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Teoria das carteiras

Teoria das carteiras. Risco e Aversão ao Risco Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Risco Carteiras Óptimas com Risco. Risco e aversão ao risco. O processo de investimento consiste em duas tarefas: Segurança e análise de dados do mercado;

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Presentation Transcript

  1. Teoria das carteiras • Risco e Aversão ao Risco • Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Risco • Carteiras Óptimas com Risco

  2. Risco e aversão ao risco • O processo de investimento consiste em duas tarefas: Segurança e análise de dados do mercado; Formação de uma carteira óptima de activos.

  3. Risco e aversão ao risco Lucro € 50 W1 = € 150 p =.6 • E[w] = pw1+(1-p)w2 = € 122,000 • σ2= p[w1-E[w]]2+(1-p)[w2-E[w]] 2 = € 1,176,000,000 • σ = € 34,292,86 Inv. com Risco - € 20 W2 = € 80 1-p =.4 W= € 100 € 5 T-bills Risco Numa Perspectiva Simples Prémio de Risco = € 17

  4. Risco e aversão ao risco • Genéricamente n E[r] =åPr(s)r(s) s=1 REGRA 1 • n • 2= åPr(s)[r(s)-E[r]]2 s=1 REGRA 2

  5. Risco e aversão ao risco Principio da Dominância 4 2 domina 1 ; tem maior retorno Retorno Esperado 2 3 2 domina 3 ; tem maior risco 1 4 domina 3 ; tem maior retorno Variância ou Desvio Padrão

  6. Risco e aversão ao risco Aversão ao Risco e Utility Value E[r] Curva de indiferença U = E[rp]-.005A2 U – Utility value A - Aversão E[rd] sp

  7. Risco da carteira Investir em activos para reduzir o risco da carteira é chamado hedging. Consideremos o problema da Humanex, uma organização sem lucro em que a maior parte do seu rendimento provém do retorno de doações. Anos atrás, os fundadores da Best Candy deram acções da sua empresa à Humanex com a condição de não as poder vender. Este bloco de acções é agora de 50% do dote da Humanex. A Humanex é livre de escolher onde investir o resto de sua carteira.

  8. Risco da carteira O valor das acções da Best Candy é sensível ao preço do açúcar. À anos atrás quando a Caribbean Sugar faliu, o preço do açúcar aumentou significativamente e a Best Candy perdeu perdas consideráveis. A fortuna da Best Candy é descrita pela seguinte análise:

  9. Risco da carteira • Humanex Com vista a reduzir o risco a Humanex investiu a parte restante do seu dote em T-bills, que garantem uma taxa de retorno de 5%. E[rHumanex] = 0.5E[rBest] + 0.5rbills= (0.5*10.5) + (0.5*5) =7.75% Humanex= 0.5Best + 0.5bills = 0.5*18.9 + 0.5*0 = 9.45%

  10. Risco da carteira Sugar Kane E[rSugarKane] = 6% Sugar Kane = 14.73%

  11. Risco da carteira Sally Os números são expressivos. A Carteira Sugar Kane domina a estratégia simples da redução do risco de investir nos seguros T-bills. Este exemplo demostra que as acções que estão inversamente relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco.

  12. Risco da carteira Quantificação do poder de diversificação Cov[rBest,rsugar]=åPr(s)[rBest(s)-E[rBest]] * [rSugar (s)-E[rSugar]] s Cov[rBest,rSugar] r(Best,Sugar Kane) = s Best s Sugar Kane

  13. DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE ACTIVOS COM E SEM RISCO • Investir num activo sem risco é mais seguro • Investir num activo com risco pode implicar um lucro bem mais generoso Então, ONDE INVESTIR ???

  14. Distribuição de capital entre activos com e sem risco TUDO ou NADA ? => Distribuir o capital entre os activos com e sem risco MAS QUAL SERÁ O PESO DO INVESTIMENTO EM CADA ACTIVO ?

