第八章 生物医学信号时域数字滤波中的一些问题 （ Some Problems in Time Domain Digital Filtering for Biomedical Signal ）

1. 第八章 生物医学信号时域数字滤波中的一些问题（Some Problems in Time Domain Digital Filtering for Biomedical Signal）

2. 前一章讨论了维纳滤波和卡尔曼滤波的理论和应用。维纳滤波和卡尔曼滤波理论都要求信号与噪声独立，噪声还必须为均值为0方差为1的高斯白噪声。而维纳滤波还需要知道信号和噪声的自相关函数。前一章讨论了维纳滤波和卡尔曼滤波的理论和应用。维纳滤波和卡尔曼滤波理论都要求信号与噪声独立，噪声还必须为均值为0方差为1的高斯白噪声。而维纳滤波还需要知道信号和噪声的自相关函数。 • 在生物医学信号处理中，这样的要求是非常苛刻的，一般是不能达到完全满足的。在生物医学信号处理中，干扰信号还主要不是白噪声，也不能满足独立性要求。如第五章已经指出的心电信号检测中的呼吸干扰，胃电信号检测中的心电干扰，诱发电位测量中的自发脑电干扰，等等。而且这些干扰都不满足均值为0方差为1的高斯白噪的条件。进一步说，它们只能是对欲测量的目标信号的干扰，而不是噪声。它们都是生物医学信号处理中要得到的一些确定性信号。这些就是生物医学信号处理中的一些特殊问题。本章首先介绍干扰和噪声的基本概念，

3. 然后介绍处理这些问题的加权平均滤波；周期平均滤波；迭加平均滤波；同态信号滤波；自适应滤波等技术。应当注意的是，这些滤波方法并不都是普适的，有的只适用于特定的场合，如周期平均滤波（是一种锁相平均技术），只适用于如心血管系统信号，如心电、心音、血压、脉搏、阻抗等形式的、特定波形形态具有准周期重复性的信号，而迭加平均滤波（是一种锁时平均技术）和自适应滤波技术则适用于检出如各种诱发电位这样性质的信号。然后介绍处理这些问题的加权平均滤波；周期平均滤波；迭加平均滤波；同态信号滤波；自适应滤波等技术。应当注意的是，这些滤波方法并不都是普适的，有的只适用于特定的场合，如周期平均滤波（是一种锁相平均技术），只适用于如心血管系统信号，如心电、心音、血压、脉搏、阻抗等形式的、特定波形形态具有准周期重复性的信号，而迭加平均滤波（是一种锁时平均技术）和自适应滤波技术则适用于检出如各种诱发电位这样性质的信号。

4. 第一节 噪声和干扰（Noise and Interference） • 噪声和干扰是描述两个既有联系又有区别的两个不同概念。具体对于信号处理来说，非目标信号都可统称为干扰，不管它们是确定的还是随机的还是模糊的。而噪声则常常是与随机信号相联系的。一般而论，噪声不可能是目标信号。就是说，一般情况下相对于目标信号来说，噪声总是干扰。因而干扰是一个范畴更大的概念。 • 在对本来是确定性的客观量的测量过程中，除了设备本身的原因外，随机性往往是由观测者本身引入的。一般情况下，这种随机性的影响往往是比较小的，并且可用多次测量的平均来逼近真值。

5. 在这个意义上来说，随机性是普遍存在的。平均技术的目的就是在于消除随机性，突出确定性。就生物医学信号而言，本身主要是确定的，随机性主要是由于环境和测量过程的影响的结果。生物医学信号处理的目的，也就是尽可能消除随机性，突出确定性的特征。利用随机性只是一种手段，并不意味着生物医学信号本身就是随机信号。生物医学信号一般都有宽带谱特征，这并不意味着随机性，而是非线性特征的一种表现。在这个意义上来说，随机性是普遍存在的。平均技术的目的就是在于消除随机性，突出确定性。就生物医学信号而言，本身主要是确定的，随机性主要是由于环境和测量过程的影响的结果。生物医学信号处理的目的，也就是尽可能消除随机性，突出确定性的特征。利用随机性只是一种手段，并不意味着生物医学信号本身就是随机信号。生物医学信号一般都有宽带谱特征，这并不意味着随机性，而是非线性特征的一种表现。

