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[ 선형대수 : Matlab ] Ch ap 11: Symbolic Mathematics

최 윤 정. [ 선형대수 : Matlab ] Ch ap 11: Symbolic Mathematics. 학습내용. Symbolic variable 만들어 사용하기 Factor( 인수분해 ) and simplify mathematical expression Solve symbolic expression / System. Determine the symbolic derivative of an expression Integrate an expression symbolically. Matlab 의 기호연산 능력.

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[ 선형대수 : Matlab ] Ch ap 11: Symbolic Mathematics

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Presentation Transcript

  1. 최 윤 정 [선형대수:Matlab]Chap11: Symbolic Mathematics

  2. 학습내용 • Symbolic variable 만들어 사용하기 • Factor(인수분해) and simplify mathematical expression • Solve symbolic expression / System. • Determine the symbolic derivative of an expression • Integrate an expression symbolically

  3. Matlab의 기호연산 능력 • Maple 8 • 수학용 프로그램 중 하나. • 복잡한 수식의 단순화 및 풀이 • 수식의 미적분 및 그래프 표현이 용이 • 현재 버전은 Maple 8 • Matlab 7에는 Maple 5가 적용됨. • Symbolic Manipulation • 전문가버전에서는옵션 • 학생용 버전에는 일부 포함. • 일부 예제프로그램이 실행되지 않을 수 있어요. • Manipulate symbolic expressions to • Simplify • Solve symbolically • Evaluate numerically(대입 후 계산) • Take derivatives • Integrate • Perform linear algebraic manipulations • More advanced features include • LaPlace transforms • Fourier transforms • Variable precision arithmetic MATLAB for Engineers

  4. 11.1 기호연산 • 수학, 공학, 과학 수업시간에 기호를 사용하여 수학적인 계산을 하는 것은 매우 일상적인 일 • 계산하기 전에, 수식을 간단하게 정리하는 것이 좋다. MATLAB for Engineers

  5. 하지만,! 수식을 간단하게 하는 과정에서 원래 수식이 가진 정보의 일부를 잃을 수도 있다.! MATLAB for Engineers

  6. Matlab의 기호연산기능 • 수식의 단순화와 함께 수식의 분자와 분모를 따로따로 처리할 수 있다. Matlab에서는 매우 쉬운 일 MATLAB for Engineers

  7. Symbolic Variables 만들기 • Two approaches • Use the sym command to create • Single variable(한 개) • Expression(기호수식) • Equation(기호 방정식) • Use the syms command to create • Single variables(여러 개) • 만들어진 기호변수를 이용하여 수식이나 방정식을 만든다. MATLAB for Engineers

  8. 기호변수만들기 • Define x as a symbolic variable • x=sym('x') or • syms x • Use x to create a more complicated expression • y = 2*(x+3)^2/(x^2+6*x+9) MATLAB for Engineers

  9. 기호수학 함수 미리 알아보기 MATLAB for Engineers

  10. Syms 명령 : 여러 개의기호변수 한꺼번에 정의 • syms Q R T D0 • 앞서 만든 기호변수를 수식으로 만든 다음 다시 기호변수로 만들 수 있다. • D=D0*exp(-Q/(R*T)) Notice : 기호연산에서는 배열연산자(.*, ./ and .^) 대신에 표준연산자(*,/,^)를 사용한다. MATLAB for Engineers

  11. Sym 명령 : 기호수식 만들기 • E=sym('m*c^2') • 기호변수 E를 만드는 과정에서 m과 c를 정의하지 않았으므로 E는 m과 c는문자열로 취급된다. • 작업공간에 저장되지 않는다. MATLAB for Engineers

  12. This is an algebraic equation This is an assignment statement 방정식과 수식 • 어떤 방정식을 만들고 그 방정식에 이름을 붙인다. • ideal_gas_law=sym('P*V=n*R*Temp') MATLAB for Engineers

  13. 방정식과 수식 처리하기 • 방정식 : 수식을 어떤 수나 다른 수식과 같게 놓은 형태의 식 • 수식 : 단지 여러가지수학연산자로 구성된 식 • = 를이용하여 수식과 방정식에 이름을 할당할 수 있다. MATLAB for Engineers

  14. MATLAB for Engineers

  15. Working with Equation & Expression • 기호연산에 사용되는 대부분의 함수는 수식과 방정식 모두에 적용됨 • 수식과 방정식에 모두 적용되지 않는 함수도 있다. • 처리함수의 예 MATLAB for Engineers

  16. 수식과 방정식 처리함수 MATLAB for Engineers

  17. 분리된 변수를 사용해서 다시 원래의 수식을 만들거나 또 다른 수식을 만든다. Numden: 분자와분모 분리하기 • 분자(numerator) & 분모(denomicator) MATLAB for Engineers

