Dane informacyjne

2. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych w Kole • ID grupy: 97/78_MF_G1 • Opiekun: Małgorzata Gralak • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa • Semestr/rok szkolny: semestr piąty / 2011/2012

3. Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

4. Plan prezentacji • Cele projektu • Kombinatoryka • permutacje • wariacje • kombinacje • Rachunek prawdopodobieństwa • prawdopodobieństwo klasyczne • własności prawdopodobieństwa • drzewo prawdopodobieństwa • Zadania różne

5. Cele projektu • Poznanie definicji głównych pojęć kombinatorycznych wraz ze wzorami do ich obliczania oraz przykładami ich stosowania • Opracowanie zestawu zadań ilustrujących metody kombinatoryczne oraz zastosowanie metod kombinatorycznych w różnych sytuacjach w rachunku prawdopodobieństwa

6. Kombinatoryka

7. Kombinatoryka Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami.

8. Kombinatoryka c.d. Kombinatoryka powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

9. Symbolsilnia Dla n > 1 symbol n! (n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ . . . ∙ n Przyjmujemy również, że 0! = 1 i 1! = 1. Przykłady 2! = 1 ∙ 2 = 2 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

10. Permutacje • Permutacjąn -elementowego zbioru A nazywamy każdy n -wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. • Wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest Pn= n! Przykład 1 Podaj wszystkie permutacje zbioru A = {a, b, c}. Rozwiązanie {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Jest ich P3= 3! = 6.

11. Przykład 2 • W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Jeżeli wyjmiemy z urny wszystkie kule i ułożymy je w rzędzie, to otrzymamy ich permutację.

12. Permutacje z powtórzeniami Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy się powtarzają. Przykład 1 Jeżeli spośród elementów: a, b i c, element a weźmiemy dwa razy, element b jeden raz i element c jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami. {a, a, b, c}, {a, a, c, b},{a, b, a, c}, {a, b, c, a}, {a, c, a, b}, {a, c, b, a}, {b, a, a, c}, {b, a, c, a}, {b, c, a, a}, {c, a, a, b}, {c, a, b, a}, {c, b, a, a}.

13. Wariacje bez powtórzeń • Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n- elementowego zbioru A, gdziek ≤ n, nazywamy k- elementową wariacją bez powtórzeń zbioru A. • Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:

14. Przykład 1 3) Gdy zmienimy kolejność wybranych kul, to otrzymamy kolejna wariację tego zbioru. • W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Wybraliśmy z urny 3 kule, które ułożyliśmy w pewnej kolejności. Tak ułożone kule są wariacją zbioru kul.

15. Przykład 2 Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, H, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów? Rozwiązanie

16. Wariacje z powtórzeniami • Każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru A, nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru A. • Ze zbioru n-elementowego można utworzyć różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami.

17. Przykład 1 Z urny, gdzie znajduje się pięć ponumerowanych kul losujemy kolejno 3 kule ze zwracaniem. Po każdym losowaniu zapisujemy wyniki, w kolejności losowania.

18. Losowanie 1 Losowanie 2 W pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 5. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny. W drugim losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 4. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny.

19. Losowanie 3 Otrzymaliśmy trzyelementową wariację z powtórzeniami W trzecim losowaniu, ponownie wybraliśmy kulę z numerem 4. Tak jak poprzednio zapisujemy jom jako wynik losowania

20. Przykład 2 Ze schroniska na szczyt pewnej góry prowadzą 4 szlaki, którymi można wchodzić i schodzić. Na ile sposobów można przebyć trasę schronisko – szczyt – schronisko, jeśli: a)możemy wracać tym samym szlakiem, b)nie możemy wracać tym samym szlakiem?

21. Rozwiązanie a) b)

22. Kombinacje Każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego A (k ≤n ) nazywamy k-elementową kombinacją tego zbioru. Przykład Podaj wszystkie 2 -elementowe kombinacje zbioru A = {a,b,c,d}. Rozwiązanie {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

23. Kombinacje c.d. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego (k ≤ n) jest równa: Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznacza się również symbolem (czytaj: n nad k), zwanym symbolem Newtona.

24. Dowód Każde k wybranych elementów można ustawić w ciąg na k! sposobów. Każdy taki ciąg jest k-elementową wariacją bez powtórzeń. Zatem: czyli skąd otrzymujemy:

25. Przykład 1 Ile trójkątów można utworzyć, łącząc trzy punkty wybrane spośród rozmieszczonych na okręgu punktów:P1, P2, . . . , P10? Rozwiązanie Takich trójkątów jest tyle ile kombinacji

26. Zestawienie wzorów

27. Rachunek prawdopodobieństwa

28. Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

29. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Poszczególne wyniki doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a ich zbiór – przestrzenią zdarzeń elementarnych lub krótko przestrzenią, którą oznaczamy literą omega – Ω. Przykład Przestrzeń zdarzeń elementarnych: rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} rzutu najpierw monetą, a następnie kostką: Ω = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (r, 4), (r, 5), (r, 6), (o, 1), (o, 2), (o, 3), (o, 4), (o, 5), (o, 6)}

30. Zdarzenia losowe • Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. • Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne lub wykluczają się, jeśli część wspólna tych zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym . • Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia .

