Funciones

1. Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado

2. Funciones Tipos Definición Formas deexpresar Características Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Funciones Pares e Impares

3. Función • Definición • Una función es una relación entre un conjunto dado X (el conjunto de salida) y otro conjunto de elementos Y (el conjunto de llegada) de manera que a cada elemento x del conjunto de salida le corresponda uno y solo un elemento delconjunto de llegada f(x).

4. Formas de expresar una función Una función se puede expresar de 4 distintas formas: Enunciado Tabla Gráfica Algebraicamente

5. Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y. Ejemplo:

6. Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente. Ejemplo: A cada Y le corresponde el mínimo +1.

7. Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y. Y = f(x) Ejemplo: f(x)= 4X2 – 3X + 8 f(x)= 2X + 4 f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3

8. Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano. Ejemplo:

9. Elementos y Características de las funciones

10. Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y. Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama X. Características

11. f a 1 b 2 c 3 4 Y X Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Losvalores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada. Características

12. Rango: Conjunto formado por las Imágenes. Dominio: Conjunto formado por las Pre Imágenes. Características

13. Conjunto de Salida:Conjunto de los elementos que componen al dominio. Conjunto de Llegada:Conjunto de variables dependientes. Características

14. Punto de corte con X:Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación resultante. Punto de corte con Y:Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0. Características

15. Periodicidad: Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Periodo: Longitud del intervalo que se repite. Máximos y mínimos: Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos. Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos. Crecimiento: Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. Características

16. Funciones Inyectivas: • Una función es Inyectiva si a cada Imágen le corresponde una única Pre Imágen. • Funciones Sobreyectivas: • Una función es Sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada es como mínimo la imagen de un elemento del domino. X Y X Y 1 2 3 4 D B C 1 2 3 D B C A

17. Función Biyectiva: • Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva). X Y 1 2 3 4 D B C A

18. Función Impar: Se llama función impar a la función en la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: f(x)= X3 f(2)=8 f(-2)=-8 Todas las funciones impares cumplen la ecuación: Función Par: Se llama función par a la función en la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al eje y. Ejemplo: f(x)= X2 f(-2)= 4 f(2)= 4 Todas las funciones pares cumplen la ecuación:

19. Impar

20. Par

21. Tipos de funciones Por Partes o A Trozos Polinómicas Racional Exponencial Trigonométricas Logarítmica Valor Absoluto

22. Funciones polinómicas GradoPar Constante GradoImpar Cuadrática Afín Cúbica Lineal Idéntica

23. Círculo Gonio métrico Funciones Trigonométricas Secante Seno Cotangente Coseno Tangente Cosecante

24. Generalidades de una función Polinómica • Se llama función polinómica a toda aquella función que está definida por medio de polinomios. • Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en: • En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones: • Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x). • Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x). • Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x). Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

25. Función Constante • Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable. • Se define por la ecuación: y= a Elementos Dominio= IR Rango= {a} Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no existe, cuando a ≠ 0. Punto de corte con y= a EJEMPLO

26. Constante Análisis: y= 6 Dominio-Conjunto de salida= IR Conjunto de llegada= IR Rango= {6} Punto de corte con y= 6

27. Función Afín • La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n • Donde X y Y son las variables • m es la pendiente • n es la ordenada en el origen • Dominio= IR • Conjunto de Salida= IR • Rango= IR • Conjunto de Llegada= IR • Punto de corte con y= n La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces: Si m<0 decreciente Si m>0 creciente Si m=0 constante m se calcula: Elementos EJEMPLO

28. Afín Análisis: y= 6x +2 Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -1/3 Pendiente= 6

29. Funciones de Grado Par • Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par. • Para las funciones de grado par, el Dominio siemprees IR y el Rango es (mínimo, ∞) o (- ∞, máximo). • Se definen por la ecuación: y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e EJEMPLO

30. Grado Par y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8

31. Función Cuadrática • Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como: • Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a. • El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación: • Dominio= IR • Conjunto de salida= IR • Conjunto de llegada= IR • Punto/s de corte con x: y= 0, se halla/n mediante la formula cuadrática, o factorizando. • Punto de corte con y= c Elementos EJEMPLO

