Funciones Polinomicas

1. Funciones Polinómicas y Racionales Funciones Polinómicas

2. Objetivos • Identificar una función polinómica y su grado. • Identificar los ceros o raíces reales de una función polinómica y su multiplicidad. • Analizar la gráfica de una función polinómica. • Aplicar los teoremas de la función polinómica para escribir la función en forma factorizada. • Aplicar el Teorema de los ceros racionales para enumerar los posibles ceros racionales de una función polinómica. • Utilizar división sintética para hallar los ceros de una función polinómica. • Aplicar el Teorema de la raíz conjugada. • Dibujar la gráfica de una función polinómica.

3. ¿Qué es una función Polinómica? Es una función de la forma: , donde los coeficiente numéricos son números reales y los exponentes de las variables son números enteros no negativos. El término principal es e indica el grado de la función mientras que el término constante es . Ejemplo: a) es una funciónpolinómica de grado 5.

4. Práctica Ir al manual de práctica: Hacer ejercicio de la página 1

5. Complete la siguiente tabla

6. Clasificar como función polinómica Clasifique como función polinómica (P) o no Polinómica (NP). Si la función es polinómica, indique su grado. Si no lo es, explique porqué. P / NP 1) , Grado 4 P / NP 2) P / NP 3) No es el exponente de una variable

7. Gráficas de Funciones Polinómicas • La gráfica de una función polinómicas es una curva suave y continua. Una curva continua es aquella que no presenta huecos, saltos o brincos. La curva suave es aquella que no presenta esquinas o picos. En otras palabras se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. • Características de las gráficas de las funciones polinómicas. • Tiene como máximo n, su grado, intersecciones en el eje de . • Tiene como máximo n-1, su grado menos uno, puntos de cambio. • Los extremos de su gráfica tienden a infinito. La orientación de estos lo determina el término principal .

8. Orientación de los extremos en las gráficas de funciones polinómicas Dado 1) Sí con par entonces sus extremos serán orientados así 3) Sí con impar entonces sus extremos serán orientados así y y y y 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 4) Sí con impar entonces sus extremos serán orientados así 2) Sí con par entonces sus extremos serán orientados así 1 1 1 1 x x x x -7 -7 -7 -7 -6 -6 -6 -6 -5 -5 -5 -5 -4 -4 -4 -4 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5 -6 -6 -6 -6

9. Identificar las características de las funciones polinómicas Ejemplo: Determine si la gráfica representa una función polinómica, de serlo, comente sobre el término principal y determine el grado mínimo que puede tener. y • Grado Impar • 4 puntos de cambio x • 3 Interceptos en el eje de • Grado mínimo 5 Es la gráfica de una función polinómica

10. Práctica Ir al manual de práctica: Hacer ejercicio de la página 2

11. Identificar las características de las funciones polinómicas Práctica: Determine si la gráfica representa una función polinómica, de serlo, comente sobre el término principal y determine el grado mínimo que puede tener. y Ejercicio #1: Su extremo es finito Hueco Salto o brinco x esquinas picos No es la gráfica de una función polinómica

12. Identificar las características de las funciones polinómicas Práctica: Determine si la gráfica representa una función polinómica, de serlo, comente sobre el término principal y determine el grado mínimo que puede tener. y Ejercicio #2: • Grado Par • 7 puntos de cambio x • 6 Interceptos en el eje de • Grado mínimo 8 Es la gráfica de una función polinómica

13. Forma Factorizada de las funciones polinómicas Si es una función polinómica de grado , entonces existen números complejos tales que , donde es el coeficiente principal de . Cada número es un cero o raíz de .

14. Forma Factorizada de las funciones polinómicas Ejemplo: Escribe la función de grado tres con coeficiente principal y ceros en repetido dos veces y en forma factorizada. Solución: • A estas repeticiones de factores se le llama multiplicidad. • El factor repetido se escribe una sola vez con el exponente correspondiente a las veces que se repitió. • Inicialmente se escribe la función con el coeficiente principal y tres factores porque el grado es tres. • Sustituir el coeficiente principal y los ceros.

15. Gráficas de Funciones Polinómicas • Procedimiento para el trazado de la gráfica • Determinar hacia donde se dirigen los extremos de la gráfica. • Hallar las intersecciones en los ejes. • Escribir la función en forma factorizada comprimiendo en forma exponencial (veces que se repite un factor) esto es la multiplicidad del factor. • Dibujar las intersecciones en los ejes y los extremos de la gráfica. • Indicar los intervalos donde la función es positiva y negativa. • Aproximar valores máximos y mínimos de la función. • Completar el trazado de la gráfica.