6. 一、目标信号 • 目标信号就是研究者希望获得的信号，如心电信号、胃电信号、脑电信号、呼吸信号、温度信号等。一般情况下目标信号都是确定性信号。只有在特殊的情况下，才需要随机信号（如电子器件产生的电子噪声）。在信号处理技术中，常常要使用一种用一定的算法产生的伪随机信号（pseudorandom signal）。所谓“伪”就是貌似随机实为“确定”的意思，因为它是由一定的非线性算法（公式）产生的。理论上讲，确定信号是能由数学方程（包括代数的、微分的、积分的方程等）描述的信号。随机信号是不能由数学方程准确描述而只能由统计方法描述其统计特征的信号。

7. 二、非目标信号·干扰 • 除了目标信号以外的信号，统称为非目标信号（non-target signal），包括目标信号以外的生物医学信号和环境干扰信号。非目标信号也可以统称为干扰（interference）。干扰可以是噪声（noise），也可以是确定性信号。后者包括非目标信号的生物医学信号，环境干扰中的确定性信号，如50Hz工频干扰。在一次信号采集中，50Hz工频干扰的频率、幅度和初相位等参数都是确定的。因此，干扰是一个内涵更广的概念，不能把干扰和噪声完全等同起来，混为一谈。一般情况下，干扰是噪声和确定性信号的混合信号

8. 三、噪声·随机信号 • 噪声与随机信号（random signal）应该是等效的概念。以后对于这两个概念不加区别。有时也有随机噪声的说法，这时理解“随机”二字为强调的意思。与随机信号的概念有关的还有伪随机信号。前面已经说过“伪”就是“假”的意思，假随机真确定，实为一非线性信号。

9. 1．单纯随机信号（pure random signal） • x m (n)，根据各态遍历假说，所有序列的各对应点的均值为0（即和为0）： (1) 单纯随机信号的均值为0（即和为0） 设x(n)为单纯随机信号，则有 Σx（n）= 0 n = 0，1，2，…，N， N → ∞ （8-1） 如果有M个单纯随机信号序列 x m (n)，根据各态 遍历假说，所有序列的各对应点的均值为0 （即和为0）：

10. Σxm (n) = 0 m = 0，1，2，…，M， M → ∞ （8-2） 或 Σxm(n)/M = 0 m = 0，1，2，…，M， M → ∞ （8-3） 上两式就是迭加平均去噪的理论基础。值得指出的是， 只有单纯随机信号才能满足上两式的要求。 (2) 单纯随机信号的独立性 不同的单纯随机信号是相互独立的。设x m (n)与x n (n) 是任意两单纯随机信号，独立性表示为互相关（函数） 为0： x m (n)·x n (n) = 0 (8-4) 这是单纯随机信号的一个很重要和很有用的性质。在晚 电位提取的相关平均滤波中就要用到这个性质。这个性 质表明，讨论单纯随机噪声的相关性是没有意义的。

11. (3) 单纯随机信号与确定性信号是相互独立的 • 单纯随机信号与确定性信号是相互独立的。设s(n)是一确定性信号，x n (n)是单纯随机信号，独立性表示为互相关（函数）为0： s (n)·x (n) = 0 (8-5) 上式是随机信号与确定信号相互独立或互不相关的描述，即单纯随机信号x (n)与确定性信号s (n)的互相关函数s (n)·x (n)为0。这也是单纯随机信号的一个很重要和很有用的性质。这个性质表明，讨论单纯随机噪声与确定性信号的相关性是没有意义的。

12. 2．一般随机信号 确定信号与随机信号的混合信号称为一般随机信号， 简称随机信号。设s(n)为一确定性信号，x(n)为单纯 随机信号，则一般随机信号v (n)可表示为 v(n) = s (n) +x (n) (8-6) 对于一般随机信号v(n)的性质叙述如下。 设v(n)为（8-6）式所示的一般随机信号，则 Σv(n)/M =Σs(n)/M m = 0，1，2，…，M,M → ∞ （8-7） 上式可由引用（8-3）式证明。这就是说，对于一般 意义的噪声（干扰或非目标信号）而言，

13. 迭加平均的结果为一非0值，该值是其中的确定性成迭加平均的结果为一非0值，该值是其中的确定性成 分的迭加平均的结果。只有单纯随机噪声，才能用迭 加平均的技术去除之。现有的诱发电位提取技术用的 是叠加平均技术。但仔细分析诱发电位的背景干扰信 号，是自发脑电和50Hz工频干扰及环境噪声等的混合 信号，其中的自发脑电和50Hz工频干扰都不完全符合 单纯随机信号的要求，因此，叠加平均的结果应是 （8-7）式的结果。

