1 / 14

Matematinė analizė ir tiesinė algebra

Matematinė analizė ir tiesinė algebra. 12-13 paskaitos. Determinanto sąvoka. Kiekvienai kvadratiniai matricai apibrėžiamas skaičius, kuris vadinamas determinantu ir žymimas | A |, det A arba Δ .

zuri
Download Presentation

Matematinė analizė ir tiesinė algebra

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 12-13 paskaitos.

  2. Determinanto sąvoka • Kiekvienai kvadratiniai matricai apibrėžiamas skaičius, kuris vadinamas determinantu ir žymimas |A|, det A arba Δ. • Pažymėkime (j1; j2; ... ; jn) skaičių 1, 2, ... , n surašytų bet kuria tvarka, rinkinį. Sakoma, kad skaičiai jk ir jlrinkinyje (j1; j2; ... ; jk; ... ; jl ; ... ; jn) sudaro inversiją (netvarką), jeigu jk > jl. • Rinkinio (j1; j2; ... ; jn) inversijų skaičius žymimas I(j1, j2, ... , jn).

  3. Determinanto apibrėžimas Matricos A determinantas apibrėžiamas pagal tokia taisyklę: • Iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio imama po vieną matricos elementą ir jie sudauginami. Sudaromos visos galimos sandaugos indeksai j1, j2, ... , jnyrapasirinktų stulpelių numeriai – visi skirtingi). • Kiekviena sandauga padauginama iš skaičiaus čia I(j1, j2, ... , jn) – sandaugą sudarančių matricos elementų antrųjų indeksų rinkinio (j1; j2; ... ; jn) inversijų skaičius. • Visi gautieji skaičiai sudedami. Ši suma vadinama matricos Adeterminantu, o patys skaičiai – determinanto nariais.

  4. Pirmosios, antrosios ir trečiosios eilės determinantai • Kai A=(a11), tai det A=a11. • Antrosios eilės kvadratinės matricos determinantas: • Trečiosios eilės kvadratinės matricos determinantas:

  5. Adjunkto sąvoka Pasirinkime bet kurį n-osios eilės kvadratinės matricos A elementą aij, išbraukime i-ąją eilutę ir j-ąjį stulpelį, o iš likusių elementų sudarykime (n-1)-osios eilės kvadratinę matricą Šios matricos determinantas (žymima Mij) vadinamas matricos A elemento aijminoru. Kvadratinės matricos A elemento aijadjunktas(žymima Aij) yra skaičius, gaunamas pagal formulę

  6. Determinantų skaičiavimas • Kvadratinės matricos A determinantas lygus bet kurios eilutės (bet kurio stulpelio) elementų ir jų adjunktų sandaugų sumai: čia i=1,2, ... , n. čia j=1,2, ... , n. • 1 išvada. Trikampės matricos determinantas lygus įstrižainės elementų sandaugai. • 2 išvada. Vienetinės matricos determinantas lygus 1.

  7. Determinantų savybės • Bet kurios kvadratinės matricos determinantas lygus transponuotos matricos determinantui: det A = det AT. • Sukeitusbet kurias dvi determinanto eilutes vietomis, gaunamas determinantas, priešingas pradiniam. • Jei kvadratinė matrica turi dvi vienodas eilutes (du vienodus stulpelius), tai jos determinantas lygus nuliui. • Jei kvadratinė matricos kurios nors eilutės (stulpelio) visi elementai turi tą patį daugiklį, tai jį galima iškelti prieš determinanto ženklą. • Jei determinanto kurios nors eilutės (stulpelio) visi elementai lygus nuliui, tai determinantas lygus nuliui. • Determinantas, kurio dvi eilutės (stulpeliai) yra proporcingos, lygus nuliui. • Bet kurią determinanto eilutę (stulpelį) padauginus iš skaičiaus ir pridėjus prie kitos eilutės (stulpelio), determinanto reikšmė nekinta.

  8. Kramerio taisyklė • Tarkime, kvadratinės tiesinių lygčių sistemos koeficientų matricos determinantas det A nelygus nuliui. Jo reikšmę pažymėkime

  9. Kramerio taisyklė • Δ determinanto stulpelius paeiliui keiskime sistemos laisvųjų narių stulpeliu b=(b1; b2; ... ; bn)T ir apskaičiuokime tokius determinantus: • Skaičių rinkinys yra kvadratinės tiesinių lygčių sistemos sprendinys. • Šio sprendinio komponenčių xi , i=1,2, ... , n, skaičiavimo formulės vadinamos Kramerio formulėmis, o toks tiesinių lygčių sprendimo būdas – Kramerio taisykle.

  10. Atvirkštinė matrica Matrica B vadinama matricos Aatvirkštinę, jeigu Matricos A atvirkštinė matrica žymime A-1. Tik kvadratinė matrica A gali turėti atvirkštinę matricą A-1. Kvadratinė matrica turi atvirkštinę tada ir tik tada, kai jos determinantas nelygus nuliui.

  11. Atvirkštinės matricos skaičiavimas • Jeigu matricos determinantas Δ nelygus nuliui, tai yrajos atvirkštinė matrica; čia Aij – matricos A elementų aij adjunktai.

  12. Atvirkštinės matricos metodas tiesinių lygčių sistemai spręsti • Remiantis matricų daugyba, bet kurią tiesinių lygčių sistemą galima užrašyti matricine lygtimi Ax=b; čia

  13. Atvirkštinės matricos metodas tiesinių lygčių sistemai spręsti • Kai tiesinių lygčių sistema yra kvadratinė (m=n), tai ir jos matrica yra kvadratinė. Tada, jeigu det A ≠ 0, egzistuoja A-1 , ir Ax = b A-1Ax = A-1b Ex = A-1b x = A-1b

  14. Determinantų savybės • Jei A ir B yra nxn matmenų matricos, a – skaičius, tai

More Related