Modelação Matemática

1. Rosa Mendonça Padre Eterno Departamento de Educação Modelação Matemática

2. Problema Lesh (1981) Os processos que estão na base da resolução de problemas de matemática aplicados são a modelação matemática e a representação matemática. Estamos face a um problema real quando consideramos uma situação do dia-a-dia, com a qual um individuo se depara e que precisa de resolver utilizando conhecimentos matemáticos. As questões de formulação não são facilmente identificáveis e a informação é tão vasta, que é difícil distinguir o essencial do acessório. Estes problemas admitem mais do que uma solução. Conceitos estruturantes :do problema ao modelo Swetz (1996) “um bom problema” a ser realizado na aula de Matemática é aquele cuja resolução requer a aplicação de conceitos matemáticos, dê ênfase à interpretação, desperte e prenda a atenção do aluno. Origine outros problemas, estimulando a discussão na aula.

3. Modelo real da situação inicial Blum e Niss (1989) • Resolução de problemas Matematização processo de tradução do modelo real em termos matemáticos Quando um individuo procura encontrar uma solução satisfatória para um problema entra num processo de resolução de problemas. Para os problemas reais a 1ª etapa consiste na simplificação da situação através de um enunciado claro. Modelação processo que tem origem numa situação real até à sua tradução em termos de um modelo matemático Conceitos estruturantes :do problema ao modelo

4. Modelo Edwards e Hamson (1990) Um modelo é uma forma simplificada de representar determinados aspectos de um sistema real. Representatividade de um modelo matemático Swetz (1992) “Quando os princípios do modelo teórico têm uma base matemática, diz-se que se criou um modelo matemático” (p. 45) Conceitos estruturantes :do problema ao modelo Lesh (1990) Fala num factor inerente à construção de um modelo matemático – a criação de simplificações da situação que se pretende descrever. A mesma situação pode ser modelada de formas distintas dependendo do individuo que interpreta a situação e posteriormente cria o modelo.

5. Processo de Modelação Matemática A aplicação da Matemática ao mundo real tem sido uma preocupação desde os anos 80 (Ponte, Matos e Abrantes, 1998) e o aparecimento das calculadoras e dos computadores veio impulsionar uma nova abordagem didáctica sob a terminologia de Modelação Matemática. ciclo de modelação O processo de modelação matemática tem origem num fenómeno real, segundo o qual é construído um modelo matemático. Conceitos estruturantes :modelação matemática Sequencia de etapas bem definidas que se podem repetir ciclicamente até à obtenção de um modelo “ajustado” à situação real.

6. Contexto • O processo de modelação desenvolvido pelos alunos está relacionado com o contexto no qual a modelação se desenvolve. • A aquisição de qualquer conhecimento por parte de um individuo não pode ser desligada de um contexto e a sua prática é condicionada situacionalmente. Lave (1988) • Os alunos, o professor, o computador, as actividades propostas e a própria disciplina é que determinam o contexto na sala de aula • Os alunos categorizam diferentes tipos de procedimentos a adoptar numa aula de matemática e noutras disciplinas • A utilização das ferramentas computacionais influencia fortemente o contexto da aula de Matemática e encoraja o professor a alterar o tipo de práticas. Conceitos estruturantes :o papel do contexto

7. Objectivo Estudo descritivo realizado em estudantes universitários de carreiras não-matemáticas que aplicam modelos lineares do tipo y=ax+b a contextos não lineares. • Estudar e documentar o uso de modelos lineares a contextos não-lineares por parte dos alunos, com base nas suas produções escritas. • Interpretar a origem e persistência do seu uso. • Fazer propostas para contornar esta questão. Investigação :Problema

8. Referências teóricas De Bock, Verschaffel e Janssens (1998) Referem que, para os estudantes, o modelo linear tem uma aplicação universal e que o seu uso não implica necessariamente que os estudantes estejam conscientes de tal. De Bock, Von Doorem, Verschaffel e Janssens (2001) Têm realizado estudos em alunos do secundário (12 a 16 anos) onde a propensão a sobre generalizar o emprego de modelos lineares a contextos não lineares é uma constante, considerando o erro como ignorância dos estudantes Investigação :Quadro teórico Skovsmose (2000) Ao definir paradigma do exercício enquadra a estrutura de trabalho usada – aulas teóricas e práticas onde os conteúdos a serem ensinados e aprendidos são para resolver os exercícios formulados Karrer e Magina Verificaram a tendência para a utilização do pensamento linear em estudos realizados onde o foco não era “ilusão da linearidade”

9. Metodologia Estudo descritivo onde foram analisados os tipos de problemas que os estudantes universitários resolvem por aplicação de modelos lineares. Análise de como é que os estudantes formulam esses problemas, do texto de ensino utilizado, dos ambientes de aprendizagem gerados e das produções escritas dos próprios estudantes Estudo realizado em 300 estudantes de Matemática da Faculdade de Ciências Agropecuárias (FCA) da Universidade Nacional de Córdoba (UNC-Argentina) e 53 estudantes de Matemática I de Agronomia da Universidade da Frontera (UFRO-Temuco-Chile) durante o ano de 2001. Investigação :Metodologia Os exercícios foram escolhidos especificamente para este estudo e resolvidos por grupos de estudantes No estudo não se partiram de hipóteses previamente estabelecidas (processo de análise do tipo indutivo/construtivo), geraram-se categorias e conjecturas a partir dos dados recolhidos.

