Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen - Bericht aus der schulischen Erprobung

1. Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen- Bericht aus der schulischen Erprobung Prof. Dr. Astrid Beckmann PH Schwäbisch Gmünd 20.10.2006

2. Erfahrungen mit Experimenten im Unterricht in verschiedenen 8., 9. und 11. Klassen* von Hauptschule, Realschule, Gymnasium, Höhere Berufsfachschule, Gesamtschule (Finnland) Schwerpunkt: 8. Klassen *speziell: Sebastian-von-Drey-Schule Ellwangen-Röhlingen, Adalbert-Stifter-Realschule Schwäbisch Gmünd Gymnasium Waiblingen

3. Ablauf • Zur Durchführung der Experimente • Zur Bedeutung nicht-linearer Funktionen • Forschungsfragen • Ergebnisse aus den Erprobungen (mit Beispielen)

4. Zur Durchführung der Experimente

5. Durchführung: • über mehrere Doppelstunden, • in denen die Schülerinnen und Schüler • jeweils 1 bis 3 Experimente durchführten. • Experimente als Stationen • zum Teil freie Wahl, zum Teil Einteilung • Anregung zu den Experimenten durch kurze Impulse • oder ausführlichere Arbeitsblätter mit • offenen oder mehr geführten Aufgabenstellungen • Ziel: möglichst eine Mischung verschiedener Funktionstypen

7. Zur Bedeutung nicht-linearer Funktionen

8. Eine Überbetonung linearer Funktionen kann zu einem eingeschränkten Bild führen. • Das Einbeziehen nicht-linearer Funktionen führt oft erst zu einer Reflexion über den Funktionstyp.

9. Eine Überbetonung linearer Funktionen kann zu folgender unreflektierten Annahme verleiten: Jeder funktionale Zusammenhang kann durch eine Gerade beschrieben werden. Beispiel: Zusammenhang zwischen Gasdruck und Volumen.

10. Unreflektierte Annahme: Es genügen zwei Punkte, um eine Funktion festzulegen. Beispiel: Zusammenhang zwischen Radius der Kugel und verdrängtem Volumen.

11. Bedeutung nicht-linearer Funktionen • Das Arbeiten mit unterschiedlichen Funktionstypen • erfordert ein flexibleres Denken: • Wie geht der Graph weiter? • Welcher Funktionswert gehört zu x? • usw. • Das Arbeiten mit vielen verschiedenen Funktionstypen • wirkt dem automatischen Zeichnen von Geraden als Funktionsgraph • entgegen. • Nicht-lineare Funktionen erfordern das Denken in Veränderungen und • Abhängigkeiten (Kovariationsaspekt).

12. Beispiel: Zusammenhang zwischen Abstand der Lichtquelle und der Beleuchtungsstärke H = c/d² mit H= Helligkeit, d = Abstand von der Lichtquelle, c = Konstante Für nicht so leistungsstarke Lerngruppen gilt: Wichtiger als der Funktionsterm ist der Zusammenhang, die Abhängigkeit, die Änderung…

13. Forschungsfragen

14. Forschungsfragen • Welche Aspekte des Funktionsbegriffs werden durch experimentelle Aktivitäten angeregt? • Erweitern die Schülerinnen und Schüler ihr Begriffsverständnis? • Welche Rolle spielt der außermathematische Bezug des Experiments? • Welche mathematischen Aktivitäten (den Funktionsbegriff betreffend) werden angeregt? • Welche weiteren Kompetenzen können angesprochen werden?

