Pokročilá fyzika C803 fI Ip _0 8 Optika III Co je za geometrickou optikou.

1. Pokročilá fyzika C803fIIp_08Optika IIICo je za geometrickou optikou. http://webak.upce.cz/~stein/msfIIp11.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

2. Hlavní body • Polarizace světla • Reflexe a refrakce – Fresnelovy vzorce • Absorpce • Optika tenkých vrstev • Dopplerův jev • Fourierovská analýza • Interference a difrakce • Vznik a použití rentgenového záření • Rentgenová spektroskopie • Rentgenová difrakce

3. Polarizace světlaI • Vektor elektrické intenzity může zaujímat libovolnou polohu v rovinách kolmých ke směru šíření vlny. Magnetická indukce leží ve stejných rovinách a je na elektrickou intenzitu v každém okamžiku kolmá. • Existuje ovšem řada jevů, které vedou ke speciálnímu chování vektoru elektrické intenzity. • Může mít například neustále stejný směr – říkáme, že vlna je lineárně polarizovaná.

4. Polarizace světlaII • Nejobecnější polarizace je eliptická a lze ji chápat vektor elektrické intenzity jako složený ze dvou kruhově polarizovaných na sebe kolmých polí. • Aby prostředí stáčelo rovinu polarizovaného světla, musí být jedna rotace alespoň částečněpotlačena. • Polarizátory nebo polarizační filtry mohou být založeny na čtyřech principech: dichroismu, reflexi, dvojlomu a rozptylu.

5. Polarizace světlaIII • Dichroismus je nesymetrická absorpce složek světla. • Při reflexi se obecně odráží každá složka jinak. • Dvojlom je založen na skutečnosti, že každá složka může mít v některých materiálech různou rychlost šíření, čili různý index lomu. • U rozptýleného záření záleží na tom, odkud ho sledujeme. • Nesymetrie v látkách vede ke stáčenípolarizace.

6. Současný odraz a lom • Dosud jsme studovali odraz a lom odděleně. Ukazuje se však, že k oběma jevům docházísoučasně. Prochází-li tedy záření rozhraním dvou prostředí s různou optickou hustotou, určitá část se vždy odrazí a určitá část může projít a láme se. • Konkrétní poměr odražené a propuštěné intenzity závisí na indexech lomu a úhlech dopadu. Vyjadřují jej Fresnelovy vzorce.

7. Fresnelovy vzorce I • Předpokládejme, že světlo přichází z prostředí s indexem lomu ni pod úhlem i, část se odrazí pod úhlem r = i a část projde do prostředí s indexem lomu nt pod úhlem t:

8. Fresnelovy vzorce II • Příklad : předpokládejme, že světlo přichází kolmo z vakua do prostředí s indexem lomu n , potom je reflektivita v obou polarizacích stejná a závisí jen na indexu lomu : • Reflektivita některých materiálů : voda n = 1.33 r2 = 0.02 sklo n = 1.5 r2 = 0.04 diamant n = 2.417 r2 = 0.17

9. Optika tenkých vrstev I • Dopadá-li záření na několik rovnoběžných vrstev, dochází k odrazu a lomu na každém rozhraní. Záření, které se celkově odrazí a celkově projde, závisí na tloušťce a materiálu jednotlivých vrstev a také dalších fyzikálních podmínkách. • V první řadě to má význam pro studium struktury povrchů materiálů. Tím se zabývá elipsometrie. Její dosah je od výzkumu polovodičů po biologii.

10. Optika tenkých vrstev II • Velice významná oblast optiky tenkých vrstev je založena na magneto-optických jevech. Na nich je založena například technologie úschovy dat CD-ROM, DVD. Zde se řeší kompromis mezi hustotouzáznamu a rychlostípřístupu. • Další důležitou oblastí je vývoj optických elementů požadovaných vlastností například pro neutrony nebo RTG záření, kde z principiálních důvodů nemohou existovat čočky.

11. Absorpce zářeníI • Při průchodu reálnými látkami je záření vždy částečně absorbováno. Tedy elektromagnetická energie se částečně mění na jinou formu. • Experiment ukazuje, že prochází-li záření vrstvou tloušťky x, lze pro zeslabenou intenzitu napsat I(x)=Iof(x) • Uvažujeme-li dvě takové vrstvy, bude výsledná intenzita z jedné strany I(2.x)=Iof(2.x) a z druhé I(2.x)=I(x)f(x) =Iof2(x) • Vlastnost f(2x) = f2(x) má zjevně funkce exponenciální.

