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ROULEMENT SANS GLISSEMENT VITESSE DE CONDITIONS DE

ROULEMENT SANS GLISSEMENT VITESSE DE CONDITIONS DE. RAPPEL DE COURS ETUDE DE CAS EXERCICES METHODE ANALYTIQUE. ICAM NANTES. Rappel de cours, roulement sans glissement. ROULEMENT ET GLISSEMENT. Si on s’intéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser)

Rita
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  1. ROULEMENT SANS GLISSEMENTVITESSE DECONDITIONS DE RAPPEL DE COURS ETUDE DE CAS EXERCICES METHODE ANALYTIQUE ICAM NANTES Rappel de cours, roulement sans glissement

  2. ROULEMENT ET GLISSEMENT Si on s’intéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser) °(t) x ? ??? y x1 S1  P (t) x RAYON R x  I SOL (t) Rappel de cours, roulement sans glissement

  3. y x1 Si on s’intéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser) °(t) x ? ??? S1  P (t) x  C (t) RAYON R x  I  SOL • Il y a 3 points I : • I, point de contact entre les deux solides. Ce point n’appartient à aucun solide. On l’appelle aussi point coïncidant ou point géométrique. C’est la vitesse que l’on obtient si on dérive le vecteur OI = (t) x. • VI/0 = [dOI/dt]0 Rappel de cours, roulement sans glissement

  4. y Si on s’intéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser) °(t) x ? ??? x1 S1       (t)    x  C   (t)   RAYON R   x    I SOL •  I, point du solide S1. Avant, ce point s’appelait P. Quand ce point est au contact de l’autre solide, il s’appelle I. • Son vecteur position est OI = (t) x + r y – r x1 avec x1 confondu avec – y, ce qui nous interdit de dériver pour trouver VI1/0 ; • la dérivée d’une fonction nulle à l’instant t (r y – r x1), n’est pas nulle. • On utilise alors l’équiprojectivité des vecteurs vitesse des points du solide S1/S0 • VI1/0 = VC1/0 + IC  1/0. • I, point du solide S0. Dans ce cas, cette vitesse est nulle. Rappel de cours, roulement sans glissement

  5. 2 CONCLUSION B O I C A 1 La vitesse du point de contact s’obtient par dérivation. VI/0 = [dOI/dt]0 La vitesse de I, point du solide 1, se calcule par équiprojectivité à partir d’un autre point dont on peut calculer la vitesse. VI1/0 = VA1/0 + IA 1/0 La vitesse de I, point du solide 2, se calcule par équiprojectivité à partir d’un autre point dont on peut calculer la vitesse. VI2/0 = VB2/0 + IB 2/0 VI1/2 s’appelle la vitesse de glissement entre les deux solides. Rappel de cours, roulement sans glissement

  6. La vitesse du point de contact s’obtient par dérivation du vecteur unitaire : VI/0 = [dOI/dt]0 La vitesse de glissement se calcule par composition des vitesse des points des solides en présence : VI1/2 = VI1/0 - VI2/0 Ou bien par composition des vitesse des points géométriques (méthode plus compliquée) VI/1 = VI/2 + VI1/2 Avec : VI/1 = [dAI/dt]1 avec A point fixe de 1 VI/2 = [dBI/dt]2 avec B point fixe de 2 Et : La vitesse de glissement est TOUJOURS dans le plan tangent de contact. On l’exprimera en fin de calcul selon des vecteurs unitaires appartenant à ce plan tangent de contact. CONCLUSION 1 2 A I B VI1/2 Rappel de cours, roulement sans glissement

  7. EXERCICES TYPES • Transformation de mouvement : pompe à essence • Réducteur train d’engrenages axes parallèles • Odomètre • Elévateur

