第三讲 MATLAB 的符号运算

1. 第三讲 MATLAB的符号运算 • 科学与工程技术中的数值运算固然重要，但自然科学理论分析中各种各样的公式、关系式及其推导就是符号运算要解决的问题。 • 在Matlab7.0中，符号计算虽以数值运算的补充身份出现，但它们都是科学计算研究的重要内容。 • Matlab开发了实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox 。

2. 符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的Maple的基础上。符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的Maple的基础上。 • 它最初是由加拿大的滑铁卢(Waterloo)大学开发出来的。 • 如果要求Matlab7.0进行符号运算，那么首先由Maple计算并将结果返回到Matlab7.0命令窗口。

3. 两个数学分析的可视化界面 • 图示化符号计算器 (由命令funtool引出) • 泰勒级数逼近分析界面 (由命令taylortool引出)

4. 图示化符号计算器 • 由三个独立的窗口构成，通过函数运算控制窗口来演示另外两个图形窗口，任何时候，只有一个窗口属于激活状态。而被激活的函数图像可随运算控制窗口的操作而做相应的变化。 • 下面给出运算控制窗口的键位功能。

6. 前两行是函数 f 和 g 的具体解析式，第三行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。 • 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简化、提取分子和分母、倒数、反函数。 • 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。 • 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ；swap是实现 f 和 g 功能的交换。 • 最后一行是对计算器自身进行操作。

7. Funtool计算器存有一张函数列表fxlist 这7个功能键分别是： • Insert：把当前激活窗的函数写入列表 • Cycle：依次循环显示fxlist中的函数 • Delete：从fxlist列表中删除激活窗的函数 • Reset：使计算器恢复到初始调用状态 • Help：获得关于界面的在线提示说明 • Demo：自动演示 • Close：关闭整个计算器

8. 泰勒级数逼近分析 • 该界面用于观察函数f(x)在给定区间被N阶泰勒多项式Tn(x)逼近的情况。 • f(x)的输入可由命令taylortool(fx)引入，或者在栏中直接输入表达式，回车确定。 • N默认值为7，a是级数的展开点。 • 函数的观察区间默认为(-2pi，2pi)。

10. 符号运算的功能 • 符号表达式、符号矩阵的创建 • 符号线性代数 • 因式分解、展开和简化 • 符号代数方程求解 • 符号微积分 • 符号微分方程

11. 一、符号运算的基本操作 • 什么是符号运算 • 与数值运算的区别 ※数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 ※符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。

12. 特点：  运算对象可以是没赋值的符号变量，以推理解析的方式进行，因此不受计算误差累积所带来的困扰。  可以给出完全正确的封闭解或任意精度的数值解(当封闭解不存在时)。 ③符号计算指令的调用简单，和经典教科书公式相近。 ④计算所需的时间较长。 • Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用Maple软件实现符号计算的。 • Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件的主导地位。

13. 2. 字符串与符号变量、符号常量 字符串对象 f = 'sin(x)+5x' f —— 字符串名 sin(x)+5x—— 函数表达式 ' '—— 字符串标识 • 字符串表达式一定要用' '单引号括起来Matlab才能识别。 • 用class( )来返回对象的数据类型。

14. ‘ ’ 里的内容可以是函数表达式，也可以是方程。 例： f1='a*x^2+b*x+c' —— 二次三项式 f2= 'a*x^2+b*x+c=0' —— 方程 f3='Dy+y^2=1' ——微分方程 ※函数表达式或方程可以赋给字符串或符号变量，以后方便调用。

15. 符号变量 • 符号变量是内容可变的符号对象。 • 符号变量通常是指一个或几个特定的字符，不是指符号表达式，甚至可以将一个符号表达式赋值给一个符号变量。 • 符号变量有时也称自由变量，它的命名规则和数值变量的命名规则相同。 • 相关指令为： sym( ) 和 syms( ) （symbolic的缩写）

16. 例：用函数命令sym( )和syms( )来创建符号对象并检测数据类型。 a=sym('a') 注意两个 a的区别 b=sym('c') classa=class(a) classb=class(b) 可看出两个变量均为符号对象 syms a b c d e f g h whos 也可以查看所有变量类型 从上述比较来看：当需要同时定义多个符号变量时，使用syms( )更简洁一些。

17. 符号常量 • 当数值常量作为sym( )的输入参量时，就建立了一个符号对象——符号常量。 • 虽然看上去是一个数值量，但已经是一个符号对象了。 例：a=3/4; b='3/4'; c=sym(3/4); d=sym('3/4'); whos 查看变量类型 a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类型；c和d都是符号对象类型。

