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利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ；

利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ； (2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．. 图 1. 又 A 1 A 綊 B 1 B ，所以 A 1 A 綊 C 1 D ，所以 A 1 ADC 1 是平行四边形， 所以 A 1 C 1 ∥ AD ，所以 AD ∥ 平面 A 1 C 1 C ， 同理， B 1 D ∥ 平面 A 1 C 1 C ；

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利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ；

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Presentation Transcript

  1. 利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： • (1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； • (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

  2. 图1

  3. 又A1A綊B1B，所以A1A綊C1D，所以A1ADC1是平行四边形，又A1A綊B1B，所以A1A綊C1D，所以A1ADC1是平行四边形， • 所以A1C1∥AD，所以AD∥平面A1C1C， • 同理，B1D∥平面A1C1C； • 又因为B1D∩AD＝D，所以平面ADB1∥平面A1C1C， • 所以AB1∥平面A1C1C. • (3)由(1)知AB⊥平面AA1C，又二面角A1—AB—C是直二面角，

  4. 【反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误．【反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误． • 2．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．

  5. 【解】(1)证明　∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE， • ∴AE⊥CD. • 在正方形ABCD中，CD⊥AD， 图2

  6. ∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. • ∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE. • (2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连接EO， • ∵EA＝ED，∴EO⊥AD， • ∴EO⊥平面ABCD， • 建立如图所示的空间直角坐 • 标系，设AB＝2， • 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，设M(x，y，z)，

  7. 利用空间向量法求二面角的方法： • (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． • (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．

  8. 【规范解答】取BC的中点E，AD的中点P，连接PE. • 在△SAD中，SA＝SD＝a，P为AD的中点，所以SP⊥AD. • 又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD， • 所以，SP⊥平面ABCD.显然有PE⊥AD. • 如图，以P为坐标原点，PA • 为x轴，PE为y轴，PS为z轴建 • 立空间直角坐标系，

  9. 【反思启迪】1.当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快．【反思启迪】1.当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快． • 2．用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的．

  10. 【解】(1)证明　∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD，【解】(1)证明　∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD， • ∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又DE⊂平面SAD，∴DE⊥AB.

  11. ∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA， • ∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB， • ∵DE⊂平面BED， • ∴平面BED⊥平面SAB. • (2)由题意知SD，AD，DC两两 • 垂直，以DA、DC、DS所在的 • 直线分别为x轴、y轴、z轴建立 • 如图所示的空间直角坐标系 • D—xyz，不妨设AD＝2，则

  12. (2013·深圳模拟)如图5， • 棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有 • 棱长都等于2，∠ABC和 • ∠A1AC均为60°，平面 • AA1C1C⊥平面ABCD. • (1)求证：BD⊥AA1； • (2)求二面角D—AA1—C的余弦值； • (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

  13. 【规范解答】设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，【规范解答】设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， • ∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3， • ∴AO2＋A1O2＝AA， • ∴A1O⊥AO. • 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， • ∴A1O⊥平面ABCD.

  14. 【反思启迪】利用空间向量解决探索性问题，可将所求问题转化为方程(组)是否有解的问题，可通过解方程(组)来判断是否有解．【反思启迪】利用空间向量解决探索性问题，可将所求问题转化为方程(组)是否有解的问题，可通过解方程(组)来判断是否有解．

  15. 又DC与EC相交于C， • ∴EF⊥平面DCE.

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