31. Prawdopodobieństwo klasyczne Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy liczbę: gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A.

32. Przykład 1 Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek większej od 10 przy dwukrotnym rzucie symetryczną kostką?

33. Rozwiązanie Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma 36 elementów: Ω= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, ma 3 elementy: A = {(5, 6), (6,5), (6,6)}. Zatem:

34. Własności prawdopodobieństwa Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a P prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach . Wówczas: 1. 2. 3. Jeśli 4.

35. Przykład 1 Student zna odpowiedź na 8 spośród 20 pytań egzaminacyjnych. Na egzamin losuje 3 pytania i musi odpowiedzieć na co najmniej 1 z nich, żeby zdać egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu? Rozwiązanie Wynikiem doświadczenia są 3 pytania wylosowane spośród 20. Zatem:

36. Niech: A - oznacza zdarzenie polegające na tym, że student wylosował 3 pytania, wśród których było przynajmniej 1 spośród 8, na które potrafi odpowiedzieć A’ – oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - polegające na wylosowaniu 3 pytań spośród 12, na które student nie zna odpowiedzi Zatem: Stąd:

37. Przykład 2 Z liczb od 1 do 20 losowo wybieramy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej prze 2, a B – podzielnej przez 3. • Uzupełnij diagram. • Oblicz: • Sprawdź, czy: A B 6 12 18 2 6 11 Ω

38. Rozwiązanie b) , , , c) a) 19 17 A B 6 12 18 4 3 20 2 6 16 14 10 5 8 13 11 1 5 7 Ω

39. Drzewo prawdopodobieństwa Gdy doświadczenie losowe jest wieloetapowe można się wówczas przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym (probabilistycznym, prawdopodobieństwa). Krawędzie tego grafu odpowiadają zdarzeniom losowym, a wierzchołki poszczególnym etapom. Przy krawędziach zapisuje się prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń, których suma na krawędziach wchodzących w skład jednego wierzchołka jest równa 1.

40. Drzewo prawdopodobieństwa c.d. Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez daną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanym krawędziom , z których składa się dana gałąź (reguła iloczynów). Natomiast prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równa sumie prawdopodobieństw tych gałęzi (reguła sum).

41. Przykład 1 Z pudełka, w którym jest 6 cukierków czekoladowych i 4 krówki losujemy kolejno bez zwracania 2 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania • 2 krówek • 2 cukierków o różnych smakach? Rozwiązanie Niech: C - oznacza wylosowanie cukierka czekoladowego, K - krówki. Mamy tu dwa etapy: I - losujemy jednego cukierka, II -losujemy drugiego cukierka. Ponieważ nie zwracamy cukierków do pudełka po wylosowaniu mamy następujące drzewo stochastyczne:

42. Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa? W pudełku mamy 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 krówki. Prawdopodobieństwo wylosowania cukierka czekoladowego za pierwszym razem wynosi 6/10, natomiast krówki 4/10. Po pierwszym losowaniu zostaje 9 cukierków. A ile jest wśród nich krówek i czekoladowych? To zależy od tego, czy za pierwszym razem wylosowano krówkę, czy cukierka czekoladowego, stąd 4 różne przypadki. a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krówek (zdarzenie A). Zobaczmy na nasze drzewko i zastosujmy regułę iloczynów:

43. b) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania cukierków o różnych smakach (zdarzenie B). Zobaczmy na nasze drzewko. Dwie gałęzie odpowiadają naszemu zdarzeniu. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej z gałęzi i potem stosujemy regułę sum:

44. Zadania różne

45. Zadanie 1 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „szóstki” w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

46. Zadanie 2 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „piątki” w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

47. Zadanie 3 Rzucając czworościenną symetryczną kostką, możemy otrzymać jedną z liczb 1,2,3 lub 4 (liczba przy wierzchołku). Gracz rzucający dwukrotnie taką kostką, jeśli suma wyrzuconych oczek jest większa od 5. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej. I II Rozwiązanie:

48. Zadanie 4 P P Wejście Wpuszczony do labiryntu szczur, dochodząc do rozwidlenia dróg, dwa razy częściej skręca w lewo niż w prawo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu(oznaczonego na rysunku literą P)

49. P P Wejście Rozwiązanie

50. b) Inny szczur wpuszczony do tego samego labiryntu, dochodząc do rozwidlenia dróg, skręca w prawo w x% przypadków. Oblicz x, jeśli prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu, jest równe P P Wejście