  8. Transformation de mouvement Pompe à essence

  9. Le dispositif représenté ci-dessous modélise la transformation de mouvement dans un mécanisme de pompe à essence. L’excentrique S1 est en liaison pivot d’axe (O, z0) avec le bâti. Le poussoir S2 est en liaison pivot glissant d’axe (O, x0) avec le bâti. L’excentrique S1 est en contact avec poussoir S2 au point I. x1 y0 S2 S1 C I x0 O OC = e. x1 (t) =(x0, x1) Rayon de S1 : R Transformation de mouvement, pompe à essence

  10. Déterminer la vitesse de glissement en I entre S1 et S2.Déterminer l’accélération du point M appartenant au poussoir par rapport au bâti. Application numérique : N1/0 = 3000tr/min ; R = 20mm ; e = 7mm. Pour quelle position de S1 la vitesse de glissement est-elle la plus grande ? x1 y0 S2 S1 C I M x0 O OC = e. x1 (t) =(x0, x1) Rayon de S1 : R (t) Transformation de mouvement, pompe à essence

  11. VIS1/S2= VIS1/S0- VIS2/S0 VIS1/S2=[VOS1/S0+ IO S1/S0 ] - (t)° x0 VIS1/S2=[0 + ( e x1 + R x0 )  (t)° z] - (t)° x0 VIS1/S2= ( e (t)° y1 + R (t)° y - (t)° x0 or (t) = R + e cos (t) (t)° = - e (t)°sin (t) x1 y0 S2 S1 C I x0 O (t) OC = e. x1 (t) =(x0, x1) Rayon de S1 : R Transformation de mouvement, pompe à essence

  12. VIS1/S2= e (t)° y1 + R (t)° y0- (t)° x0 or (t) = R + e cos (t) (t)° = - e (t)°sin (t) y1 = cos (t) y0- sin (t) x0 VIS1/S2= [ e cos (t) + R ] (t)° y0 x1 La vitesse de glissement est bien dans le plan tangent de contact. y0 S2 S1 C I x0 O (t) OC = e. x1 (t) =(x0, x1) Rayon de S1 : R Transformation de mouvement, pompe à essence

  13. Déterminer l’accélération du point M appartenant au poussoir par rapport au bâti. M/R = (t)°° x0avec (t) = R + e cos (t)(t)° = - e (t)°sin (t) (t)°° = - e (t)°°sin (t) – e (t)°² cos (t) x1 y0 S2 S1 C I M x0 O OC = e. x1 (t) =(x0, x1) Rayon de S1 : R (t) Transformation de mouvement, pompe à essence

  14. Autre problème REDUCTEUR A AXES FIXES AXES PARALLELES Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

  15. Le réducteur est composé • d’une roue motrice 1, de rayon r1 ,de centre O1 • d’une double roue intermédiaire 2, de petit rayon r2, de grand rayon R2 ,de centre O2 • d’une roue réceptrice 3, de rayon R3 ,de centre O3 • Les trois roues sont en liaison pivot en leur centre avec le bâti. • 1/0 = 1/0z • 2/0 = 2/0z • 3/0 = 3/0z • Calculer la vitesse de glissement en I et J. Si ces vitesses de glissement sont nulles, déterminer la loi entrée sortie 3/0 / 1/0 • Si la puissance d’entrée est égale à P = Cm m, si le rendement est égal à 1, en déduire le couple de sortie en N.m. y u s3 s2 O3 J O2 I x s1 O1 Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

  16. VI1/2 = VI1/0 - VI2/0 VI1/2 = [VO11/0 + IO1 1/0 ] - [VO22/0 + IO2  2/0 ] VJ2/3 = VJ2/0 - VJ3/0 VJ2/3 = [VO22/0 + JO2 2/0 ] - [VO33/0 + JO3  3/0 ] y • Si les vitesses de glissement sont nulles : • IO1  1/0 - IO2  2/0 = 0 • JO2 2/0 – JO3  3/0 = 0 • r1y 1/0z – R2y  2/0z = 0 • r2u 2/0z – R3u  3/0z = 0 • r11/0 – R2 2/0 = 0 et r2 2/0 + R3 3/0 = 0 • En éliminant 2/0 des deux expressions, on obtient : • 3/0 r1 * r2 • ------ = --------------- • 1/0 R2 * R3 u s3 s2 O3 J O2 I x s1 O1 Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

