Rezystancja zastępcza, połączenie trójkąt-gwiazda

1. Rezystancja zastępcza, połączenie trójkąt-gwiazda Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

2. Połączenia rezystorów 4 Rezystancja zastępcza • Rezystory w obwodzie elektrycznym mogą być połączone na różne sposoby. • W każdym przypadku istnieje możliwość wyznaczenia tzw. rezystancji zastępczej. • Rezystancja zastępcza grupy rezystorów to rezystancja, która włączona w obwód w miejsce rozpatrywanej grupy nie zmienia rozpływu prądów i rozkładu napięć w pozostałej części obwodu. • Rozróżniamy dwa typowe przypadki: • Połączenie szeregowe, • Połączenie równoległe.

3. Połączenia rezystorów R1 R2 Rn R Połączenie szeregowe • Połączeniem szeregowym rezystorów nazywamy takie ich połączenie, w którym przez wszystkie rezystory płynie jeden i ten sam prąd. • Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n szeregowo połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą jednego tylko rezystora R.

4. Połączenia rezystorów A I U1 R1 R2 U2 U Un Rn B A I R U B Rezystancja zastępcza p. szeregowego • Z prawa koła napięć • Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ui = RiI; uwzględniwszy to w poprzednim wzorze • Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli • Rezystancja zastępcza szeregowego połączenia rezystorów równa się sumie ich rezystancji.

5. Połączenia rezystorów R1 R2 Rn R Połączenie równoległe • Połączeniem równoległym rezystorów nazywamy takie ich połączenie, w którym na zaciskach wszystkich rezystorów występuje jedno i to samo napięcie. • Do zaznaczenia, że rezystory R1, R2, …, Rn połączone są równolegle stosujemy czasem zapis • Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą jednego tylko rezystora R.

6. Połączenia rezystorów A I I1 In I2 U R1 R2 Rn B A I R U B Rezystancja zastępcza p. równoległego • Z pierwszego prawa Kirchhoffa • Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ii = U/Ri, stąd ostatni wzór przyjmuje postać • Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli • Odwrotność rezystancji zastępczej równoległego połączenia rezystorów równa się sumie odwrotności ich rezystancji.

7. Połączenia rezystorów R1 R2 Połączenie równoległe dwóch rezystorów • W przypadku dwóch rezystorów połączonych równolegle • Po przekształceniu • Pułapka: wzorując się na ostatniej zależności, część studentów zapisze dla trzech rezystorów NIEPOPRAWNIE

8. Połączenia rezystorów Szeregowo kontra równolegle Szeregowo Równolegle Rezystancja zastępcza jest większa od każdej jest mniejsza od każdej z wartości R1, R2, …, Rn z wartości R1, R2, …, Rn Konduktancja zastępcza Rezystancja w przypadku n jednakowych rezystorów R1

9. Połączenia rezystorów Połączenia mieszane • Układ złożony z rezystorów połączonych szeregowo lub równolegle nazywamy układem o połączeniu mieszanym. • Rezystancję zastępczą takiego układu wyznaczamy stosując na przemian wzory dla połączenia szeregowego i równoległego.

10. Połączenia rezystorów A B A B A B A B A B Redukcja układu połączeń 1 2 3 4 5

11. Połączenia rezystorów 3 A B 1 1 1 2 C Przykład • Wyznaczyć rezystancję zastępczą względem zacisków AB oraz AC. Wartości rezystancji w omach.

12. Połączenia rezystorów 3 A B 1 1 1 2 3 2 C B A 1 3 3 2 B A 2 B A 1 1 RAB A B Rezystancja RAB

13. Połączenia rezystorów 3 3 2 A B 1 1 1 A 1 2 2 C C 4 C A 1 RAC A C Rezystancja RAC

14. Połączenia rezystorów Połączenia specjalne • Istnieją układy rezystorów, w którym brak jest połączeń szeregowych i równoległych, czyli nie da się ich zredukować za pomocą poznanych dotychczas wzorów. • Wtedy stosuje się tzw. zamianę „trójkąt-gwiazda” lub „gwiazda-trójkąt”.

15. Połączenia rezystorów C C R3 R2 r1 r2 r3 A R1 B A B Połączenie w gwiazdę i w trójkąt • Równoważność obydwu połączeń wymaga, aby ich rezystancja zastępcza względem każdej pary zacisków AB, BC i CA była jednakowa. • Stąd mamy układ równań Trójkąt () Gwiazda (Y)

16. Połączenia rezystorów C C R3 R2 r1 r2 r3 A R1 B A B Zamiana trójkąt-gwiazda • Rozwiązując powyższy układ równań ze względu na r1, r2 i r3, dostajemy wzory na zamianę -Y • Jeżeli R1 = R2 = R3 = R, to

17. Połączenia rezystorów C C R3 R2 r1 r2 r3 A R1 B A B Zamiana gwiazda-trójkąt • Rozwiązując wcześniejszy układ równań ze względu na R1, R2 i R3, dostajemy wzory na zamianę Y- • Jeżeli r1 = r2 = r3 = rY, to

18. Połączenia rezystorów 40 16 A B 10 50 25 40 16 16 A B 10 4 A B 20 50 25 25 5 Przykład – mostek Obliczyć rezystancję zastępczą RAB. Wartości rezystancji w omach. →Y

19. 5 Zastosowanie połączenia tr-gw

20. 5 Zastosowanie połączenia tr-gw

21. 5 Zastosowanie połączenia tr-gw