14. (2) 一般随机信号与单纯随机信号是相互独立的 • 设v (n)与xn (n)分别是一般随机信号和单纯随机信号，并设 v (n)= v(n) = s (n) +x (n) 则有 v (n)·xn (n) = s (n)·x n (n) + x (n)·xn (n)= 0 (8-8) 因为由（8-4）与（8-5）式可知，上式中的s (n)·x n (n)与x (n)·x n (n)为0。

15. (3) 一般随机信号的互相关等于所含确定性成分的互相关 • 设v m (n)与v n (n)分别是两个一般随机信号，并有 vm (n)= sm(n) +xm(n) vn (n)= sn(n) +xn(n) 则有 v m (n)·vn (n) = s m (n)·s n (n) (8-9) 根据（8-8）式的结果，很容易证明上式是正确的。也可以证明以下关系是正确的： v m (n)·s (n) = s (n)·s (n) + x (n)·s (n)= s (n)·s (n) (8-10) 上式意味着可以用相关技术消除噪声，提取被噪声淹没的确定性信号，因而这种技术也称为相关提取。结果信号是与确定性信号s (n)谱特征相同的信号

16. 3．关于（单纯）随机信号的几个概念问题 • (1) 随机取值信号（值随机信号） 随机取值信号是指信号的值可在（－∞，＋∞）范围内随机变化的信号，表示为： x(n) = RD(n) （8-11a） 之中RD(n)表示随机取值信号。RD是random的缩写，即“随机”之意。一般而言的单纯随机信号即指随机取值信号。但是在信号处理文献中，还有下面一些关于借助信号的傅立叶观点的随机信号的概念：幅度随机信号（随机幅信号）、频率随机信号（随机频信号或白噪声）、色噪声、相位随机信号（随机相信号）。

17. (2) 幅度随机信号 • 幅度随机信号是指信号的幅度可在（－∞，＋∞）范围内随机变化的信号。按傅立叶观点，一个信号的随机性可以表现为幅、频及初相（initial phase）的随机性。这里首先讨论幅度随机变化的信号。借用信号的傅立叶表示法，幅度随机信号可以表示为： x(n) = RD(n)SIN[ωn +θ(n)] (8-11b) 式中，RD(A)是可以随机取值的信号，而SIN[ωn +θ(n)]是

18. 确定性信号。因而上式隐含这样的意义：随机信号与确定信号之积为随机信号（见文献[9]）。应当强调的是，上两式并不表示随机信号可应用数学公式准确表示，只能理解为表示随机信号的一个符号而已，下同。上式右端是一个非线性变换，会对信号的特性产生影响。的确，上式中RD(n)在[0，＋∞]区间变化时，x(n)都可在（－∞，＋∞）范围内随机变化。确定性信号。因而上式隐含这样的意义：随机信号与确定信号之积为随机信号（见文献[9]）。应当强调的是，上两式并不表示随机信号可应用数学公式准确表示，只能理解为表示随机信号的一个符号而已，下同。上式右端是一个非线性变换，会对信号的特性产生影响。的确，上式中RD(n)在[0，＋∞]区间变化时，x(n)都可在（－∞，＋∞）范围内随机变化。

19. (3) 初相随机信号 • 初相随机信号就是信号的初相可以随机变化的信号。可以证明初相随机信号等效于两幅度随机的信号的合成。借用信号的傅立叶表示法，初相随机信号x(n)可以表示为： x(n) = ASIN[ωn + RD(θ)] (8-12) 式中，A和ω是常规变量，RD(θ)表示随机初相。随机初相在（－∞，＋∞）范围内随机取值，实际上等效于只能在[0~2π]有限的空间内可以随机取值。

20. 对(8-12)进行三角展开后可得： x(n) = ACOS[RD(θ)]SIN(ωn) + ASIN[RD(θ)]COS(ωn) (8-13) 上式中，ACOS[RD(θ)]与ASIN[RD(θ)]相当于随机幅度，这就证明了随机初相信号相当于随机幅信号，是两个随机幅信号的合成。还要指出的是，随机初相信号的等效随机幅信号的幅度只能在[－A，＋A]间随机变化，而不能像前面讲的随机幅度信号一样，幅度可在（－∞，＋∞）范围内随机变化。 另外，也可证明，随机相位意味着随机延时。由(8-12)式可得： x(n) = ASIN[ωn +RD(θ)]= ASIN{ω[n + RD(θ)/ω]} (8-14)