  17. Si les vitesses de glissement sont nulles : 3/0 r1 * r2 ------ = --------------- 1/0 R2 * R3 y u s3 s2 O3 J O2 I • La relation générale s’écrit : (avec p le nombre de contacts extérieurs ) • SORTIE/0 (rayons des roues menantes) • ----------- = ( -1)p ----------------------------------------------- • ENTREE/0  (rayons des roues menées) x s1 O1 Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

  18. ODOMETRE

  19. z1 y2 s2 Inspiré du CC6 2009 2010 (t) (t) B Véhicule s1 s3 y4 (t) VB/0 = °(t) y1 s4 h C y1 Rayon roue 4 : r I A quoi est égale la cote (hauteur à la verticale) de B par rapport au sol ? En dérivant cette expression, déterminer la relation liant les paramètres (t) et (t), et leur dérivées. ° sin +  ° cos = 0

  20. z1 y2 (t) s2 Inspiré du CC6 2009 2010 (t) (t) B s3 Véhicule s1 y4 (t) VB/0 = °(t) y1 s4 h C y1 Rayon roue 4 : r I Calculer la vitesse du point I, point de contact entre S4 et S0, I point géométrique, dans son mouvement par rapport à S0. Montrer que cette vitesse est bien portée uniquement par y1. VI/0 = [d( y1 -  y2 – r z1)/dt]0 = ° y1- ° y2 -  (2/0y2) = ° y1- ° y2 -  ° z2 y2 = cos  y1 + sin  z1 ; z2 = - sin  y1 + cos  z1 VI/0 = ° y1- ° (cos  y1 + sin  z1 )-  ° (- sin  y1 + cos  z1) = ° y1- ° cos  y1 +  ° sin  y1 - ° sin  z1 -  ° cos  z1 car (° sin +  ° cos) = 0

  21. z1 y2 s2 Inspiré du CC6 2009 2010 (t) (t) B s3 Véhicule s1 y4 (t) VB/0 = °(t) y1 s4 h C y1 Rayon roue 4 : r I Calculer la vitesse de glissement en I entre S4 et S0, sachant que S1 a un mouvement de translation rectiligne de vitesse ° y1. Montrer que cette vitesse est bien portée uniquement par y1. En déduire alors les conditions de roulement sans glissement, ° en fonction des autres paramètres.

  22. z1 y2 s2 Inspiré du CC6 2009 2010 (t) (t) B s3 Véhicule s1 y4 (t) VB/0 = °(t) y1 s4 h C y1 Rayon roue 4 : r I VI4/0 = VC4/0 + IC4/0 (en dérivant OI on obtiendrait VI/0) VC4/0 = là on peut dériver ! = [dOC/dt]0 = (°- °cos  +  ° sin ) y1 IC4/0 = r z1(°+°) x1 = r (°+°)y1 VI4/0 = (°- °cos  +  ° sin  + r (°+°)) y1 Conditions de roulement sans glissement : °- °cos  +  ° sin  + r (°+°) = 0

  23. Elévateur

  24. Un élévateur de charge est motorisé par : •  un motoréducteur fixé sur le bâti agit sur le bras S1 en O • un motoréducteur fixé en bout de bras S1 agit sur le pignon S2 en C • Le solide S3 est en liaison glissière avec le bâti S0 • Le solide S2 est en liaison pivot (C,z) avec le solide S1 • Le solide S1 est en liaison pivot (O,z) avec le solide S0 • En I, il y a engrènement du pignon S2 sur la crémaillère S3 y1 A I S3 C Crémaillère OC = L Pignon rayon r Déterminer, en utilisant la condition de roulement sans glissement, la liaison entre les deux paramètres (t) et (t). S2 (t) y (t) S1 x y2 Pignon (t) O S0