12. Absorpce zářeníII • Alternativní odvození: Změna intenzity po průchodu látkou o tloušťce dx je úměrná této tloušťce a původní intenzitě: • Zákon absorpce, zvaný obvykle Lambert-Beerův zákon, získáme vyřešením jednoduché diferenciální rovnice, se kterým jsme se již několikrát setkali :

13. Absorpce zářeníIII • Prochází-li záření vrstvou tloušťky x lze tedy pro zeslabenou intenzitu napsat • Parametr  se nazývá lineární absorpční koeficient. Závisí samozřejmě na látce, na fyzikálních podmínkách, např. teplotě a tlaku , ale také na vlastnostech procházejícího záření. To dokonce do takové míry, že určitou dobu nebylo například jasné, že RTG paprsky jsou druhem EMA záření.

14. Fourierova analýza I • Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnouperiodickou vlnu. • Na tomto principu je založena Fourierova analýza.

15. Fourierova analýza II • Ukážeme si například složení pilovéhoa obdélníkového kmitu jako součtu (sawx.m) : • Čočka vytváří difrakční obraz (přímou Fourierovu transformaci) v ohniskové rovině a zpětně jej transformuje do reálného prostoru. (profft.exe)

16. Dopplerův jev I • Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence. • Popišme pohyb : • zdroje vlnění rychlostí v • příjemce vlnění rychlostí u • prostředí šíření rychlostí w • rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než rychlost světlave vakuu • všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné

17. Dopplerův jev II • Předpokládejme stojícízdroj v počátku a stojícíprostředí(v = w = 0). Vlny v prostředí tedy mají vlnovou délku 0. Pozorovatel(napravo od počátku)sevzdaluje od zdroje rychlostí u > 0. • Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času. • kdyby byl pozorovatel v klidu :

18. Dopplerův jev III • Když se pozorovatelpohybuje, vlny kolem něj neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí c - u. S použitím předchozího platí : • Pro vzdalujícího se pozorovatele (u > 0) je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se (u < 0)by frekvence byla vyšší.

19. Dopplerův jev IV • Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli. • Během jedné periody T0 vyšle zdroj jednu vlnu. • V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od bodu, odkud vysílal začátek o T0v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T0c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T0(c-v). Proto : • Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se v>0 by byla frekvence opět vyšší.

20. Dopplerův jev V • Pohybuje-li se jenprostředí, a to rovnoměrně, přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění : • Pohybuje-li se ale prostředí a pozorovatel, pohyb prostředí se projeví navíc :

21. Dopplerův jev VI • Podobně, pohybuje-li se prostředí a zdroj : • Poslední dva vztahy jsou obdobné, jako jejich verze odpovídající nehybnému prostředí, akorát je jiná rychlost šíření. Můžeme tedy snadno napsat souhrnný vztah pro všechny možné vzájemné pohyby :

22. Dopplerův jev VII • Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v. • Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdílu - v. • Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně. • Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná. Souvisí s tím, že v případě pohybu jen pozorovatele nejsou vlny v prostoru deformovány.

23. Dopplerův jev VIII • Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom : • tento vztah již symetrický je. • v – u je vzájemná rychlost, kladná při přibližování • platí i pro elektromagnetické vlny (světlo)

24. Interference na tenké vrstvě I • Princip je stejný jako pro každou interferenci obecně: • Interferují spolu vlny odražené na horním a spodním povrchu. Je-li rozdíl vzdáleností těchto povrchů roven: • celistvému násobku vlnové délky – konstruktivně • lichému násobku poloviny vlnové délky -destruktivně

25. Interference na tenké vrstvě II Musíme uvažovat dva nové jevy: • Vlnová délka materiálu vrstvy je jiná než ve vakuu. • Za určitých okolností se fáze vln při reflexi měnískokem.

26. Interference na tenké vrstvě III • Experiment ukazuje, že vlna, procházející různými prostředími, má ve všech stejnoufrekvenci. V těch, kde je menší rychlostšíření, musí být menší i vlnovádélka: • Používáme-li bílé světlo, platí při určitém úhlu podmínka pro konstruktivní interferenci vždy pro určitou barvu – barevná interference.

27. Interference na tenké vrstvě IV • Experiment ukazuje důležité vlastnosti reflexe: • Odráží-li se paprsek na rozhraní s opticky hustším prostředím měníse jeho fáze o . • Na rozhraní s prostředím opticky řidšímse jeho fázenemění.

28. Interference na tenké vrstvě V • Důležitou aplikací interference na tenké vrstvě je pokrývání optických elementůantireflexnívrstvou. • při destruktivní interferenci, projde povrchem elementu vícesvětla, místo ~ 96% cca 99%. • vrstva funguje správně jen pro určitou vlnovou délku obvykle 550 nm. • Existuje významné odvětví, které se zabývá vývojem optických elementů, založených na reflexi na vrstvách.