21. 上式表明，随机相位RD(θ)相当于随机延时τ= RD(θ)/ω。特定波形出现时间的延时医学上成为“潜伏期”。“潜伏期”不稳定的特定波形将难于用一般的加迭加平均技术提取。因为从这里知道，“潜伏期”不稳定，属于随机延时或随机相位信号。 (4) 白噪声（white noise） 白噪声的“白”是一个借用来的光学概念，准确的意思 是频率可以在（－∞，＋∞）范围变化的单纯随机 信号。按傅立叶观点，白噪声可以 表示为： x(n) = ASIN[2πRD(f)n +θ] (8-15)

22. 式中，RD(f)表示随机频率。由上式可知随机频率白噪声，是一种频率变化范围无限，幅度变化范围在有限的[-A,+A]区间变化的随机信号。式中，RD(f)表示随机频率。由上式可知随机频率白噪声，是一种频率变化范围无限，幅度变化范围在有限的[-A,+A]区间变化的随机信号。 • (5) 色噪声（color noise） 色噪声的“色”也是一个借用来的光学概念，准 确的意思是频率只可在有限的范围内随机变化。 (6) 完全随机信号（fully random signal） 由上面的讨论可知，按信号的傅立叶表示法，一个 随机信号的独立随机变量只有两个：幅度和频率。 色噪声和相噪声（初相位随机变化的随机信号）都 是压缩了随机变化范围的随机信号。如果一个信号的 幅度和频率都可在（－∞，＋∞）的范围内随机变化， 则可称为完全随机信号。

23. 还要指出的是这里讨论的随机信号都是指不含确定性信号的单纯随机信号（均值为0）。在具体应用中，一定得注意，所讨论的随机信号是否是满足（8-2）和（8-3）式的均值为0的单纯随机信号。如果不是单纯随机噪声，则不能用叠加平均技术消除之！还要指出的是这里讨论的随机信号都是指不含确定性信号的单纯随机信号（均值为0）。在具体应用中，一定得注意，所讨论的随机信号是否是满足（8-2）和（8-3）式的均值为0的单纯随机信号。如果不是单纯随机噪声，则不能用叠加平均技术消除之！ • (7) 信噪比（signal-to-noise ratio） 信噪比（SNR）定义为信号功率与噪声功率之比， 一般用对数形式表示。该量本无单位，但是人为地给 它定了单位，称为贝尔（Bel）或分贝（dB，1 dB = 1/10贝尔）。 SNR = 20log[Vs/ Vn] （8-16） 这里的噪声，是一般意义上的噪声，即干扰或非目标信 号。生物医学信号的干扰强的另一等效说法是信噪比低。

24. 四、关于随机性的注记 • 1．前面关于随机信号类型（公式（8-11b）、（8-12）、（8-15））的讨论，多只具有理论意义，只有电子噪声才是一种客观存在的近似随机信号。在信号处理的文献中和实践中，多用计算机产生的“伪”随机信号，代替真正的随机信号。已经指出过，这种伪随机信号实为非线性信号。 • 2．就叠加平均去噪而论，不必要求噪声具有高斯分布，更不要求方差为1，而只需要求具有对称分布且均值为0。有的伪随机数发生器，可以发生具有指定分布的随机数。前面第4章中用非线性方程产生的

25. 100个数（表4-1及表4-2）具有近似的对称分布。采用去均值技术很容易满足均值为0的条件。100个数（表4-1及表4-2）具有近似的对称分布。采用去均值技术很容易满足均值为0的条件。 • 3．由（8-15）式可知，白噪声的取值可以是有界的，因此，认为随机信号的取值一定在[－∞，∞]或[0，∞]范围，未必合理，故用“取值无规律可寻或不能用数学方程描述”来定义随机信号是合适的。 • 4．在（8-13）式中，A(n)SIN[θ(n)] 和A(n)COS[θ(n)]也都是有界的，不可能在[－∞，∞]范围内随机变化，但是可以取无穷多个值。