10. Resultados As aulas da Matemática seguem o modelo clássico (exposição-exemplos-exercicios) Alagia (1994) Curso dividido em aulas teóricas e práticas Alagia (1999) Aulas teóricas – para 400 alunos (divididos em 2 grupos) O professor apresenta os conceitos centrais e algumas técnicas e exemplos de aplicação das mesmas Conteúdos Funções, estudo de funções particulares: função linear, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas. Processo De um modo geral introduz-se o estudo de cada uma das funções através de um exemplo de aplicação e na construção dos gráficos usa-se uma tabela, como recurso auxiliar com alguns valores particulares. Investigação :Resultados e análise

11. Resultados No caso da função linear o exemplo escolhido é o modelo y=ax. Posteriormente estende-se à sua forma geral y=ax+b. Não se estabelecem relações com o esquema de regra de três simples (já aprendido no 1º Ciclo). No fim é analisado o significado dos parâmetros a e b da função No texto de ensino são introduzidos problemas de aplicação das Ciências Agropecuárias como meio para motivar, mas retoma-se de seguida ao calculo algébrico Nas aulas práticas os estudantes resolvem individualmente ou em grupo os exercícios e problemas. Investigação :Resultados e análise 2 tipos de problemas escolhidos para o estudo: • Problemas em que o modelo não-linear é explicitado através de uma expressão algébrica • Problemas que representam uma situação não-linear, em que a expressão algébrica que a descreve não se apresenta de forma explicita.

12. Problemas do Tipo I • 10% dos alunos realizaram extensões de modelos lineares (2001) Conjectura: ordem dos itens pode influênciar a estratégia de resolução • 2,3% dos alunos realizaram extensões de modelos lineares (2002) com problemas similares mas com inversão da ordem dos itens. Problemas do Tipo II • 50% dos alunos realizaram extensões de modelos lineares Conjectura: clareza dos enunciados pode influenciar a interpretação • Em 2002 trabalharam com 85 estudantes • 42 resolveram o problema 4 (enunciado original) – 61,9% • 43 resolveram o problema 4 (enunciado modificado) – 46,5% Investigação :Resultados e análise Análise dos contextos dos problemas • Peso de um insecto • Crescimento na altura de uma árvore O propósito destes problemas não é estudar modelos de crescimento, mas sim de resolver um exercício. O aluno não pode confrontar as suas respostas com a realidade biológica

13. Pela análise das produções escritas dos estudantes é de salientar a ausência parcial ou total de objectos matemáticos e do estabelecimento de relações entre alguns conceitos. Evidenciou-se a presença e persistência da extensão de modelos lineares a contextos não lineares em países diferentes com textos de ensino similares. A proposta pedagógica que contribuiria, segundo estes autores, para superar a sobregeneralização de modelos lineares passa pelas seguintes acções: Investigação :Conclusões • Emprego de tabelas como meio potencial para a análise de funções • Discutir sobre a existência de mundos lineares e não-lineares, analisando semelhanças e diferenças • Estabelecer e analisar relações entre a regra de três simples com as expressões algébricas e os gráficos que representam proporcionalidade directa • Controlar cuidadosamente a selecção e o enunciado de problemas, tendo em atenção a perspectiva do estudante que os resolverá

14. Tal como Skovsmose (2000), os autores deste artigo de investigação, contrapõem o paradigma de exercício a abordagens investigativas que promovam processos de exploração – trabalho com projectos, sendo necessário criar cenários de investigação. “Consideramos que seria desejável, tal como indica Skovsmose (2000) movermo-nos entre diferentes ambientes de aprendizagem tanto dentro de um contexto de exercícios como de cenários para investigação, transitando no terreno das referências à matemática pura até às referências à realidade” Investigação :Conclusões Esta passagem implica mudanças estruturais no currículo e na organização, difíceis de ultrapassar na tradição da educação matemática universitária. Sendo não só necessário criar ambientes de aprendizagem com referências à realidade, mas também, criar espaço de discussão da pertinência dos modelos formulados, contrastando-os com a realidade que se pretende modelar e onde o professor tem um papel importante.

15. A minha experiência “Um problema real do meu dia a dia é o pensamento constante de que os alunos que lecciono limitam-se a armazenar, memorizando, a informação que lhes transmito e de seguida debitam-na nas avaliações escritas. Poderia aqui enumerar várias razões já sobejamente conhecidas e em nada originais tais como o conteúdo programático da disciplina ser excessivo para o tempo disponível, a insatisfação dos alunos porque não conseguem perceber a aplicação real dos conteúdos, a não verificação dos pré-requisitos necessários, etc. O que é certo, é que a transmissão de conteúdos (e a disciplina que lecciono é essencialmente transmissiva) não é provavelmente o método de ensino-aprendizagem mais adequado para os diferentes tipos de alunos”. Reflexão A minha sugestão “A análise da implementação da aprendizagem por problemas da vida real e a reflexão acerca das suas limitações constituí um grande desafio que poderá desencadear uma metodologia mais lógica a aplicar nas disciplinas de Matemática. Com uma reestruturação curricular das disciplinas poderá ser possível obter-se melhores resultados, não só ao nível dos alunos (a curto prazo), mas ao nível do seu desenvolvimento profissional a atingir”.