  25. La vitesse de glissement en I est définie par VI3/2 On utilise la composition VI3/2 = VI3/0 + VI0/2 = VI3/0- VI2/0 Il ne faut surtout pas dériver pour trouver les vitesses des point I appartenant aux solides ! Il faut utiliser le champ distributif des vecteurs vitesses des points d’un solide (équiprojectivité) VI3/2 = [ VA3/0+ IA3/0] - [ VC2/0+ IC2/0] VI3/2 = [ °(t) y+ IA0] - [ VC2/0+ IC2/0] VI3/2 = °(t) y – [ - L° x1+(-r y)  (°+°) z] = °(t) y + L° x1 + r (°+°) x Il faut maintenant vérifier que cette vitesse de glissement est bien sur x S3 On remarque que : (t) = L cos  + r En dérivant par rapport au temps : °(t) = - L ° sin  et : x1 = cos x + sin  y y1 A I C Crémaillère S2 (t) y x1 (t) S1 y2 (t) Pignon (t) x O S0

  26. VI3/2 = °(t) y + L° x1 + r (°+°) x °(t) = - L ° sin  x1 = cos x + sin  y Il faut maintenant vérifier que cette vitesse de glissement est bien sur x VI3/2 = - L ° sin  y + L° (cos x + sin  y) + r (°+°) x VI3/2 = (L° cos + r (°+°)) x Les conditions de roulement sans glissement sont : L° cos + r (°+°) = 0 S3 y1 A I C Crémaillère S2 (t) y x1 (t) S1 y2 (t) Pignon (t) x O S0

  27. LANCEUR DE PIGEON D’ARGILE

  28. Un lanceur de pigeon d’argile est un dispositif permettant de lancer des « assiettes » en terre cuite lors des ball-traps. L’inclinaison est constante. On arme le dispositif puis on lâche. Les forces d’inertie expulsent le projectile vers l’extérieur et les frottements lui appliquent un mouvement de rotation propre. A la fin du lancement, il s’élance en l’air avec une vitesse initiale et un mouvement de rotation (comme un frisbee).

  29. assemblage CAO d'un lanceur, sur you yube SCHEMA Ecrire la liaison entre les 3 paramètres de position. S2 S1 (t) C I (t) O (t) http://www.youtube.com/watch?v=Sq0XFihdC7Q&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=af4eK-gicns&NR=1

  30. La vitesse de glissement en I est définie par VI1/2 On utilise la composition VI1/2 = VI1/0 + VI0/2 = VI1/0 - VI2/0 Il ne faut surtout pas dériver pour trouver les vitesses des point I appartenant aux solides ! Il faut utiliser le champ distributif des vecteurs vitesses des points d’un solide (équiprojectivité) VI1/2 = [ VO1/0 + IO1/0] - [ VC2/0 + IC2/0] VI1/2 = [ O + (- x1 + e y1)°z] - [ VC2/0 + r y1 (°+°)z] VC2/0 = ° x1 + ° y1 - (r-e) ° x1 VI1/2 = ° y1 + e °x1 - [° x1 + ° y1 - (r-e) ° x1 + r (°+°)x1] VI1/2 = - ( °+ r ° ) x1 Rayon r (t) e S2 C I S1 (t) O (t) y x1 x SCHEMA

  31. La vitesse de glissement en I est définie par VI1/2 Mais on aurait pu faire beaucoup plus vite! En remarquant que l’on connait VC2/1 =° x1 et donc VC1/2 =-° x1 VI1/2 = VC1/2 + IC1/2 (1/2 =- 2/1 = - ° z) VI1/2 = - ° x1 + r y1  - ° z VI1/2 = - ( °+ r ° ) x1 VI2/1 = + ( °+ r ° ) x1 Les conditions de roulement sans glissement sont donc : °= - r ° Rayon r (t) e S2 C I S1 (t) O (t) y x1 x SCHEMA

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