26. 5．对于色噪声，按其定义，其频率也不可能在[0，∞]之间任意取值。但只要其取值无规律性，或不可能用数学方程来描述，就可称为随机信号。5．对于色噪声，按其定义，其频率也不可能在[0，∞]之间任意取值。但只要其取值无规律性，或不可能用数学方程来描述，就可称为随机信号。 • 6．对于随机信号或噪声的定义，还是“取值无规律性，或不能用数学方程来描述”就行了，不一定附加变化范围在[－∞，∞]之间或在[0，∞]之间的条件。 • 7．这样，色噪声就可理解为，频率取值有界但无规律的信号。频率取值的无规律性也确定了信号取值的无规律性。但是按定义，这种信号的谱不可能是在[0，∞]之间的连续谱。如果承认有色噪声存在，就不可能要求随机信号或噪声都具有[0，∞]之间的连续谱。

27. 8．按信号的傅立叶表示法，可把幅度、频率、都可在[0，∞]之间随机取值的信号称为“完全”随机信号。8．按信号的傅立叶表示法，可把幅度、频率、都可在[0，∞]之间随机取值的信号称为“完全”随机信号。 • 9．在一般意义上，生物医学信号，不能认为是随机信号。不能认为人的行为是随机的，心电是随机的等等。生物医学信号中含的随机信号只能认为是一种干扰。一般情况下，这种干扰并不占优势。对在随机时间对同一种性质的生物医学信号的多次测量造成了对应值的随机性。这时如果要用叠加平均技术消除非目标信号的噪声，只能用后面要叙述的相关（锁相）平均技术。象传统的诱发电位提取中的迭加平均技术，是一种锁时（对准刺激时间）平均技术。要得到稳定的诱发电位信号，

28. 必须满足两个条件：(1)诱发电位是幅、频、相三个参数都完全确定的信号；(2)要有足够多的迭加平均次数才有可能获得较稳定的结果。在有限的迭加平均次数下，有可能产生不稳定的结果。如果背景自发脑电的幅度为诱发电位的100倍，前100次的迭加平均可能满意，但第101次的结果反而很不满意。因为这平均后剩下的1/100幅度的背景自发脑电恰可与诱发电位比拟。必须满足两个条件：(1)诱发电位是幅、频、相三个参数都完全确定的信号；(2)要有足够多的迭加平均次数才有可能获得较稳定的结果。在有限的迭加平均次数下，有可能产生不稳定的结果。如果背景自发脑电的幅度为诱发电位的100倍，前100次的迭加平均可能满意，但第101次的结果反而很不满意。因为这平均后剩下的1/100幅度的背景自发脑电恰可与诱发电位比拟。

29. 第二节 加权平均滤波（Weighted Averaging Filtering） • 任何平滑滤波技术都是用一条尽可能逼近原数据的一段光滑曲线，即一个方程，代替原来的一段实际数据，目的是消除高频干扰。不同阶次的方程实际上是有不同的高端截止频率的低通滤波器。在另外的意义上讲，平滑滤波是进行趋势或趋势项预测。在第5章的基线校直中提取趋势项的目的是为了消除趋势项。这里我们要从不同的角度上来利用趋势项：如果用某个逼近原始数据的方程替代原始数据，某指定点的值应是多少。 这里的平滑滤波是用于一个序列平滑化，不同于周期平均滤波或迭加平均滤波，要使用多段或多个数据序列。

30. 一、加权平均滤波的一般理论简介 • 今有信号x(n), 考虑长为q = 2M+1个以u为中心的相接续的点构成的一段数据。因此这段数据是：x(u－M), x(u－M+1), …, x(u－1), x(u), x(u+1), …, x(u+M－1), x(u+M)。u的位置可以任意设定，即可以任意移动。如果令u = 0，则这段序列变成：x(－M), x(－M+1), …, x(－1), x(0), x(+1), …, x(M－1), x(M)。如果用函数fp(u)来拟合这段数据。从数学分析知道，不管这个函数如何复杂，都可用台劳级数逼近它：

31. fp(u) = ∑a p up p = 0,1,2,…, P (8-17) 展开式为： fp(u) = a 0 + a1 u 1+ … + ap－1 u P－1 +ap u P （8-18） 式中a p = fp (p)(0)/p!, fp (p)(0)表函数fp(u)的n阶导数在u =0 点的值，p!表示p的阶乘。特别是由（8-18）式可计算中心点（u=0的点）的值a 0： a 0 = fp (u=0) （8-18b） 用fp(u)拟合x(n)的总的误差能量（即方差）为 E = ∑[fp(u)－x(u)] 2 =∑[∑apup－x(u)] 2 u = 0,±1,…, ±M, p=0,1,2,…,P （8-19）