  18. Expanding, factoring and collecting terms • 수식과 방정식에 모두 사용가능한 함수 • expand • factor • collect • When used with equations, each side is treated separately MATLAB for Engineers

  19. numis an expression w is an equation w is an equation MATLAB for Engineers

  20. The factor function 을 수식인, den에사용 The factor function 방정식 w에 사용 The collect function is similar, 같은 종류의 항끼리 모은다. MATLAB for Engineers

  21. Simplifying • Expand, factor, collect 함수는 • 수식을 간단하게 하는데 적용한다. • 어떤 함수가 수식을 가장 간단하게 만들지 늘 확실히 알 수있는 것은 아니다. • simplify함수는 메이플에 내장된 단순화 규칙을 이용하여 수식이나 방정식을 간단히 한다. MATLAB for Engineers

  22. simplify used on an expression simplify used on an equation MATLAB for Engineers

  23. Simple 함수 • Simple 함수는 simplify함수와 다르다.! • Simple함수는 여러가지 단순화 방법을 시도하여 나오는 결과중 가장 짧은 것을 최종결과로 출력한다. • Poly2Sym함수 • Sym2poly 함수 MATLAB for Engineers

  24. All of the possibilities evaluated are reported, however there is only one actual answer Both simple and simplify work on expressions and equations MATLAB for Engineers

  25. Hint • Poly2Sym함수 : 기호다항식 생성 • Sym2poly 함수: 다항식에서 계수값만으로된 벡터 생성 MATLAB for Engineers

  26. 11.2 수식과방정식 풀기 • Solve 함수 • 수식의 해(그 수식을 0으로 만드는 값)를 구할 수 있다. • 방정식의 해/ 연립방정식을 풀 수 있다. MATLAB for Engineers

  27. MATLAB for Engineers

  28. Solve 함수 내에서 수식이나 방정식을 만들어 해를 구할 수도 있다. x를 기호변수로 만들었다면 수식을 따옴표로 묶지 않아도 된다. MATLAB for Engineers

  29. Solve함수는 숫자는 물론 문자로도 해를 구한다. 변수를 지정하여 해당변수에 대한 해를 구하도록 했다. ’a’ 수식에 들어가는 기호들은 기호변후로 저장하면 solve함수에 수식을 입력할 때 따옴표로 묶어줄 필요가 없다. MATLAB for Engineers

  30. Solve 사용 예 MATLAB for Engineers

  31. Solve 사용 예 MATLAB for Engineers

  32. Solve : 연립방정식에 사용하는 예 • 여러가지 방법으로 풀 수 있다. This result is a structure array. MATLAB for Engineers

  33. Specify the field name inside the structure array to retrieve the values for x, y, and z There are several different approaches to find the actual values of x, y, and z MATLAB for Engineers

  34. Assign individual variable names. Notice that x, y and z are symbolic variables MATLAB for Engineers

  35. Example 11.1 기호수학 응용 • 확산 방정식 • D = D0*exp(-Q/RT) • Solve for Q MATLAB Solution MATLAB for Engineers

  36. MATLAB for Engineers

  37. Substitution(대입하기) Subs 함수 : 순서대로 수식, 원래변수, 대입할 변수의 순으로 사용한다. 수식E4속의 변수 x에 3을 대입한다. MATLAB for Engineers

  38. 여러 개의 변수에 값을 대입하고 싶으면 { } 안에나열한다. MATLAB for Engineers

  39. Example 7.2 포탄궤도문제 • 포탄이 날아간 거리를 계산하는 방정식을 유도하자. • 5장에서 그렸던 포탄이 날아간 거리와 구분할 것. 유도된수식이 다르죠? • 거리 : 여러가지 방향으로 움직인 거리(부딫힌다는제약없음) • 변위 : 한 방향으로 움직인 최단 거리 • 속력 : 단위시간동안 이동한 거리, 거리/시간 • 속도 : 단위시간동안 움직인 변위, 변위/시간 MATLAB for Engineers

  40. MATLAB for Engineers

  41. Matlab코드와 결과 MATLAB for Engineers

  42. MATLAB for Engineers

  43. 11.3 기호수식 그래프 • ezplot() MATLAB for Engineers

  44. MATLAB for Engineers

  45. 그래프의 제목과 축이름이 자동적으로 만들어진다. 일반그래프함수와 가은 방법으로 제목, 축이름을 만들 수 있다. MATLAB for Engineers

  46. Explot():음함수, 매개방정식 그래프 MATLAB for Engineers

  47. 여러가지 그래프 명령 MATLAB for Engineers

  48. Peaks()함수를 기호함수로 만들어 그래프 그리기 MATLAB for Engineers

  49. MATLAB for Engineers

  50. MATLAB for Engineers

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