18. 由符号变量构成的符号函数和符号方程 • 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。 • 包括：符号函数和符号方程。判断看带不带等号。 例：syms x y z; f1=x*y/z; f2=x^2+y^2+z^2; f3=f1/f2; e1=sym('a*x^2+b*x+c') e2=sym('sin(x)^2+2*cos(x)=1') e3=sym('Dy-y=x')

19. 3.符号矩阵的创建 数值矩阵 clear clc A=[1,2;3,4] A=[a,b;c,d] —— 不识别 用Matlab函数sym创建矩阵 命令格式：A=sym('[ ]') ※ 符号矩阵内容同数值矩阵 ※ 需用sym指令定义，需用' '标识 ※ 注意与'[a,b;c,d]'的区别

20. 例如：A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') A = [ a, 2*b] [3*a, 0] 这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 Matlab数值矩阵的 一个重要区别。

21. 用字符串直接创建矩阵 • 模仿Matlab数值矩阵的创建方法 • 需保证同一列中各元素字符串有相 同的长度。 例：A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]'] A = [ a, 2*b] [3*a, 0]

22.  符号矩阵的修改 a.直接修改 可用、 键找到所要修改的矩阵，直接修改 b.指令修改 • 用A1=subs(A, 'new', 'old')来修改

23. 例如：A =[ a, 2*b] [3*a, 0] A(2,2)='4*b' A1 = [ a, 2*b] [3*a, 4*b] A2=subs(A1, 'c', 'b') A2 =[ a, 2*c] [3*a, 4*c]

24.  符号矩阵与数值矩阵的转换 • 将数值矩阵转化为符号矩阵 函数调用格式：sym(A) clear A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5] A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]

25. 将符号矩阵转化为数值矩阵 函数调用格式： numeric(A)??? A = [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5] numeric(A) ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000

26. 二、符号运算 由于Matlab7.0采用了重载技术，使得符号计算表达式的运算符和基本函数，无论在形状、名称上，还是在使用方法上，都与数值计算中的运算符和基本函数几乎完全相同。这无疑给用户带来了极大的方便。 例外：在符号对象的比较中，没有”大于”、 ”大于等于”、 ”小于”、 ”小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。

27. 1.符号矩阵运算 数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ；A=2*a^2+3*a-5等。 符号运算中，很多方面在形式上同数值计算都是相同的，没必要重新学习新的规则。

28. 2. 任意精度的数学运算 在symbolic中有三种不同的算术运算： • 数值类型 matlab的浮点算术运算 • 有理数类型 maple的精确符号运算 • vpa类型 maple的任意精度算术 运算

29. 浮点算术运算 format long －－(定义输出格式) 1/2+1/3 ans = 0.83333333333333 • 符号运算 sym(1/2)+(1/3) 或sym(1/2+1/3) ans = 5/6 －－精确解

30. 任意精度算术运算 digits(n) —— 设置近似解的精读为n位有效数字，默认32位有效数字。 vpa(x,n) —— 求符号解的近似解，该近似解的有效位数由n来决定。 digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333

31. vpa(5/6,40) ans = .8333333333333333333333333333333333333333 a=sym('[1/4,exp(1);log(3),3/7]') a = [ 1/4,exp(1)] [log(3), 3/7] vpa(a,10) ans = [.2500000000, 2.718281828] [1.098612289, .4285714286]

32. 3.符号表达式的化简 • 可以对符号计算结果进行简化，诸如因式分解、同类项合并、符号表达式的展开、符号表达式的化简和通分等等。 • 合并同类项 collect(v) ----将表达式v的相同次幂的项合并。 例：syms x t % 定义基本变量 f=(x-1)*(x-2)*(x-3) ％定义符号表达式 collect(f) ％合并f中x的同类项

33. expand(s) 将s中的各项进行展开，用于多项式，三角函数、指数函数、对数函数。 例：syms x y; f=(x+y)^3; f1=expand(f) f1 = x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3 例：h=cos(x-y) expand(h)

34. factor(S) 将系数为有理数的多项式(矩阵)S，表示成低阶多项式相乘的形式，如果不能分解，则返回S本身。 例：syms x y factor(x^3-y^3) • simplify( ) 该函数是一个强有力的具有普遍意义的工具，它利用Maple化简规则对表达式进行简化。 例：S=sym('[(x^2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16)]') simplify(S)

