MÉTRICA

1. Y yB ds yA xA xB X MÉTRICA Distância entre dois pontos numa superfície Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas cartesianas ds2=dx2+dy2 dx=xB-xA dy=yB-yA Nota: ds é um invariante independe do sistema de coordenadas

2. Fazendo uma transformação de coordenadas: (x,y)  (x1,x2) x e y = combinações de x1 e x2 x = x(x1,x2) y = y(x1,x2) Uma mudança dx em x resulta em mudanças dx1 e dx2 : ( o mesmo para y ) ds2=dx2+dy2

3. Escrevendo a equação de forma mais compactada : distância entre 2 pontos próximos sobre uma superfície tensor métrico representação da distância em  coordenadas

4. r  EXEMPLOS: Métrica euclidiana matriz unidade ds2=dx2+dy2 Coordenadas polares no plano (x,y)  (r,) x = r cos y = r sin Calculando os gr ……  métrica euclidiana em coordenadas polares ds2=dr2+r2d2

5. x1 x2 Determinação de K através da métrica Seja x1 e x2 um sistema de coordenadas arbitrário sobre uma superfície  distância entre dois pontos vizinhos : Pode-se demonstrar que, com uma mudança de coordenadas conveniente, o tensor métrico pode ser representado por uma matriz diagonal

6. Define-se então a métrica ortogonal : ds2=g11(x1,x2)dx12+g22(x1,x2)dx22 TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS Demonstrou que se pode derivar a K de uma superfície arbitrária somente conhecendo a forma que os coeficientes da métrica variam de um ponto a outro, não importando o valor absoluto destes coeficientes com o sistema de coordenadas escolhido Conhecendo-se a métrica ortogonal de uma superfície determina-se a sua curvatura. • K é um invariante • que seja o sistema de coordenadas K tem o mesmo valor num dado ponto numa superfície

7. Z R y x EXEMPLOS: Plano ds2=dx2+dy2 K = 0 Cilindro Coordenadas cilíndricas: x = R cos (pontos na superfície) y = R sin z = z nota: z=x e R=y ds2=dx2+dy2 ds2=dz2+R2d2 Usando gauss  K = 0 métrica euclidiana!!!

8. Z  Y R  X Esfera x = R sin cos y = R sin sin z = R cos ds2=R2 d2+R2 sin2 d2 Usando o teorema de gauss: K = 1/R2 Não há nenhuma transformação de coordenadas que leve a sua métrica a uma do tipo euclidiana esfera intrinsecamente curva

9.   R Determinação de perímetros e áreas de círculos geodésicos desenhados sobre uma superfície usando a métrica Círculo sobre uma superfície plana elemento de arco Métrica: ds2=dr2+r2d2 (coordenadas polares) • elemento de arco (r=R fixo)  ds=R d  C=∫ds =2R Se a métrica for ortogonal (g12=g21=0), o elemento de área sobre uma superfície é dado por: • então dA=rdrd  A = ∫dA = = R2

10. r a  R  Círculo de raio r sobre uma superfície esférica r = raio próprio do círculo Métrica: ds2=R2d2+R2sin2d2 • perímetro do círculo de raio r fixo  d=0 : •  ds = R sin d C=∫ds=2Rsin=2Rsin(r/R) arco: r=R • área do círculo : A=2R2(1-cosr/R)