29. Interference na tenké vrstvě VI • Jakou tloušťkutmá mítantireflexní vrstva MgF2 s indexem lomu nv = 1.38na skle ns= 1.5, aby pro zelený paprsek s vlnovou délkou 0=550 nm došlo při odrazu k destruktivní interferenci? • Oba odrazy jsou na rozhraních do opticky hustšího prostředí a otáčí se při nich fáze stejně, čili toto otočení nemusíme uvažovat. Potom se délka průchodu vrstvou (tam a zpět) musí rovnat lichému násobku poloviny vlnové délky, tedy: 2t = (2m+1) v/2 pro m = 0 t = v/4 = 0/4nv = 99.6 nm

30. Difrakce I • Vlnová teorie předpovídá, že vlny se ohýbají kolem hran překážek a interferují ve stínuza nimi. • Teprve po pozorování difrakce byla plně uznána vlnová povahasvětla. • Hlavní myšlenky jsou opět založeny na Huygensově principu.

31. Difrakce II • Uvažujme difrakční obraz způsobený jednou úzkou a (velmi dlouhou) štěrbinou s šířkoua. • Každý bod štěrbiny je zdrojem rovinných vln, které se skládají na vzdáleném stínítku za ní. • Nalezněme podmínky pro konstruktivní a destruktivníinterferenci:

32. Difrakce III • Podmínkapro první minimum je: sin  = /a • Vlna vycházející z bodu v polovině štěrbiny bude posunuta o /2proti vlně vycházející od spodního okraje. Tyto vlny jsou v protifázi a tedy se vyruší. • Podobně pro každý bod v horní polovině štěrbiny existuje v polovině dolní, takový bod že vlny, vycházející z obou bodů se navzájem vyruší.

33. Difrakce IV • Podmínkapro první maximum je: sin  = 3/2 /a • Vlny vycházející ze dvou sousedníchtřetin se sice vzájemně vyruší, ale zůstává nevyrušené záření z třetiny další. Proto má intenzita maximum. • Podmínkypro maxima a minima vyšších řádů by se získaly obdobně.

34. Difrakce V • Pozor podmínky jsou opačné proti podmínkám na dvojštěrbině. • K výpočtům intenzit je možné opět využít fázorů. • Štěrbinu můžeme rozdělit na velmi tenké proužky šířky ya najít fázový posun vln vycházejících ze sousedních proužků:  = 2/ ysin .

35. Difrakce VI • Výsledná intenzita bude druhou mocninou fázoru, který vznikne složením malých fázorů. • V případě minim zkompletujífázory celý kruh, takže součet je nula.Jinými slovy: ke každému fázoru existuje opačný fázor, který se s ním vyruší. • V případě maxim je součet fázorů maximální.

36. Difrakční mřížka I • Jedná se v principu o mnohoparalelních štěrbin (vrypů). V současné době lze vyrobit mřížky s velkou hustotou štěrbin, řádově 104 na centimetr, které fungují na odraz i na průchod. • Podmínka pro hlavní maxima je stejná jako u dvojstěrbiny : • sin = m/d kde dje vzdálenost sousedních vrypů

37. Difrakční mřížka II • Maxima na difrakčním obrazu vytvořeném mřížkou jsou mnohem ostřejší a užší oproti maximům vytvořeným dvojštěrbinou, i když leží na stejných místech. • Pro vysoká maxima je nutné, aby byly přesně vefázi i vlny ze vzdálených štěrbin. I malý rozdíl způsobí destruktivní interferenci.

38. Difrakční mřížka III • Difrakční mřížky se mohou použít k spektrálnímu rozložení světla (záření). Mřížkové spektrometry jsou lepší než hranolové, protože mají lepšírozlišení a lineárníodezvu. • To má významný vliv pro spektroskopii.

39. RTG Difrakce I • RTG paprsky jsou EMA záření s vlnovou délkou řádově 10-10m. • Index lomu pro tyto vlnové délky je prakticky 1. • Vyrobit difrakční mřížku s dostatečně blízkými vrypy nelze. Jako difrakční mřížka však mohou sloužit krystalovéroviny,na kterých leží atomy nebo molekuly. • Podmínku pro maxima vyjadřuje Braggova rovnice 2dsin = m

40. RTG Difrakce II • Polohamaxim tedy nese informaci o krystalové struktuře zkoumané látky. • Další informace, která se interpretuje složitější dynamickouteorií, je v intenzitách. • Metody, založené na difrakci RTG záření, jsou důležité pro určování struktury látek. Existují rozdílné techniky pro monokrystaly, prášky i roztoky.