35. simple( ) 用几种不同的算术简化规则对符号表达式进行简化，使其用最少的字符来表示。 • 虽然并非表达式中的字符越少，表达式就越简单，但采用这个标准往往能够得到满意的结果，尤其是对于包含三角函数的表达式。 例：sym x simple(cos(x)^2+sin(x)^2) • 从结果看出，simple比较这些不同函数的结果，最终把最少字符作为标准。

36. 4. 符号微积分与积分变换 • diff(f) — 对缺省变量求f的微分 • diff(f,v) — 对指定变量v求微分 • diff(f,n) — 对默认变量求n阶微分 • diff(f,v,n) —对指定变量v求f的n阶微分 例：syms a x f=sin(a*x) df=diff(f) dfa=diff(f,a,2)

37. 符号表达式的极限 • limit(F,x,a) 求当x→a时，表达式F的极限 • limit(F, a) 默认自变量时，趋于a的极限 • limit(F) 默认自变量，默认a=0 • limit(F,x,a, 'left') 取F的左极限 • limit(F,x,a, 'right') 取F的右极限 例：syms h n x dc=limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %按照导数的定义求sin的导数

38. 注意：对于极限不存在，返回NaN 例： limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0, 'left') limit(1/x,x,0, 'right') 结果分别为： • ans = NaN • ans = -Inf • ans = Inf

39. 符号表达式的积分 • int(f) — 对f表达式的缺省变量求不定积分 • int(f,v) — 对f表达式的v变量求不定积分 • int(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在（a,b) 区间求定积分 findsym(f) —可以找出f中的每个变量 注意：当函数的积分不存在时，Matlab7.0将简单地返回原来的积分表达式。

40. int（'被积表达式'，'积分变量'，'积分上限'，'积分下限'）—— 定积分 例：int(-2*x/(1+x^2)^2) ans = 1/(1+x^2) int(log(x)) int(log10(x)) int(sin(x),x,-pi,pi) ——缺省时为不定积分

41. taylor(f,n,v) —— n阶泰勒级数展开 例：syms x f=1/(2+cos(x)) r=taylor(f,8) • symsum(f,v,a,b) —表达式f中变量 v从a变到b时的有限和 例：syms x k s1=symsum(1/k^2,1,inf) s2=symsum(x^k,k,0,inf) 上述都是求无穷级数的和

42. 符号积分变换 • ztrans(f) —— Z变换 • Invztrans(f) —— 反Z变换 • Laplace(f) —— 拉氏变换 • Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 • fourier(f) —— 付氏变换 • Invfourier(f) —— 反付氏变换 注意 ：上述函数均缺省了部分参数

43. 例1.计算二重不定积分 符号积分的例子 F=int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y') 例2.计算 f='x*exp(-x*10)'的Z变换 F=ztrans(f) F= z*exp(-10)/(z-exp(-10))^2

44. >> syms x y >> F=int(int(x*exp(-x*y),x),y) F = 1/y*exp(-x*y) >> syms x >> f=x*exp(-x*10); >> F=ztrans(f) >> F=ztrans(x*exp(-x*10); F = z*exp(-10)/(z-exp(-10))^2

45. eAt = 例3. 计算指数函数eAt。 用拉氏反变换法计算eAt的公式为： eAt = L-1[(SI-A)-1] 系统矩阵A= 结果：

46. >> a=[0 1;-2 -3]; >> syms s >> b=(s*eye(2)-a) b = [ s, -1] [ 2, s+3] >> B=inv(b) [ (s+3)/(s^2+3*s+2), 1/(s^2+3*s+2)] [ -2/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)]

47. >>b11=ilaplace(sym(b,1,1));b(1,1)=b11; >> b12=ilaplace(sym(b,1,2));b(1,2)=b12; >> b21=ilaplace(sym(b,2,1));b(2,1)=b21; >> b22=ilaplace(sym(b,2,2));b(2,2)=b22; >> b b = [ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t)] [ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)]

48. Matlab符号运算能够解一般的线性方程、非线性方程、超越方程。当方程组不存在符号解时，又无其他自由参数，则给出数值解。 命令格式： solve(f,v) —— 求一个方程f=0的解 Solve(f1,f2, …fn) —— 求n个方程的解 5.符号代数方程求解

49. 例1. f = ax2+bx+c 求解 f='a*x^2+b*x+c'; • solve(f) —— 对缺省变量x求解 ans = [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] 计算机 格式 一般格式

50. solve(f , 'b' ) —— 对指定变量b求解 • ' '加与不加效果一样 例2. 符号方程cos(x)=sin(x) tan(2*x)=sin(x)求解 f1=solve('cos(x)=sin(x)'), f1 = 1/4*pi f2=solve('tan(2*x)=sin(x)')