16. Gráficas de Funciones Polinómicas Ejemplo: Trace la gráfica de la función Solución: Los extremos: Ambos extremos se dirigen hacia abajo. 4 Intersecciones en los ejes: Forma factorizada Sus ceros son: y 3 Multiplicidad Impar Multiplicidad Impar Las intersecciones son: : : x Aproximación punto máximo o mínimo: Multiplicidad Par

17. Práctica Ir al manual de práctica: Hacer ejercicio de la página 3

18. Gráficas de Funciones Polinómicas Práctica : Trace la gráfica de la función Solución: Los extremos: En el lado izquierdo hacia positivo infinito (arriba) y en el lado derecho hacia negativo infinito (abajo). 20 y Intersecciones en los ejes: Forma factorizada Sus ceros son: Multiplicidad Impar Las intersecciones son: : : x Aproximación punto máximo: Multiplicidad Par

19. Teoremas de la Función Polinómica Teorema fundamental del álgebra Teorema del residuo Teorema del factor Teorema de los ceros racionales Teorema de la raíz conjugada

20. Teorema Fundamental del Algebra Toda función polinómica de grado con coeficientes numéricos complejos tiene al menos un cero complejo. • Ejemplo: • Indicar cuántos ceros complejos posee cada función polinómica. • La función de grado uno tienen un cero complejo. Tiene un cero complejo 1) • Una función de grado tres tiene tres ceros complejos. 2) Tiene tres ceros complejos • En general una función polinómica tienen tantos ceros complejos como su grado. 3) Tiene cinco ceros complejos

21. Teorema del residuo Al dividir una función polinómica con coeficientes numéricos reales entre , su residuo será igual a • Ejemplo: • Halle el residuo al dividir entre • Solución: • Generalmente dividimos para obtener el cociente y el residuo. El Teorema del residuo nos permite obtener este valor sin realizar el proceso de división. • Comenzamos identificando el dividendo y el divisor.Después se identifica el valor. • Luego se evalúa la función en el valor y se obtiene el residuo. El residuo de la división es

22. Teorema del factor Si al dividir una función polinómica con coeficientes numéricos reales entre y su residuo es cero, entonces es un factor de O sea c es un cero o raíz de • Ejemplo: • Determine si es un factor de • Solución: • Si al dividir por se obtiene un residuo igual a cerodecimos que es un factor de . • Se comienza identificando el dividendo y el divisor. Después se identifica el valor . Luego se evalúa la función en el valor y se obtiene el residuo. • El residuo es uno, por lo tanto no es un factor de .

23. Teorema de los Ceros Racionales Si es un cero racional de la función polinómica con coeficientes numéricos reales , entonces p es un factor del término constante y q es un factor del término principal . • El conjunto de todos los ceros generados de la aplicación de este teorema se conoce como el conjunto de posible ceros racionales de Nota: Recuerde que la función polinómica se escribe en forma organizada, con respecto al exponente de su variable. Se prefiere el orden descendente (mayor a menor). Se comienza con el término de grado mayor en su variable hasta el término de grado menor. El último término, si no tiene variable, es el término constante de .

24. Teorema de los Ceros Racionales Ejemplo: Halle el conjunto de posibles ceros racionales de Solución: Se forma la fracción (constante) dividido por (coeficiente principal) Se buscan todos los factores o divisores del numerador y denominador. Se generan los números racionales. • Todos se consideran positivos y negativos. Los números racionales resultantes se le conoce como el conjunto de posibles ceros racionales de la función .Se utiliza división sintética para identificar cuáles de estos son los verdaderos ceros de la función Nota: Al formar no podemos simplificar la fracción para no perder posibles ceros.

25. División Sintética La división sintética es un proceso del cual se obtienen los mismos resultados que la división larga: cociente y residuo. Esta división sólo se puede utilizar cuando el divisor es de la forma Coeficientes numéricos de , escribir 0 para las potencias que falten. c Cero del divisor residuo Se repite el proceso hasta el final Se multiplica por c y el resultado se coloca debajo del próximo término. Se baja el primer término. IMPORTANTE: El residuo siempre se obtiene debajo del término constante. Coeficientes numéricos del cociente con grado debajo del término constante. cociente

26. División Sintética Ejemplo: Halle cociente y residuo al dividir entre Se utiliza división sintética porque el coeficiente y grado del término principal del divisor es uno. Coeficientes numéricos de Cero del divisor residuo Coeficientes del cociente: Solución: Nota: El grado del polinomio del cociente cuando se utiliza división sintética es siempre una unidad menor que el grado del polinomio del dividendo.