  15. Distribuição de capital entre activos com e sem risco Movimentação de Valores 25% 45% Carteiras 55% Activos 75% 40% 45% 55% Carteiras Activos 60%

  16. Activos sem risco Activos sem risco • Obrigações de Tesouro • Certificados do Banco de Depósitos • Papel Comercial

  17. Carteiras de um activo com risco e um activo sem risco Formulário Taxa de retorno da carteira global rC = yrp + (1 – y)rf Valor esperado da taxa de retorno da carteira global E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) Desvio padrão da carteira global sC = ysp

  18. Distribuição de capital entre activos com e sem risco Exemplo Numérico Vamos tomar os seguintes valores: E(rp) = 15 % ; sp = 22 % ; rf = 7 % Temos então que o Risco de Prémio será: RP = 15 % - 7 % = 8 % e y = sC/22 vindo que o valor esperado procurado será: E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) = 7 + (8/22) sC O valor esperado de retorno de uma carteira global, como função do seu desvio padrão, é uma recta cujo declive será: S = (E(rp) – rf) / sp = 8/22

  19. Distribuição de capital entre activos com e sem risco Gráfico de combinações Retorno Esperado/Desvio Padrão E(r) CAL } P S2 15 Prémio de risco S1 rf = 7 s 0 22

  20. Tolerância ao risco e distribuição do activo Tolerância ao risco e distribuição de activos Como já vimos: U = E(r) – 0,005As2 O investidor procura maximizar o nível de utilidade. Temos então que : Max U = E(rC) – 0,005As2C y = rf + y(E(rp) – rf) – 0,005A y2s2p Resolvendo este problema de maximização vem que: E(rp) – rf 0,01As2p y* =

  21. Tolerância ao risco e distribuição do activo Voltando ao exemplo numérico, consideremos um investidor com um grau de aversão 4, isto é, A = 4. Temos então que: y* = (15 – 7) / (0,01*4*222) = 0,41 Vindo, E(rC) = 7 + 0,41*(15 – 7) = 10,28 % e sC = 0,41*22 = 9,02 % O prémio de risco seria: PR = 10,28 – 7 = 3,28 %

  22. Tolerância ao risco e distribuição do activo A = 4 A = 2 Certainty Equivalentdiferente para dois investidores diferentes E(r) P 15 rf = 7 s 0 22

  23. Solução gráfica para uma decisão de carteira Distribuição de capital entre activos com e sem risco E(r) CAL P E(rf) C E(rC) rf s sC sp 0

  24. Estratégias passivas: Recta de mercados de capitais Estratégias Passivas • Uma estratégia activa não é grátis • Benefício livre

  25. Carteiras óptimas com risco

  26. Diversificação e risco de uma carteira Diversificação s s Risco Único Risco do Mercado n n Risco Único Risco de Mercado

  27. Carteira de dois activos com risco Carteiras de dois activos com risco Bonds Acções Retorno esperado 8% 13% Desvio Padrão 12% 20% Covariância 72 Coef. de correlação 0,30 rp = wdrd + were E(rp) = wd E(rd) + we E(re)

  28. Matriz de covariância Carteiras de dois activos com risco Covariâncias Proporção na carteira wd wd wd Cov(rd,re) s2d we Cov(rd,re) s2e s2p= w2es2e+ w2ds2d + 2wewdCov(re,rd) NOTA:Cov(re,re) = s2e ; Cov(rd,rd) = s2d Cov(rd,re) =cov(re,rd)

  29. Influência do coeficiente de correlação Carteiras de dois activos com risco Variância da carteira Desvio Padrão da carteira r= -1 | wese- wdsd | ( wdsd- wese )2 r= 0 w2es2e+ w2ds2d w2es2e+ w2ds2d r= 1 ( wese+ wdsd )2 wese- wdsd Cov(re,rd) =redsesd s2p= w2es2e+ w2ds2d + 2wewd redsesd

  30. Como escolher as proporções do activo de forma a criar uma posição perfeita de hedging ? Carteiras de dois activos com risco r= -1 se se +sd wd = sd sd +se we = = 1 - wd

  31. Retorno esperado em função das proporções dos investimentos Carteiras de dois activos com risco E[r(carteira)] 13% Fundo de Acções 8% Fundo de bonds we 0,0 1,0 2,0 -0,5 wd 1,5 1,0 0,0 -1,0

  32. Relação desvio padrão e proporção dos investimentos Carteiras de dois activos com risco Desvio Padrão da carteira r=-1 r=0 r=0,3 r=1 we -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 wd 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5

