techniques opératoires

1. techniques opératoires

4. Les techniques posées

5. matériel pour travailler le sens des opérations

6. l'addition

7. A B a+b a Addition aspects mathématiques • Aspect cardinal : A et B ensembles finis disjoints cardinal (AB) = cardinal (A)+cardinal (B) • Aspect ordinal (surcomptage) l’entier a+b est celui obtenu en comptant b fois 1 après a

8. Addition : programmes • l'addition posée est apprise au CP, avec des sommes de deux nombres à 2 chiffres, d'abord sans, puis avec retenue • les élèves auront déjà été confrontés à des situations additives : ils savent déjà additionner sur leurs doigts ou dans leur tête dans des cas simples (somme de deux nombres à 1 chiffre), et la technique posée permet d'effectuer des calculs plus difficiles.

9. addition : manipulation • situation avec le matériel distribué rassembler 24 points et 37 points pour déterminer la somme totale de points • comment avez-vous fait ? • quelles propriétés mathématiques y a-t-il derrière la manipulation effectuée ? • posez maintenant l'opération que vous avez faite : la technique correspond-elle à la manipulation ?

10. Addition : technique poser et effectuer 24 + 37 2 4 + 1 7 1 2 4 + 1 7 11 unités et 3 dizaines = 1 unité et 4 dizaines = 41

11. la numération décimale (position, échange) • les tables d'additions Addition : connaissances nécessaires 1 2 4 + 1 7 4 1

12. la soustraction

13. A B Soustractionaspects mathématiques • Aspect cardinal : A et B ensembles et B inclus dans A card (pas dans B) = card(A) – card(B) • Aspect ordinal : Décomptage : on enlève b fois 1 à partir de a a - b a

14. Soustraction posée : programmes • la soustraction posée est apprise au CP, sans retenue. • on soustrait toujours le plus petit nombre du plus grand (le cas du résultat négatif ne sera vu qu'au collège) • il existe plusieurs techniques utilisées en France.

15. soustraction : manipulation • situation avec le matériel distribué Vous avez 34 points (3 fois 10 points et 4 fois 1 points), vous devez en retirer 16 et déterminer combien il en reste • comment avez-vous fait ? • quelles propriétés mathématiques y a-t-il derrière la manipulation effectuée ? • posez maintenant l'opération que vous avez faite : la technique correspond-elle à la manipulation ?

16. Soustraction : technique française poser et effectuer 34 - 16 Je veux retirer 16 de 34 Je n'ai pas assez d'unités, donc je donne 10 unités et je reprendrai 1 dizaine en plus • 3 14 • 11 6 • 1 8

17. Soustraction : technique française • pour la retenue : s'agit-il du même type d'échange que dans l'addition ? • ici il s'agit d'une méthode reposant sur l'écart constant (on ne modifie pas une soustraction en ajoutant une même quantité aux deux termes) 34 – 16 = (34 + 10 unités) – (16 + 1 dizaine) • 3 14 • 11 6 • 1 8 difficile à justifier sans le recours à l'algèbre il s'agit d'une situation de différence plus que de retrait

18. Jean a 62 € : Paul a 38 € : ? méthode de soustraction posée à la française : exemple de situation avec des euros 6 2 - 3 8 Quelle est la différence entre les deux sommes d’argent ?

19. Éric donne 10€ à Jean Jean a 62 € : 6 2 - Paul a 38 € : 3 8 ? 1 1 Éric donne 10€ à Paul Jean et Paul ont chacun 10€ de plus. La différence n’a pas changé. La différence n’a pas changé

20. 6 2 1 - Paul a 38 € : 3 8 1 Jean a 62 € : 2 4 La différence vaut : 24 €

21. ? que fait-on réellement pour retrancher 38€ de 62€ ? Jean a 62 € : 6 2 Jean doit donner 38 € à Paul. - 3 8 Combien restera-t-il d’argent à Jean ?

22. Jean a 62 € : 5 6 2 1 Jean doit donner 38 € à Paul. - 3 8 Combien restera-t-il d’argent à Jean ? Jean va faire de la monnaie.

23. Argent de Jean : 5 6 2 - 3 8 2 4 1 Jean donne 38 € à Paul : Argent de Jean à la fin :

24. Soustraction : technique anglaise poser et effectuer 34 - 16 Je veux retirer 16 de 34 Je n'ai pas assez d'unités, donc je "casse" une des 3 dizaines • 23 14 • 1 6 • 1 8

25. Soustraction : technique anglaise • ici on opère un échange 1 contre 10 : on échange 1 dizaine contre 10 unités (dans l'addition avec retenue, on opère un échange 10 contre 1). • 23 14 • 1 6 • 1 8 mais que se passe-t-il s'il y a une zéro dans le nombre du haut ?

26. Soustraction : technique anglaise • dans ce cas, on emprunte 1 dizaine aux 3 centaines, donc aux 30 dizaines du nombre du haut • 2 9 • 3 O 14 • 1 4 6 • 1 5 8 travail préalable nécessaire sur chiffre des dizaines et nombre de dizaines

27. Soustraction : comparaison des deux méthodes autre possibilité : l'addition à trou (= calcul du complément)

28. Soustraction : verbalisation • la verbalisation de la technique joue un rôle important : • "6 ôté de 14" (soustraction) • ou "de 6 pour aller à 14" (complément) • 23 14 • 1 6 • 1 8 • 3 14 • 11 6 • 1 8

29. Il y a deux types d'échanges à travailler : • 10 unités contre 1 dizaine (addition) • 1 dizaine contre 10 unités (soustraction à l'anglaise) Les retenues et les échanges