32. Cuadrática Análisis: y= x2 + 3x – 4 Dominio-Conjunto de salida= IR Rango= [-5, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= -4 Punto de corte con x= {-4, 1} Mínimo relativo: x= -3/2

33. Funciones de Grado Impar • Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. • Para las funciones de grado Impar, el Dominio y el Rango siempre son IR. • Se definen por la ecuación: y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e EJEMPLO

34. Grado Impar y= 3x3 + 2x2 – x + 4

35. Función Lineal Es la función que se define por la ecuación: y= mx Elementos Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0 EJEMPLO

36. Lineal Análisis: y= 4x Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0 Pendiente= 4

37. Función Idéntica • Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento. • Se define por la ecuación: y= x • Su pendiente es m=1 • Su gráfica es la recta bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Elementos • Dominio= IR • Conjunto de Salida= IR • Rango= IR • Conjunto de Llegada= IR • Punto de corte con X y Y= 0 EJEMPLO

38. Idéntica Análisis: y= x Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0

39. Función Cúbica • Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con y= d EJEMPLO

40. Cúbica Análisis: y= x3 + 3x2 + 4x + 6 Domino-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 6 Punto de corte con x= -2.5

41. Función Valor Absoluto • La función de valor absoluto se define por la ecuación: y= IxI + c • El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. IXI= X, Si X > 0 -X, Si X < 0 El valor absoluto de X siempre será igual o mayor que cero, y nunca será negativo.

42. Propiedades del Valor Absoluto • No negatividad : |a| ≥ 0 • Definición positiva: |a| = 0 a = 0 • Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b| • Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b| • Simetría: |-a| = |a| • Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b • Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b| Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= [mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo] Conjunto de Llegada= IR Punto de Corte con y= c EJEMPLO

43. Valor Absoluto Análisis: y= IxI Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= [0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x=0 Punto de corte con y=0 No hay desplazamiento

44. Para un desplazamiento horizontal: y= Ix + 2I Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= [0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= -2 Punto de corte con y= 2 Desplazamiento horizontal izquierda= 2 Para un desplazamiento vertical: y= IxI + 4 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= [4, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 4 Desplazamiento vertical arriba= 4

45. Función Logarítmica • La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x • Solo esta definida en los números positivos. • Si 0<a<1: • Dominio= IR + • Conjunto de Salida= IR + • Rango= IR • Conjunto de Llegada= IR • Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1) • Decreciente • Si a>1: • Dominio= IR + • Conjunto de Salida= IR + • Rango= IR • Conjunto de Llegada= IR • Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1) • Creciente

46. 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz. 5. Cambio de base Deducciones de los logaritmos • No existe el logaritmo de un • número con base negativa • No existe el logaritmo de un • número negativo • No existe el logaritmo de cero • El logaritmo de 1 es cero • El logaritmo en base a de a es • uno • El logaritmo en base a de una • potencia en base a es igual al • exponente. Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. EJEMPLO

47. Logarítmica Análisis: y= log x Dominio= IR + Conjunto de salida= IR + Rango= IR Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= 1 Punto de corte con y= No hay Asíntota vertical: x=0 No hay desplazamiento

48. Para un desplazamiento horizontal: y= log x (x + 2) Dominio= IR + Conjunto de salida= IR + Rango= IR Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= -1 Punto de corte con y= 0.8 Asíntota vertical: x= -2 Desplazamiento horizontal izquierda= 2 Para un desplazamiento vertical: y= log x (x) + 4 Dominio= IR + Conjunto de salida= IR + Rango= IR Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No hay Punto de corte con y= No hay Asíntota vertical: x=0 Desplazamiento vertical arriba= 4

49. Función Racional • La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: • En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Yes el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q. Elementos Dominio= IR- {asíntotas verticales} Conjunto de Salida= IR Rango= R- {asíntotas horizontales} Conjunto de Llegada= IR Punto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador, y se soluciona la ecuación resultante. Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la ecuación original.

50. Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas. En las asíntotas verticales, la función se aproxima mucho a la recta cuando el valor de la variable dependiente se aproxima mucho al valor de la variable independiente. En las asíntotas horizontales, la función se aproxima a ∞ y a -∞. Para: Horizontales Verticales 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0. EJEMPLO