15. Methode der Beobachtung • Film- und Tonaufnahmen, • Mitschrift von kurzen Episoden/ Dialogen • Auswertung der Arbeitsblätter

16. Einige Ergebnisse

17. Zum Kovariationsaspekt Eine Reflexion über die Messwerttabelle kann erste Aspekte der Kovariation anregen. Auszüge aus Arbeitsblattnotizen: „Je niedriger die Strecke, je weniger Zeit benötigt er.“ „Die Strecke verdoppelt sich nicht.“ (gemeint ist der Vergleich der Fahrstrecken eines beschleunigten Autos zwischen 1 bis 3 s mit 2 bis 4 s Fahrzeit). „Wenn sich die Höhe der Luftsäule verdoppelt, halbiert sich der Druck.“

18. Die Durchführung des Experiments kann die Hypothesenbildung vor dem Hintergrund des Kovariationsaspekts anregen. Erstes Beispiel, Experiment Feder: Auszug aus einem Beobachtungsprotokoll, : Nach dem Anhängen und Messen von 100g und 200g stellen die Schüler sofort Vermutungen an. S1: Was wäre dann bei 200kg? S2: Das müssen dann 2000N sein, weil, wenn 200g 2N sind, dann sind 200kg das 1000fache, also 2000N.

19. Die Durchführung des Experiments kann die Hypothesenbildung vor dem Hintergrund des Kovariationsaspekts anregen. Zweites Beispiel, Hebel: Kraft und Kraftarm Auszug aus einem Schülerdialog S1: Jetzt hängen wir mal ganz hinten hin. S1 misst 25,5 cm S2 misst: 0,6 N. Das müsste eigentlich bei 36 cm sein. S3: Es müsste immer eins weniger rauskommen, wenn man weiter hinten anhängt. S2: 18 sind es jetzt. S1 misst: Das sind 1,3 N. S3: beim nächsten müsste dann 0,1 N dazu herauskommen. S1: Bei 13 cm sind es 2,1 N.

20. Zur Begriffserweiterung Experimente können auf eine Begriffserweiterung führen, die sich durch eine Abkehr vom optischen Eindruck hin zu einer Beschreibung des funktionalen Verlaufs ausdrückt. Beispiel: Die Schülergruppe im Experiment Druck stellt folgende Hypothese auf, die sie schriftlich fixiert: Je mehr Druck, desto weniger Volumen. Nachdem die Schülerinnen und Schüler die durch Messung ermittelten Werte grafisch dargestellt haben, stellen sie fest: Unsere Vermutung war richtig.

21. Zum Wechsel zwischen Funktionstypen Ein Wechsel zwischen verschiedenen Funktionstypen innerhalb der Stationen regt (eher) Interpretationen und Vorstellungen bezüglich Zuordnung und Kovariation an. Beispiel: Der Beobachtung nach erwarteten Achtklässler in allen Situationen proportionale Zusammenhänge, d.h. das Bild einer Geraden durch den Ursprung. Durch das Erfahren nicht-proportionaler Zusammenhänge wird diese Erwartungshaltung durchbrochen und die Überlegungen weg vom Bild auf Zusammenhänge gelenkt.

22. Ein Wechsel zwischen verschiedenen Funktionstypen innerhalb der Stationen regt (eher) Interpretationen und Vorstellungen bezüglich Zuordnung und Kovariation an. Beispiel: Die Schüler diskutieren über den Zusammenhang zwischen Beleuchtungsstärke und Abstand von der Lichtquelle, nachdem sie im Vorexperiment zwei Messwerte ermittelt haben. S1: Es ist normal net proportional. S2: Na, dann machen wir es halt gschwind; dann wissen wir es. S1 zeichnet in ein Koordinatensystem. Gemeinsam wird die Einteilung überlegt und die gemessenen Messwerte eingetragen. S2: Das ist nicht proportional. S1: Sicher? S3: Außer der Strich geht so. S2: das ist nicht proportional, hab ich doch gesagt. Die Schüler nehmen nun verschieden lange Röhren und nehmen viele Messwerte auf, bevor sie endgültig die Vermutung bestätigen.

23. Rolle des Alltagsbezugs • Die angesprochenen Alltagserfahrungen und Realitätsbezüge regen einen verbalen Austausch an, führen auf Hypothesen und helfen die Situation modellieren. • Der Alltagsbezug im Experiment führt zu einer Abkehr vom optischen Eindruck des Schaubilds. • Die Kommunikation über den Alltagsbezug und das Experiment erscheint als ein wesentlicher Impuls für den Funktionsbegriffserwerb und muss im Zusammenhang mit den Experimenten individuell angeregt werden.

