Teoria das deformações

1. Teoria das deformações Docente: Eng.º Luis Machado Discentes: Bruno Ruaz nº 3672 Duarte Clara nº 4183

2. Introdução • Teoria das Deformações • Teorema de Tissot • Deformação Linear, Azimutal e Areal • Deformação das Projecções Cartográficas • Conclusão

3. Teoria Das Deformações • “ A aplicação de uma superfície de dupla curvatura, como a esfera ou o elipsóide, numa superfície de curvatura simples, como o plano, o cilindro ou o cone, é impossível sem a introdução de deformações que provoquem a alteração métrica da informação representada na superfície objecto (esfera ou elipsóide).”

4. Dada uma projecção cartográfica: f (, ) = (M, P) a um diferencial (d, d) corresponde um elemento linear (ds) sobre a superfície objecto (esfera ou elipsóide), onde E, F e G são os coeficientes Gaussianos da segunda forma quadrática fundamental da superfície objecto, que no caso da esfera são: E = R2 , F = 0 , G = R2cos2 e no caso do elipsóide são: E = RM2 , F = 0 , G = RN2cos2 .

5. Uma vez que as deformações são inevitáveis, é necessário aplicar alguma forma de correcção, quando as medições são transformadas para dimensões no terreno, ou então, elas podem ser ignoradas. • A escolha de qual atitude a tomar depende da dimensão das deformações, tal que possam afectar os resultados e as variáveis usuais. O tamanho da parcela, o comprimento da linha, a exactidão do método de medição e o propósito da medição influenciam a escolha.

6. Teorema de Tissot Tissot mostrou que toda a representação de uma superfície sobre outra pode ser assimilada a uma infinidade de projecções ortogonais, cada qual numa escala conveniente. Em geral, o plano do círculo a projectar estará inclinado em relação ao plano de projecção, pelo que o seu transformado será normalmente uma elipse. Se admitirmos que o circulo a projectar tem um raio unitário, essa elipse é designada por elipse indicatriz, elipse de Tissot ou, no presente texto, por elipse de deformação. Os seus eixos, de comprimento a e b, definem as direcções principais da projecção, ao longo das quais a escala toma o seu valor máximo (sobre o eixo maior) e mínimo (sobre o eixo menor).

7. Deformação Linear, Azimutal e Areal • “Designa-se por módulo de deformação linear da projecção cartográfica no ponto (, ), na direcção definida pelo elemento linear (d, d), o quociente entre os dois comprimentos elementares correspondentes no plano cartográfico (dS) e no elipsóide ou esfera (ds).” Algumas projecções cartográficas, onde o módulo de deformação linear é igual à unidade sobre um ou dois paralelos ou sobre um meridiano, designam-se por paralelos ou meridianos isométricos da projecção.

8. O módulo de deformação areal de uma projecção cartográfica, ou deformação angularao ângulo figurado  entre a tangente e a corda AB, que é a transformação plana de uma linha geodésica que depende da posição do ponto A, do comprimento e do azimute da linha. • A deformação azimutal ou convergência: Quando existe um ponto, geralmente o ponto central, onde a deformação azimutal é nula em todos os azimutes, a projecção diz-se azimutal. Neste caso, o azimute cartográfico do ponto central para qualquer ponto do plano cartográfico é igual ao azimute esférico ou elipsoidal.

9. Deformação das Projecções Cartográficas Todas as projecções cartográficas envolvem deformações, e essas deformações têm manifestações diversas, relacionadas com ao não observar as propriedades inerentes: Ângulos (forma): ângulos iguais medidos em torno de uma posição são representados diferentes, o que resulta da variação da escala com a direcção, isto implica que a forma dos pequenos objectos seja distorcida. Área: áreas iguais em diferentes locais da Terra são, em geral, representadas como diferentes. Distância: as relações de distância entre todos os lugares da Terra nunca são preservadas. Tal obrigaria a que a escala natural da projecção fosse conservada em todos os pontos e segundo todas as direcções, o que é o mesmo que não existirem deformações.

10. Conclusão • é necessário distinguir dois tipos de escala em qualquer projecção cartográfica; • o Teorema de Tissot demonstra que em cada ponto há duas direcções principais ortogonais que são perpendiculares tanto no globo quanto no mapa; • um círculo infinitesimal no globo será representado no mapa por uma elipse infinitesimal, conhecida como indicatriz de Tissot ou elipse de distorção;