Mean-Variance Analysis continued

1. Mean-Variance Analysiscontinued Financial Optimization and Risk Management

2. Context of risk-return portfolio optimization Portfolio optimization Implementation performance Dynamics New information risk Market data Statistical processing Financial Optimization and Risk Management

3. Hovedpunkter • Utvidelse av standard modellen • Begrensninger for størrelse på handel, lån og transaksjonskostnader • Formulere faktor-modeller Financial Optimization and Risk Management

4. Risikofrie lån • Short salg ikke tillatt, men lov å låne til risikofri rente Lånebeløp: , Forventet utbytte: Varians: uendret fordi lånerenten er risikofri Financial Optimization and Risk Management

5. Risikofrie lån til ulike rentesatser • Kan låne til renten for beløp opp til • Rente for beløp opp til • Lånebeløp • Restriksjoner: • Forventet utbytte: •  over null kun når Financial Optimization and Risk Management

6. Størrelse på posisjoner, transaksjonskostnader • Mange små posisjoner uønsket fordi • Mange posisjoner  høyere transaksjons-kostnader når porteføljen reviseres • Mer omfattende overvåkning  høyere driftskostnader Financial Optimization and Risk Management

7. Max-grense for antall aktiva i porteføljen, min-grense på posisjonsstørrelser • Begrenser antall aktiva i porteføljen til κ • Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null): • Mean-variance-efficient portfolios with trading size limits: Min s.t. for alle i=1,…,n for alle i=1,…,n Financial Optimization and Risk Management

8. Transaksjonskostnader • Effektivt forventet utbytte = Forventet utbytte – kostnader • For små transaksjoner: skalafordel konkav trans.kost.funksjon • For store transaksjoner: innlikviditetskostnadene øker  konveks • Tilnærminger: • Trans.kostnader prop. med trans.størrelse • Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde, deretter lineær Financial Optimization and Risk Management

9. Lineær kostnadsfunksjon • C0 Konstant kostnad for mengder opp til • Forventet utbytte: Financial Optimization and Risk Management

10. Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner • C0: Konstant kostnad for størrelser opp til • C1: Prop. kostnader for større transaksjoner • transaksjoner opp til • transaksjoner over hvis aktiva i er inkludert med fast kostnad C0 ellers Financial Optimization and Risk Management

11. Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner (forts.) • Forventet utbytte: • Restriksjoner: Financial Optimization and Risk Management

12. Mean-variance efficient portfolio with transaction costs Min s.t. Financial Optimization and Risk Management

13. Portefølje revisjon • Porteføljeoptimering innebærer ofte revisjon av en eksisterende portefølje. • Dette involverer både kjøp og salg, og transakjsonskostnader må taes med. • Den gjeldende kost funksjonen er symmetrisk om x0. Financial Optimization and Risk Management

14. Portefølje rev., restriksjoner • Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading eller så skjer den ved enten kjøp eller salg. • Restriksjonsområdene er gitt ved og • For å modellere disse restriksjonene introduserer vi to ikke-negative variabler y+1 og y-1 for kjøp og salg av aktiva i, slik at vi får xi = x0i + y+i – y-i Financial Optimization and Risk Management

15. Introduserer også to binærvariabler som følger: Zsi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir redusert gjennom salg, 0 ellers Zpi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker gjennom kjøp, 0 ellers • Ved revisjon blir det ofte også brukt en restriksjon på total endring i antall aktiva kalt portfolio turnover • Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet og ser slik ut: Financial Optimization and Risk Management

16. Mean-variance efficient portfolio revision • Minimize • subject to }for alle i Financial Optimization and Risk Management

17. Liabilities • Value of liabilities is subtracted from the value of asets at the end of the planning period. Suppose that at the start the value of assets equals the value of liabilities. • Return on liability • Return of the assets minus liabilities • Expected return of the surplus Financial Optimization and Risk Management

18. Liabilities, continued • Variance of the assets minus liabilities return • Covariance matrix • Where • Any of the mean-variance models can be used now Financial Optimization and Risk Management

19. 3.4 Factor models of return • Implementasjon av mean-variance optimeringsmodeller krever estimat av vektorerne for middelverdi og varians og kovariansmatrisen • Krever ofte veldig mange parametere. • Eksempel: Et kapitalforvaltnigsproblem hos S&P500 krever estimering av 1000 forventede avkastninger og 124750 kovarianser. Financial Optimization and Risk Management

20. Factor models, forts. • Skal her se på både en-faktor og multi-faktor modeller • En-faktor modellen kom først og er forløperen til CAPM • Multi-faktor modellen førte etter hvert til Arbitrage Pricing Theory Financial Optimization and Risk Management

21. 3.4.1 En-faktor modellen • Avkastningen på det i’te verdipapiret er relatert til den enkle faktoren gjennom den lineære relasjonen: • Variansen er gitt ved σ2M og er normalfordelt med middelverdi 0 og varianse σ2εi • rM er avkastningen fra en markedsindeks Financial Optimization and Risk Management

22. Sensitiviteten til avkastningen er gitt med β, som kalles factor loading • Følgende antagelser ligger til grunn: • Kovariansen mellom det security specific restuttrykket og faktoren er 0, dvs. for alle i. • Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs. for alle i ≠ i’. • Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå utlede parameterene som trengs i mean-variance modellen. Financial Optimization and Risk Management