27. Teorema de los Ceros Racionales Ejemplo: Halle los ceros complejos de Solución: Se identifica la constante y coeficiente principal. Se buscan los posibles ceros racionales de . • Se utiliza división sintética para identificar cuáles de los posibles ceros son verdaderos ceros la función. Dos de los ceros son imaginarios, no están en la lista de posibles ceros racionales. Ceros de : Factorización de : Se escribe la forma factorizada de cualquier polinomio sustituyendo el coeficiente principal y sus ceros.

28. Práctica Ir al manual de práctica: Hacer los ejercicios de las páginas 4 y 5

29. División Sintética Práctica: Halle cociente y residuo usando la división sintética para Utilizardivisiónsintética residuo Coeficientes del cociente: Solución: Nota: El grado del polinomio del cociente cuando se utiliza división sintética es siempre una unidad menor que el grado del polinomio del dividendo.

30. Teorema de los Ceros Racionales Práctica: Halle el conjunto de posibles ceros racionales de Solución: Se forma la fracción (constante) dividido por (coeficiente principal) Se buscan todos los factores o divisores del numerador y denominador. Se generan los números racionales. El conjunto de los posibles ceros racionales de la función es: Nota: No simplificar la fracción para no perder posibles ceros.

31. Teorema de los Ceros Racionales Práctica: Halle todas las raíces o ceros complejos de Solución: Se factoriza utilizando factor común, p siempre es el término constante. Se buscan los posibles ceros del factor cúbico. • Se utiliza división sintética para identificar los ceros verdaderos de esta lista. Uno de los ceros se repite dos veces (tiene multiplicidad dos) Se iguala a cero el factor lineal para obtener el cero correspondiente a este factor. Se escribe la forma factorizada de cualquier polinomio sustituyendo el coeficiente principal y sus ceros.

32. Teorema de la Raíz Conjugada Si es una raíz compleja (cero) de una función polinómica con coeficientes numéricos reales entonces también es un cero complejo de Ejemplo: Halle todos los ceros de Al factorizar la función obtenemos: Este teorema garantiza que en toda función polinómica factorizada, al multiplicar todos los paréntesis los coeficientes numéricos de las variables sean números reales. Nota: Los ceros complejos imaginarios que tenga la función no se grafican en el plano real .

33. Teorema de la Raíz Conjugada Ejemplo: Encuentra la función polinómica de grado que tenga coeficientes numéricos reales, ceros en con multiplicidad , , y coeficiente numérico principal igual . Solución: Se utiliza el Teorema de la raíz conjugada para hallar el cero . • Se aplica el Teorema del factor y se obtienen los factores de la función. Después se efectúan las multiplicaciones para obtener la función polinómica . Se escribe la forma factorizada de cualquier polinomio sustituyendo el coeficiente principal y sus ceros.

34. Práctica Ir al manual de práctica: Hacer los ejercicios de las páginas 6 y 7

35. Teorema de la raíz conjugada Práctica: Encuentra la función polinómica de grado que tenga coeficientes numéricos reales, ceros en con multiplicidad , , y coeficiente numérico principal igual . Solución: Se utiliza el Teorema de la raíz conjugada para hallar el cero . • Se aplica el Teorema del factor y se obtienen los factores de la función. Se escribe la forma factorizada de cualquier polinomio sustituyendo el coeficiente principal y sus ceros. Después se efectúan las multiplicaciones para obtener la función polinómica .

36. Teorema de la raíz conjugada Práctica: Encuentra la función polinómica de grado 3 que tenga coeficientes numéricos reales, ceros en , y cuyo coeficiente numérico principal igual . Solución: • Se aplica el Teorema del factor y se obtiene los factores de la función. Se escribe la forma factorizada de cualquier polinomio sustituyendo el coeficiente principal y sus ceros. . Después se multiplica para obtener la función polinómica .

37. Gráficas de Funciones Polinómicas • Práctica: • Trace la gráfica de la función Solución: Los extremos: Lado izquierdo hacia abajo y lado derecho hacia arriba. 10 8 Intersecciones en los ejes: Forma factorizada Sus ceros son: 6 10 2 Multiplicidad Impar Las intersecciones son: : : Multiplicidad Par Aproximación punto máximo o mínimo:

38. Gráficas de Funciones Polinómicas • Práctica: • Trace la gráfica de la función Solución: Los extremos: Ambos extremos se dirigen hacia abajo. 4 Intersecciones en los ejes: Forma factorizada Sus ceros son: 3 Multiplicidad Impar Multiplicidad Impar Las intersecciones son: : : Aproximación punto máximo o mínimo: Multiplicidad Par

39. Mapa Funciones Polinómicas • Características • Teorema • Fundamental • Residuo • Factor • Ceros Racionales • Pares Conjugados • Extremos • Grado • Intersecciones • Puntos Cambio Funciones Polinómicas • División • Gráficas • Factorización • Buscar Ceros • Cociente • Divisor • Dividendo • Residuo