  33. No nosso caso Carteiras de dois activos com risco s2e -Cov(re,rd) s2e +s2d -2Cov(re,rd) wMin(D)= 202 – 72 122 + 202 – 2x72 = 0,82 = wMin(E) = 1 - 0,82 =0,18 sMin(P) = [0,822x122 + 0,182x202 + 2x0,82x72]½ = 11,45%

  34. Carteira óptima com dois activos com risco e um activo sem risco Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Considere-se duas carteiras A e B, sendo A a carteira de variância mínima: Acções Bonds Carteira A 18% 82% Carteira A 30% 70% E(rA) = 8,9% sA = 11,45% E(rB) = 9,5% sB = 11,7% Então temos que: Considere-se Treasury-Bills com r = 5%.

  35. Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Relação Retorno/Risco E[r] 13% r=1 r=-1 r=0,3 r=0 8% Desvio Padrão da carteira

  36. Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills E E[r] B 9.5 8.9 A s 11.45 11.7 Os reward-to-variability ratio das CAL’s considerando, as carteiras A e B, respectivamente, e T-bills são: E(rA) – rf sA 8,9 - 5 11,43 SA = = = 0,34 SB > SA 9,5 - 5 11,7 SB = = 0,38

  37. Determinação da CAL tangente Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Resolução do problema: Maximizar Sp E(rp) – rf sp Função objectivo: Sp = Restrição: åwi = 1 No caso de 2 activos com risco, a solução para wd e we é: [E(rd)-rf]s2e – [E(re) – rf]Cov(rd, re) [E(rd) – rf]s2e + [E(re-rf]s2d – [E(rd) – rf + E(re) – rf]Cov(rd, re) wd = vindo, we = 1 - wd

  38. Construção da carteira óptima com risco P Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills (8-5)x400 – (13-5)x72 (8-5)x400 + (13-5)x144 – (8-5+13-5)x72 we = 0,6 =0,4 ; wp = E(r) CAL Opportunity Set P E (acções) E(rp) = 11% rf = 5% D (Bonds) s sp = 14.2%

  39. Como utilizar o nível individual de aversão ao risco ? Por exemplo, para A = 4, vem que: 11-5 0,01x4x14,22 (E(rp) – rf) 0,01As2p = y = = 0,7439 O investidor deverá, então, investir: 74,39% Þcarteira com risco P 25,61% ÞT-Bills ATENÇÃO: carteira com risco P é constituída por 40% de bonds e 60% de acções, logo ywd = 0,4x0,7349 = 0,2976 ywe = 0,6x0,7349 = 0,4463

  40. Determinação gráfica da carteira óptima completa Curva da indiferença CAL E(r) Carteira óptima Completa E (acções) Opportunity Set 11% P C Carteira Óptima com risco D 5% (Bonds) s 14.2 Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

  41. Modelo de selecção de carteiras de Markowitz Retorno esperado da carteira P: Desvio Padrão da carteira P: ( ) ( ) E r w E r n = å i i P i 1 = ( ) w w w Cov r , r n n n s = s + å å å 2 2 j j i i i i P i 1 i 1 j 1 = = = i j ¹ Caso Geral - n estimativas de E(ri) - n estimativas das 2i - n(n-1) estimativas das covariâncias 2

  42. Fronteira de Eficiência E(r) E(r3) E(r2) E(r1) s s s s C A B Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

  43. Distribuição de capitais e propriedades de separação Modelo de selecção de carteiras de Markowitz Introdução do activo sem risco CAL(P) CAL(B) E(r) P CAL(A) F s

  44. Investidor mais tolerante ao risco S Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco E(r) Fronteira eficiente de activos com risco P Q s Investidor mais averso ao risco

  45. Investidores que podem emprestar sem risco, mas que estão proibidos de pedir emprestado Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco E(r) CAL B Q P A rf F s

  46. Investidores que podem pedir emprestado Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco E(r) CAL1 CAL2 Fronteira eficiente P2 rBf P1 A rf Investidores na defensiva F s

  47. Investidores mais agressivos Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco CAL2 E(r) B Fronteira eficiente P2 rBf rf s

  48. Investidores intermédios Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco CAL1 E(r) CAL2 Fronteira eficiente P2 C rBf P1 rf s

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