32. 根据能量最小原理（最小二乘原理），可求得： ∑ap[∑up+r] = ∑x(u)u r u = 0,±1,…, ±M, p, r =0,1,2,…,P （8-20） 令 Fr = ∑x(u)u r u = 0,±1,…, ±M （8-21） Sp+r = ∑up+r u = 0,±1,…, ±M （8-22） 则 Fr = ∑ap Sp+r p, r =0,1,2,…,P （8-23）

33. 上式中，Fr是已知量，可由（8-21）式计算。Sp+r可由（8-22）式计算。如果要求拟合方程，则由（8-23）式构成的P+1个方程，可以计算出P+1个ap值，就得到曲线拟合方程（8-18）。但是在这里，不是要求曲线拟合方程（8-18），而是要求出这段数据中心点a 0的表达式，即fp (u=0)的表达式。 【例8-1】求M=2, P=2时的a 0的表达式 〖解〗由题给出的条件和（8-18）式可知，数据段有5个点，拟合多项式（8-18）的阶次为2，即是2次3项式（抛物线）。数据对称排列是为了简化计算。

34. 首先，由（8-22）式计算Sp+r 的值。由计算得知，当p+r为奇数时，Sp+r = 0。而 p+r=0时， S0 = ∑u0 = 5 u = 0,±1,±2 p+r=2时， S2 = ∑u2 = 4+1+0+1+4 = 10 p+r=4时， S4 = ∑u4 = 16+1+0+1+16 = 34 由（8-23）式列出可解出a 0的方程： 当r = 0时， F0 = a0 S0 + a1 S1＋a2 S2 = a0 S0 +a2 S2 (i) 当r = 1时， F1 = a0 S1＋a1 S2＋a2 S3= a1 S2 (ii) 当r = 2时， F2 = a0 S2＋a1 S3＋a2 S4= a0 S2＋a2 S4 (iii)

35. 由上面计算可知，由（i）和（iii）式就可解出中心点的值a0：由上面计算可知，由（i）和（iii）式就可解出中心点的值a0： a0 =（S4 F0－S2 F2）/（S0 S4－S22） = (34 F0－10 F2)/70 =(17 F0－5 F2)/35 (iv) 由上式可知，只要求出F0与 F2的表达式，就可得到中心点的值a 0的表达式。由（8-21）式可知： 当r = 0时， F0 =∑x(u) = x(-2) + x(-1) + x(0) + x(1) + x(2) (v) 当r = 2时， F2 =∑x(u) u 2 = 4x(-2) + x(-1) + x(1) + 4x(2) (vi) 将上面两表达式带入（iv）可得 [注：原书P.137 公式(7)]

36. a0 =（－3x(-2) + 12x(-1) +17 x(0) + 12x(1)－3x(2)）/35 （8-24） 将原序列任意指定的一段5点序列的中心值x(0)用上式计算的a0值替换，即完成了平滑。可以这样认为：在（8-24）式中，对不同点的数据给以了不同的权重，所以这种方法又称为加权平滑滤波。实际上是最小二乘意义上的5点2阶（次）拟合滤波。 二、加权平均滤波的结果 一段心电信号的5点2阶的加权平滑滤波的结果如图 5-1。其中a)为原始心电信号，b)为被滤去的成分， c)为滤波后的心电信号。从图中明显可以看出5点2 阶加权平滑滤波的低通性质。这种技术对于平滑基 线的波纹很有效。

37. 图8-1 心电信号的5点2阶加权平均注：a)为原始心电信号，b)为被滤去的成分，c)为滤波后的心电信号

38. 【例8-2】求M=1, P=1时的a 0的表达式。〖解〗由题给出的条件和（8-18）式可知，数据段有3个点，拟合多项式（8-18）的阶次为1，即是线性平滑滤波。由上例的讨论可知，这种情况下，只存在S0、S2、F0、F2、a 0、a 1。因而(i)式变成了F0 = a0 S0而此时 F0 = x(-1) + x(0) + x(1)S0 = 3 所以 [注：原书P.138 公式(4)] a0 = [x(-1) + x(0) + x(1)]/3 （8-25）