23. Forventet avkastning fra verdipapiret: • Variansen til det i’te verdipapiret er gitt ved: • Setter inn ri fra faktor modellen og får: Financial Optimization and Risk Management

24. Kovariansen mellom verdipapir i og i’ er gitt ved: • Setter inn ri fra faktor modellen og får • Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0 Financial Optimization and Risk Management

25. Mean-variance optimization with single-factor models • Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil til å lage en modell for effektive porteføljer. Forventet avkastning blir: Financial Optimization and Risk Management

26. Porteføljevariansen blir: • Her er antallet parametere 3n+2, som er mye mindre enn dersom vi hadde regnet direkte med kovarians matrisen. Financial Optimization and Risk Management

27. Mean-variance efficient portfolios with single factor models Minimize subject to Financial Optimization and Risk Management

28. Systematisk og ikke-systematisk risiko • Skriver variansen som: • Snur om og får: Financial Optimization and Risk Management

29. Systematisk og ikke-systematisk risiko • Porteføljebetaen βp reflekterer sensitiviteten av avkastningen mot faktoren. • Dette medfører at ved store antall investeringer i porteføljen vil den ikke-systematiske risikoen kunne diversifiseres bort. Financial Optimization and Risk Management

30. En-faktor modeller og CAPM • Dersom vi skriver en-faktor modellen som en lineær relasjon mellom avkastningen som er større enn markedsfaktoren og overskuddet mellom markedsfaktoren og den risikofrie faktoren og fjerner restleddet ε får vi: • Noe som er identisk med CAPM bortsett fra αi som, ifølge CAPM, skal være lik 0. Financial Optimization and Risk Management

31. Multi-faktor modellen • Multi-faktor modeller forbedrer estimatene funnet ved en-faktor modellen. • Spesielt ved store restledd etter en-faktor modellen er det nyttig med flere faktorer. • Utvidelsen er ganske grei, men det fins ingen enkel måte å velge faktorene på. • Kaller faktorene fj, for j = 1,2,…..,K Financial Optimization and Risk Management

32. Multi-faktor modellen • Definisjon: Avkastningen for verdipapir i henger sammen med faktoren fJ gjennom den lineære relasjonen Variansen til faktor j er gitt ved σJ2 og det security-specified restuttrykket εi er normaldistribuert med middelverdi 0 og varians σεi2 Financial Optimization and Risk Management

33. Antar, som med en-faktor modellen, at avkastningene er korrelert kun gjennom reaksjonen på fellesfaktorene. Vi gjør derfor følgende antagelser: • Kovariansen mellom restleddet og faktorene er 0. Dvs. Cov(εi,fJ) = 0, for alle i,j. • Kovariansen for risikofaktorene 0. Dvs. Cov(fJ.fJ’) = 0, for alle fJ’≠ fJ • Kovariansen til restleddene er 0. Dvs. Cov(εi,εi’) = 0, for alle i ≠ i’ Financial Optimization and Risk Management

34. Forventet avkastning • Varianse • Variansen blir kalkulert som en funksjon av β, variansen til faktorene og variansen av restleddet Financial Optimization and Risk Management

35. Kovarians • Kovariansen til verdipapirene er en funksjon av betaene til verdipapirene og variansen til faktorene. Financial Optimization and Risk Management

36. Mean-variance optimization with multi-factor models • Kombinerer alt dette og lager en modell for å lage effektive porteføljer: • Sensitivitet: Financial Optimization and Risk Management

37. Kan da skrive forventet avkastning for porteføljen som: • Porteføljevariansen blir: Financial Optimization and Risk Management

38. Mean-variance efficient portfolios with multi-factor models Minimize subject to for alle j=1,2,….,K Financial Optimization and Risk Management

39. We developed capability to compute efficiently VaR-optimal portfolios Now what? - Serious experiments with portfolios of interest to institutional investor • 8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK, Italy, Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia • 8 J.P. Morgan bond indices for the same markets • time range: January 1, 1999 – May 15, 2002 • totally 829 daily price data • A nice set to test risk management ideas: 11 September 2001, Argentinian crisis July 2001, … • more than 80000 mean-VaR optimization problems solved Financial Optimization and Risk Management

40. Turbulent times … Financial Optimization and Risk Management

41. Turbulent times … Financial Optimization and Risk Management

42. Risk-return tradeoff performance in-sample efficient frontier out of sample image of efficient frontier risk Past contains no information about the future Financial Optimization and Risk Management

43. In sample mean-variance frontier and its out of sample image Financial Optimization and Risk Management

44. Out of sample drift of in sample mean-variance frontier Financial Optimization and Risk Management

45. Straighforward rebalancing Financial Optimization and Risk Management

46. Partial rebalancing Financial Optimization and Risk Management

47. Partial rebalancing: low risk portfolio Financial Optimization and Risk Management

48. Partial rebalancing: medium risk portfolio Financial Optimization and Risk Management

49. Partial rebalancing: high risk portfolio Financial Optimization and Risk Management

50. Fraction of US bonds in high risk portfolio Financial Optimization and Risk Management