24. Kommunikation anregen! Erstes Beispiel: Aufgabe aus dem Arbeitsblatt: Betrachte die Tabelle. Erkennst du besondere Zusammenhänge? Welche? Schreibe alles, auf, was dir auffällt. Ausschnitt aus dem Schülergespräch: S1: Es kommt immer darauf an, wie hoch du, ja es kommt darauf an, von wo es schwingt, ja von da oben. S2: Das ist net der Zusammenhang. S1: ja, aber da steht, schreib alles auf, was dir einfällt, auffällt. … S2: Nee, schreibe besondere Zusammenhänge. Du musst denken! Je länger man das Pendel … Die anderen Schülerinnen schreiben unbeirrt weiter: … immer langsamer, bis es zum Stillstand kommt.

25. Kommunikation anregen! Zweites Beispiel: Auszug aus einer Präsentationsbesprechung: S1: Wir haben den Zusammenhang zwischen Kabellänge und Gewicht beschrieben. Und mit dem Gewicht kann man die Länge herausfinden und mit der Kabellänge halts Gewicht. Das einzige was man tun muss, ist halt rechnen. …. S2: Was hat denn zum Beispiel ein 35er für ein Gewicht? S1: Das haben wir nicht ausgerechnet. Schülerprotest „jah“ und Aufschrei in der Klasse. Durch die Anregung durch die Mitschüler wird geklärt, dass dies einfach aus dem Schaubild ablesbar ist.

26. Verknüpfung von Experiment mit Alltagsbezug  die funktionale Abhängigkeit wird anschaulich! Auszug aus einem Abschlussbericht einer Schülergruppe: „Das zweite Projekt nannten wir ´Licht und Tunnel´. Je weiter das Auto in den Tunnel fährt, desto dunkler wird es. Die erste Rolle hatte eine Länge von 9,7 cm. Als wir sie mit einer Seite ans Fenster hielten, betrug die Helligkeit sehr gute 36 lux. Als wir ein Papprohr mit einer Länge von 30 cm ans Fenster hielten, konnten wir nur noch eine Helligkeit von 0,1 lux. An einem extra hierfür gezeichneten Schaubild konnten wir genau ablesen, wie viel Helligkeit zu Anfang des Tunnels herrscht, und wie die Helligkeit immer mehr abnimmt.“

27. Einige Schülereindrücke

28. „Ich habe die Station freier Fall gut gefunden, weil in der Station Freier Fall ist man nicht bloß auf sich allein gestellt. Man kann die Aufgaben nur im Team lösen, weil einer muss den Ball fallen lassen und der andere muss die Zeit stoppen. Das ist das Schwierigste an dieser Aufgabe: Man muss lernen, in der Gruppe zu arbeiten.“ „Interessant fand ich auch das Verhalten der Autos auf langen und kurzen Strecken. Bei Station 1 haben wir festgestellt, umso länger das Papprohr, desto dunkler wird es.“ „..Bei 9 haben wir gedacht, es wäre Physik. Es war aber Mathe. Also Physik und Mathe haben viel gemeinsam.“

29. „Ich fand den Versuch einfach Klasse, denn man muss sich das nicht nur vorstellen, sondern kann es selbst versuchen.“ „Mit dem Koordinatensystem hatten wir Probleme.“ „Die Gruppen hätte man anders einteilen können. Denn wer mit T. und M. in einer Gruppe ist, der ist arm dran, da sie denken, sie sind der Chef in der Gruppe.“ „Das Experimentieren hat richtig Spaß gemacht.“

30. Ende Mehr Experimente in: A. Beckmann: Experimente zum Funktionsbegriffserwerb, Köln (Aulis Verlag Deubner) 2006