39. 这就是说，三点均值滤波也是最小能量误差（最小二乘）意义上的滤波。三点均值滤波的计算量小，效果也满意。三点平滑滤波的另外的优点是幅度和相位失真小。图8-1中的一条可以移动的长竖直线就是用来观察相位失真的 三、加权平均滤波的讨论 • 一般用5点加权平均滤波或三点平均滤波。实践证 • 明，取更多的点和/或更高的阶次不但增加计算量， • 而且幅度损失太大。取更多点的加权系数见表8-1。 • 表8-1 3、5、7、9、11点加权平均滤波的权系数

40. 2．取为0的基准点可以任意，如可取接续5点的值加权平均作为第一点或第二点的值，取第一点为参考点时，a0的值为2．取为0的基准点可以任意，如可取接续5点的值加权平均作为第一点或第二点的值，取第一点为参考点时，a0的值为 a0 =（69x(0) + 41x(1)－6x(2) + 4x(3)－x(4)）/60 （8-26） 取第二点为参考点时，a0的值为 a0 =（2x(-1) + 27x(0) +12x(1)－8x(2) + 2x(3)）/60 3.首尾数据的处理 就5点加权平均滤波而论，有首尾两点的数据予于处理。对于为首两点，可用式（8-26）和（8-27）处理，对于末尾两点，

41. 可用类似的方法计算。但是这样做，未必有优点。首先，相位移动太大。其次计算量大。实际上下面的方法可能是更好的选择。对于第一首尾数据，可以接续两点的数据的平均，作为首尾第一点的值。对于第二首尾数据，以首尾接续三点的数据的平均，作为首尾第二点的数据。因为已经证明，三点均值滤波，也是最小二乘意义上的滤波。也可以证明，两点均值滤波，也是最小二乘意义上的平滑。可用类似的方法计算。但是这样做，未必有优点。首先，相位移动太大。其次计算量大。实际上下面的方法可能是更好的选择。对于第一首尾数据，可以接续两点的数据的平均，作为首尾第一点的值。对于第二首尾数据，以首尾接续三点的数据的平均，作为首尾第二点的数据。因为已经证明，三点均值滤波，也是最小二乘意义上的滤波。也可以证明，两点均值滤波，也是最小二乘意义上的平滑。

42. 第三节 周期平均滤波（Averaging Filtering by Period） 周期平均滤波技术适用于具有适当波形重复性或称为周期性或拟周期性这样的信号。本节除了介绍周期平均滤波技术过程而外，还要讨论该技术存在的问题和解决此问题的方向。 一、周期平均滤波 生物医学信号处理中，周期平均滤波技术常用于心血管系统的信号这样的具有拟周期性的信号的滤波。例如，在提取心房、心室晚电位（late potential）时，就使用周期平均技术。具体做法是

43. 首先取一个合适的QRS波作为“模板”，然后将其余的QRS波与之比较。在比较之前，先要进行对位或称为“配准”（alignment），即对准R波的峰值。然后取相同的宽度（点数），再求已配准了的两个QRS波序列的相关性，取合适的相关系数阈值（如99%）作为判据，以决定这两个QRS波是否迭加或迭加平均。如果不能满足相关性判据，则再取下一个QRS波进行比较。迭加到什么时候，才停止呢？一般设两个终止迭加判据：迭加次数N或以标准差SD表示的噪声水平。在计算SD时另外设置一个“噪声窗”的位置，一般取在“0”电势或认为电势不变化的位置，如P－R段，U－P段（见第五章）。做QRS波迭加平均的宽度称为“相关窗”。当然在进行相关性计算之前，要进行双向滤波预处理以抑制噪声水平。在临床使用的软件中，这两个窗的宽度是可调节的，而“噪声窗”的位置也是可调节的。首先取一个合适的QRS波作为“模板”，然后将其余的QRS波与之比较。在比较之前，先要进行对位或称为“配准”（alignment），即对准R波的峰值。然后取相同的宽度（点数），再求已配准了的两个QRS波序列的相关性，取合适的相关系数阈值（如99%）作为判据，以决定这两个QRS波是否迭加或迭加平均。如果不能满足相关性判据，则再取下一个QRS波进行比较。迭加到什么时候，才停止呢？一般设两个终止迭加判据：迭加次数N或以标准差SD表示的噪声水平。在计算SD时另外设置一个“噪声窗”的位置，一般取在“0”电势或认为电势不变化的位置，如P－R段，U－P段（见第五章）。做QRS波迭加平均的宽度称为“相关窗”。当然在进行相关性计算之前，要进行双向滤波预处理以抑制噪声水平。在临床使用的软件中，这两个窗的宽度是可调节的，而“噪声窗”的位置也是可调节的。