41. Rozptyl I • Každý atom interaguje se elektromagnetickým zářením (světlem): Zhruba si lze představit, že se každý jeho elektron rozkmitá a stává se bodovým zdrojem záření. To poté interferuje podle rozložení elektronové hustoty. Je to obdoba Huygensova principu ve vakuu, které je ovšem homogenní. • Protože atomy mohou být různé a různě seskupeny, bude existovat jistá superpozice vln i u méně uspořádaných struktur. Bude ale pozorovatelná jen v v malých úhlech v blízkosti primárního paprsku.

42. Rozptyl II • Rozptyl nese důležité strukturní informace • Intenzita rozptylu v atmosféře se chová jako 1/4: • Nebe je modré, protože modráserozptyluje nejvíce. • Zapadajícíslunce je červené protože modrá část spektra se rozptýlí a červenáprojde. Ze stejného důvodu je pro koncovásvětla automobilů zvolena červená barva.

43. Vlnová omezení geometrické optiky I • Obraz vytvořený například čočkou je ve skutečnosti superpozicí difrakčních obrazů. Projeví se to například tím, že skutečný obrazem malého boduneníbod, ale difrakčníkroužky. • Vlnovévlastnosti světla se projevují při velkémzvětšení nebo malýchrozměrech optického systému.

44. Vlnová omezení geometrické optiky II • Rozlišení optického systému je zhruba (úhlová)vzdálenost dvou bodů, které jsme ještě schopni rozlišit. • Uvažujeme-li vlastnosti difrakčních obrazců musí maximum, vytvořené prvnímbodempadnout do minima, vytvořeného bodemdruhým.

45. Fresnelovy vzorce I • Interakci elektromagnetického záření s hmotou si můžeme zjednodušeně představit tak, že elektrické pole příchozího záření rozkmitává elektrony v látce. • Směr jejich kmitání odpovídá směru elektrické intenzity procházejícího záření a amplituda kmitů je úměrná velikosti této intenzity. • Kmitající elektrony jsou potom zdrojem nového elektromagnetického záření. Jeho elektrická intenzita závisí na průmětu amplitudy kmitajících elektronů do kolmice ke směru odkud záření pozorujeme, nebo-li průmětu směru šíření do směru pozorování.

46. Fresnelovy vzorce II • Princip odvození ukážeme na jednoduchém případě, kdy paprsek s jednotkovou amplitudou dopadá z vakua na rovinné rozhraní jisté transparentní látky pod určitým úhlem i vzhledem k normále vytyčené v bodě dopadu. Jeho část se odrazí pod úhlem r = i a část projde do druhého prostředí a láme se pod úhlem t. • Všechny tři paprsky leží v rovině dopadu RD (PI). • Uvažujme nyní zvlášť paprsek polarizovaný kolmo k rovině dopadu KORD( zvaný též ,s, senkrecht, sagittal nebo TE) a paprsek polarizovaný v rovině dopadu PARD(zvanýtéž ,p nebo TM). Složením těchto paprsků můžeme dostat paprsek s libovolnou polarizací.

47. Fresnelovy vzorce III • Pro polarizaci KORD budiž a amplituda prošlého záření a b je amplituda záření odraženého. • Pro polarizaci PARD bude A amplituda prošlého a B amplituda odraženého záření. • Uvažujme nejprve odraženýpaprsek. Jeho elektrické pole v každé polarizaci je úměrné amplitudě kmitů prošlého záření. Podstatným rozdílem mezi oběma polarizacemi je, že z každého směru je vidět celý kmit KORD tedy b~ a , ale uPARDzávisí na směrupozorování a do směru odraženého paprsku B ~ A cos(i+t)

48. Fresnelovy vzorce IV • Úměru můžeme napsat v KORD jako b =a a v PARD jako B =A cos(i+t), přičemž konstanta je stejná. Potom: • .

49. Fresnelovy vzorce V • Paprsek v látce v původním směru nepokračuje, čili má nulovou amplitudu. Kmity elektronů tedy vyruší původní paprsek a amplituda viděná z tohoto směru tedy musí být pro obě polarizace rovna -1. Podobně jako v předchozím případě tedy v KORD -1 = a a v PARD -1 = Acos(i-t) a konstanta  je stejná.Potom: • .

50. Fresnelovy vzorce VI • A s použitím [1] : • . • Tato rovnice ilustruje zajímavou metodu na polarizování světla. Když totiž úhly splňují tzv. Brewsterovu podmínku (i + t) = 90°, je B = 0(v PARD) a tedy veškeré odražené světlo polarizováno jen v rovině KORD.