30. 10 unités contre 1 dizaine • Demander d'écrire la somme totale représentée par un tas de billets, en essayant de changer la monnaie de manière à avoir le moins de pièces et de billets possible. • Donner des jetons de 1 et de 10, avec un petit nombre de jetons de 1, les élèves gagnent des jetons en lançant un dé par exemple. Lorsque les jetons de 1 viennent à manquer, il faut en échanger dix contre un jeton de 10 pour pouvoir continuer à jouer Les retenues et les échanges

31. 1 dizaine contre 10 unités • Faire la monnaie • Partager 12 (un jeton de 10 et deux jetons de 1) en deux parts égales Le lien peut-être fait avec les unités de mesure usuelles Les retenues et les échanges

32. la progression se fait sur : • le fait de devoir poser ou seulement effectuer l'opération • la présence ou non de retenues • la taille des nombres • le nombre de nombres pour l'addition • le fait que les nombres aient ou non le même nombre de chiffres • la présence d'un zéro (surtout pour la soustraction) • la nature des nombres (décimaux à partir du CM1) Addition et soustraction : quelle progression ?

33. Evaluations en CE2 - additions posées - 530 : 76,5% - 420 ou 430 ou 520 : 6,3% - Autre : 13% • 608 : 88,4% • Autre : 10,1% 91,5%

34. Evaluations en CE2 - soustractions posées 16 : 22,1% 24 : 24,7% Autre : 39% 16 : 30,3% 24 : 20,2% Autre : 44,1%

35. quelques exemples d'erreurs d'élèves le zéro ne sert à rien (comme dans l'addition) ou bien : on enlève toujours le plus petit chiffre du plus grand, (puisqu'on enlève toujours le plus petit nombre du plus grand)

36. quelques exemples d'erreurs d'élèves soustraction à la française : confusion entre les différentes retenues : celles du bas doivent être additionnées au chiffres du bas, et non considérées comme des chiffres de l'ordre du dessus

37. la multiplication

38. Multiplication : programmes • la multiplication est introduite dès le CE1 (produit par un nombre à 1 chiffre), puis au CE2 (produit par un nombre à 2 chiffres ou plus). • la multiplication est introduite par le biais de l'addition répétée (3 fois 5 c'est 5+5+5) • une seule technique est enseignée en France

39. Multiplicationaspects mathématiques multiplication introduite comme une addition répétée un certain nombre de fois : 5 fois 8 c'est 8 + 8 + 8 + 8 + 8 problème : les élèves ont du mal à passer de l'addition (qu'ils connaissent et maîtrisent déjà) à la multiplication (qui est nouvelle)

40. Multiplicationaspects mathématiques multiplication introduite comme une addition répétée un certain nombre de fois : 5 fois 8 c'est 8 + 8 + 8 + 8 + 8

41. Multiplicationaspects mathématiques • pour passer de l'addition répétée à la multiplication, on peut s'appuyer : • sur la commutativité : 10 fois 3, c'est aussi 3 fois 10 • sur la calculatrice : ici c'est un outil de calcul moins pertinent que le calcul à la main

42. multiplication : manipulation ? • poser et effectuer 23 x 47 • trouver une situation avec le matériel distribué : - quelles sont les propriétés mathématiques qui sont mises en oeuvre dans la multiplication posée ? - quel problème avec les points pourrait-on proposer qui amène les élèves à une manipulation qui corresponde à la technique posée ?

43. 2 unités et 4 dizaines Rappels sur la multiplication Si on sait combien vaut 4 x 6, alors on sait calculer 4 × 60 car 4 fois60 c’est 4 fois six paquets de 10 donc 4 fois 60 c’est 24 paquets de 10 donc 4 × 60 vaut 240 Multiplication d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre : Combien vaut 3 fois 42 ? 42 c’est :

44. 3 fois 42 c’est : Pour calculer 3 × 42 on va calculer 3 × 40 et calculer 3×2 3 x 40 c’est 3 fois 4 paquets de dix donc c’est 12 paquets de dix donc c’est 120 3 × 2 = 6 3 x 40 = 120 On a utilisé la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. 3 × 42 = 120 +6 = 126

45. Multiplication d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 2 chiffres : Combien vaut 34 x 23 ? 34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage : 23 Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 23 et 34 : 20 3 4 4×20 4×3 23 = 20 + 3 34 = 30 + 4 On aura donc quatre calculs à faire : 30×20 34 30×3 4×20 4×3 30 30×20 30×3 Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les quatre résultats trouvés.

46. 23 3 20 2 3 × 3 4 4 4×20 4×3 1 2 8 0 9 0 6 0 0 34 30×3 30 7 8 2 30×20 34 × 23 = 782 Approche de la disposition habituelle des calculs

47. 23 2 3 × 3 4 4 4 × 23 9 2 6 9 0 7 8 2 30 × 23 34 30 Comme on a appris à calculer rapidement le résultat quand on multiplie un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre, on peut aller plus vite

48. Multiplication : technique posée

49. 31 x 24 Multiplication : méthode ancienne 3 1 x 2 4 4 (unité x unité) 1 2 0 (unité x dizaine) 2 0 (dizaine x unité) 6 0 0 (dizaine x dizaine) 7 4 4 unité x unité = unité unité x dizaine = dizaine 14 dizaine x dizaine = centaine 6 total = 4 unités + 14 dizaines + 6 centaines = 744

50. Multiplication : connaissances nécessaires • numération (décomposition, échange) • tables de multiplication • multiplication par 10, 100, 1000 • addition posée rupture avec les opérations précédentes ? • on a plusieurs opérations en une • difficulté de la gestion des retenues successives • mélange entre les différents ordres de grandeur (unités multipliées avec les unités mais aussi avec les dizaines)