44. 所谓心室晚电位（VLP: ventricular late potential）指的是由于某种原因（如疾病）产生的心室肌的去极化不同步，部分心肌延迟去极化，而在主QRS波的下降支产生的高频、低幅震荡电位，时间可延长至ST段。关于心室晚电位的进一步细节见第12章或有关专著（如文献[2]）。 由于临床心电测量要求测量3-5个心动周期的时间、幅度，然后取平均值。因此，也有主张，先进行平均，再进行测量的策略。

45. 二、关于周期平均滤波的注记 • 1．迭加平均技术的类型 周期平均滤波技术采取的R波配准策略实际上是对准相位。因此，这种用两序列间的迭加平均技术可以称为“时域锁相平均”技术。另外如果用两序列的功率谱进行迭加平均，称为“频域锁频平均”技术，即对准频率的平均技术。这是一种“标量”平均技术。如果用两序列的频谱进行迭加平均，则是“向量锁频平均”技术。如果两序列中都有一定的定时标记，配准定时标记进行两序列的迭加平均，

46. 称为“锁时平均”技术。如在提取诱发电位中使用的技术。在该技术中，当发出刺激信号后，以一定的延时，给出一个时标信号。称为“锁时平均”技术。如在提取诱发电位中使用的技术。在该技术中，当发出刺激信号后，以一定的延时，给出一个时标信号。 以上的四种两序列间的迭加平均技术中，除了功率谱的迭加平均外，都是矢量平均技术。不能保证相位配准的两信号将使迭加平均的结果严重失真，包括波形和幅度失真。如果两信号分量恰好反相，则两成分完全抵消。如果恰使不同的分量同相，则产生错误的增强（相加）作用，也会使迭加平均的结果严重失真。这两种失真统称为“膺像（artifact）”。前者为失去某种成分的膺像，后者为增加某种成分的膺像。

47. 2．迭加平均技术的波形增宽效应 研究表明，迭加平均可使波形增宽，如QRS增宽（详见文献[3]）。增宽的原因可能是不能保证每次采样得到的R波峰值是客观存在的实际的R波的峰值。因此用迭加平均后的测量来代替单次测量的平均未必可取。 3．晚电位的单搏提取可能是更好的方法 在VLP或ALP(心房晚电位：atrial late potential ) 提取中，进行相位对准的是QRS波而不是晚电位， 因此，不能保证晚电位是相位对准的，因为不能 保证晚电位与QRS波是同步（同相）的。如果两 序列的晚电位恰好反相，则将完全抵消。

48. 因此，这种技术的信号处理理论基础一直受到质疑。也可能是该技术的准确性或可靠性差的原因之一。消除这种疑虑的办法之一是进行单搏（single beat）晚电位提取。能否成功的实现，要靠单搏提取技术的进步。 4．保证目标信号同相叠加的困难 在VLP提取中，要计算QRS终末40ms内的波幅的rsm（均方根幅值）。这种方法也不能有晚电位存在时该值就大（如大于25μV标准）。如果VLP与QRS反相，这个值反而小，因为没有措施保证VLP与QRS同相。

49. 第四节 迭加平均滤波（Superposing and Averaging Filtering） 在生物医学信号处理中，迭加平均技术常用以提取被背景信号淹没的目标信号，如各种诱发电位（EP：evoked potential）和事件相关电位（ERP：event related potential）的提取。其理论基础一般认为是牢固的。本节将首先叙述迭加平均技术的目的，然后叙述其理论基础，再讨论仿真研究，最后讨论在具体使用中存在的问题。

50. 一、迭加平均技术的目的 • 迭加平均技术的目的是提取目标信号S(n)。目标信号可以强于也可弱于干扰信号N(n)。如诱发电位提取中，目标信号大大弱于干扰信号。在VLP提取中，为达到一定的噪声水平而进行的迭加平均中，则是目标信号（ECS）大大强于非目标信号（噪声）。 二、迭加平均技术的理论假设 迭加平均技术的理论假设是：(1)目标信号是不变 的，更具体说是特征（幅度、频率、相位）不变的 确定信号；