibujo o est�n ante dos tri�ngulos distintos? �Por qu�? b. Daniel construye un rect�ngulo de 4 cm de base y 3 cm de altura y Luc�a dise�a un rect�ngulo de 4 cm de base y 5 cm de diagonal. Luc�a dice que su rect�ngulo va a quedar m�s alto. �Pens�s que tiene raz�n? �Por qu�?

15. Problema 2 Redact� un instructivo para construir la siguiente figura considerando a. Las diagonales. b. Sus lados y un �ngulo interior. c. Una diagonal y un lado.

16. Problema 3 Cuatro alumnos discuten acerca de los pasos que hay que seguir para construir un hex�gono regular. �En qu� se basa cada uno para afirmar que la figura que obtiene tiene los lados y los �ngulos congruentes?

17. Problema 3 (procedimientos) Cecilia realiz� el c�lculo 360� : 6 = 60�, dibuj� un �ngulo de 60� con v�rtice en el centro de una circunferencia, tom� con el comp�s la distancia entre los puntos en los que los lados del �ngulo cruzan a la circunferencia y us� esa abertura para marcar, en forma consecutiva, los v�rtices restantes. Finalmente, uni� los seis puntos obtenidos. Sasha comenz� dibujando un tri�ngulo equil�tero. A partir de �l continu� con un segundo tri�ngulo equil�tero congruente con el anterior, luego agreg� un tercero y un cuarto, un quinto y un sexto.

18. Problema 3 (procedimientos bis) Nahuel, primero, dibuj� un segmento y traz� su mediatriz. Luego, con la medida de medio segmento como radio, dibuj� tres circunferencias y us� los puntos en los que se cortaron las circunferencias como v�rtices del hex�gono. Silvana dibuj� una circunferencia y, a partir de su radio, obtuvo los v�rtices de su pol�gono.

19. Reflexiones a. Si dos instructivos para construir figuras geom�tricas difieren entre s�, �las figuras que se obtienen son necesariamente distintas? b. Dada una figura, �existe una �nica forma de describirla? c. Dibuj� una figura y referite a ella al menos de dos formas diferentes Registr� tus conclusiones por escrito.

20. PROPIEDADES GEOM�TRICAS, �PARA QU� FIGURAS VALEN? formas de validar las producciones

21. Problema 1 a. En un juego de mensajes, Roc�o, Esteban y Mat�as discut�an acerca de c�mo dibujar la figura que, seg�n en el texto, deb�a ser un cuadril�tero cuyas diagonales midieran 8 cm. Roc�o dijo que ten�an que hacer un rect�ngulo, porque el rect�ngulo tiene diagonales de igual medida. Mat�as dijo que tambi�n podr�a ser un romboide o un trapecio. Pablo dijo que podr�a ser un paralelogramo pero que no puede ser romboide, porque los romboides tienen una diagonal m�s larga que la otra. �Con qui�n est�s de acuerdo? �Por qu�?

22. Problema 1 (bis) b. Si en el mensaje se hubiera pedido que las diagonales fueran perpendiculares, los chicos, �podr�an haber pensado en las mismas figuras? �Por qu�? c. �Y si se hubiera pedido que las diagonales midieran 8 cm y adem�s fueran perpendiculares?

23. Problema 2 a. �Cu�ntos cuadril�teros diferentes se pueden formar con dos tri�ngulos equil�teros? �Y si los tri�ngulos son is�sceles? b. En ambos casos, los cuadril�teros que se obtienen tienen lados congruentes. �Por qu�? c. �Qu� se puede afirmar acerca de la congruencia de los �ngulos de los cuadril�teros que se forman? d. �C�mo cambian las respuestas a las preguntas anteriores si los dos tri�ngulos que se combinan para formar los cuadril�teros son escalenos?

24. Problema 3 Se�al� si las siguientes afirmaciones son verdaderas a veces, siempre o nunca. a. Si un cuadril�tero tiene los cuatro lados de igual medida, entonces es un cuadrado. b. Si las diagonales dividen al cuadril�tero en cuatro tri�ngulos congruentes, entonces es un cuadrado. c. Si un tri�ngulo es equil�tero, entonces es acut�ngulo. d. Si un tri�ngulo es acut�ngulo, entonces es equil�tero. e. Si un tri�ngulo tiene todos sus lados congruentes, entonces sus tres �ngulos tambi�n son congruentes. f. Si un cuadril�tero tiene todos sus lados congruentes, entonces sus cuatro �ngulos tambi�n son congruentes.

25. Problema 4 En un juego de mensajes, Paula y C�sar recibieron una tarjeta con el siguiente texto: TRIANGULO DE 5 CM DE BASE Y 4 CM DE ALTURA Paula dijo que hay que buscar el punto medio de la base y dibujar en �l una perpendicular de 4 cm de largo. Luego, unir el extremo libre de la altura con los dos extremos libres de la base, de este modo: C�sar dijo que se pueden dibujar much�simos tri�ngulos. �Qui�n tiene raz�n? �Por qu�?

26. Problema 5 Considerando un lado de 5 cm y otro de 4 cm, se pueden dibujar tantos paralelogramos como se desee. �Qu� dato podr�as agregar para que el paralelogramo sea �nico?

27. Problema 6 Consider� un rombo ABCD, no cuadrado, y escrib� 3 afirmaciones que sean verdaderas y 3 que sean falsas. En cada caso, justific� las razones de tu decisi�n. Por ejemplo: Los segmentos AB y DC son paralelos. V porque los Rombos son Paralelogramos Los �ngulos A y B son congruentes. F porque son suplementarios

28. Problema 7 Patricia y Jazm�n discuten acerca de c�mo construir pol�gonos regulares. a. Patricia dice que hay que dibujar tantos tri�ngulos equil�teros como lados tenga el pol�gono, haciendo coincidir un v�rtice. Jazm�n dice que no, que los tri�ngulos pueden que ser is�sceles. �Alguna de ellas tiene raz�n? �Cu�l? �Por qu�? b. Jazm�n dice que ella hizo un pol�gono regular, combinando tri�ngulos rect�ngulos. �Qu� figura pudo haber dibujado?

29. Problema 8 Se�al� si las siguientes afirmaciones son verdaderas a veces, siempre o nunca. a. Si un pol�gono es regular, entonces tiene todos sus lados congruentes. b. Si un pol�gono es irregular, entonces no tiene lados congruentes. c. Si un pol�gono tiene todos sus lados congruentes, entonces es regular.

30. Reflexiones Hac� una lista con todas las propiedades que usaste al resolver los problemas 1 a 8 de este apartado y, para cada propiedad, eleg� un ejemplo de una figura para la que valga esa propiedad y otra para la que no valga

31. Volviendo al antes y despu�s La evaluaci�n para la toma de decisiones did�cticas Un compromiso con la tarea de ense�ar