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1. 高 等 数 学 许香敏 中国石油大学理学院数学系 Email: xux@alumni.sfu.ca 课程网页：www.xxu.mathgeek.us/CalculusI

2. 绪 论 《高等数学》的主要内容是微分和积分，因此 《高等数学》又称《微积分》　（Calculus） 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最伟大的一个创造。 正因为如此《微积分》是世界各国各大学几乎各专业学生必修的一门重要的基础理论课。

3. 《高等数学》是学生进入大学最先接触的课程之一。《高等数学》是学生进入大学最先接触的课程之一。 众所周知，数学具有高度的抽象性，严谨的逻辑性和广泛的应用性三大特点。 相对于中学时期学习的初等数学而言，高等数学更是如此。 大学教学与中学教学相比，无论在内容上还是教学方式上都有很大的区别。比如中学需要讲一个小时的内容现在可能十分钟就结束了。

4. 如果毫无思想准备，那么 高度的抽象性 --- 望而生畏 严谨的逻辑性 --- 枯燥无味 广泛的应用性 --- 数学无用论 • 本绪论课作为整个高等数学学习的起点： • 介绍高等数学的研究对象、内容和工具。 • 把高等数学的主要内容和思想用一条线穿起 • 来给大家一个整体的印象； • 明确课程的地位和学习高等数学的意义和方法。

5. 内 容 一、高等数学的研究对象和基本方法 二、学习高等数学的意义和基本方法

6. 数学的研究对象 现实世界中的数量关系（数）和空间形式(形) • 数学研究的对象是 • 数学研究的对象--数和形，在数学发展的不同时期是不断延伸和变化的，据此可以将数学的发展划分为三个阶段。 要了解高等数学的研究对象及高等数学在整个数学学科中的地位，有必要首先了解数学发展的三个阶段。

7. 数学发展的三个阶段 • 第一阶段：常量数学时期 从原始人时代到17世纪中叶（1637年） 数学研究的数是常数和常量 数学研究的形：孤立、不变的规则几何形体。 初等数学研究的主要内容 （中学学习的内容，解析几何除外）。

8. 引例一 壁虎吃蚊子 　通过的路线 自然界中到处 渗透着数学的 思想和法则。

11. 数学发展的三个阶段 • 第二阶段：变量数学时期 变量数学时期是从17世纪中叶到19世纪20年代。这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科。 现代大学数学课程(非数学专业)的主要内容。

12. 引例二 行星的运动 Kapler三大定律 归纳总结 牛顿第二定律 理论分析 微积分

13. 数学发展的三个阶段 • 第三阶段：现代数学时期 现代数学时期是指19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。 大学数学专业的学习内容 非数学专业也要具备其中某些知识。

14. Mobious Belt

15. Clein Bottle

16. 高等数学在大学教育中所处的地位是由其本身的特性及其在数学科学中的地位决定的。高等数学在大学教育中所处的地位是由其本身的特性及其在数学科学中的地位决定的。

17. 问题：乌龟和兔子相距100米, 乌龟在前兔子在后,兔子奔跑速度是乌龟的10倍. 它们同时起跑, 兔子永远追不上乌龟. 为什么呢？当兔子跑完这100米时, 乌龟同时向前爬了10米; 当兔子跑完这10米时, 乌龟同时又向前爬了 1米; 当兔子跑完这1米时, 乌龟同时又向前爬了10厘米; …… 因此，兔子永远追不上乌龟。 在实际生活中, 运动快的物体尽管是在后面, 它迟早会跑到运动慢的物体的前面去的. 显而易见, 这个问题的结论是错的. 但如何从理论上说明它是错呢？

18. 无限！再没有其它的问题如此深刻地打动过人类的心灵。无限！再没有其它的问题如此深刻地打动过人类的心灵。 希尔伯特（德国数学家） 数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。 卡迈克尔（美国数学家）

19. 高等数学的基本工具-极限 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

20. 高等数学的基本工具-极限 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

21. 高等数学的基本工具-极限 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

22. 高等数学的基本工具-极限 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

23. 高等数学的基本工具-极限 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 以直逼曲是微积分的核心思想

24. 正多边形边的个数：

25. 2.《庄子 天下篇》： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 第一天剩下的长度为: 第二天剩下的长度为: 第 n 天剩下的长度为:

26. 极限 1. 割圆术 无穷大 2. 截杖问题 无穷小 无穷大有多大？ 无穷小有多小？ 实数轴上整数多还是有理数多? 正确理解极限和无穷大、无穷小的概念 是学好高等数学的第一步。

27. 对于牛顿发明的微积分，爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱这样说： “我所非议的不是您的结论，而是您的逻辑和方法；您是怎样进行证明的？您所熟悉的对象是什么？关于它们您的表述是否清楚？您依据的原理是什么？它们是否可靠？您是如何应用它们的？

28. 基本例一 变速直线运动的瞬时速度 设有一质点作变速直线运动, 已知该质点任意时刻的位移 时刻的的瞬时速度 求: 该质点在

30. 分析： 1. 若质点作匀速直线运动 变量的微小变化 2. 若质点作变速直线运动 由于速度是连续变化的, 在较短时间内速度变化不大 瞬时速度 可以近似地用平均速度 代替 所以质点在 时刻的瞬时速度

31. 于是当 时, 导数是微分学 的核心概念。 越小, 近似的程度越好 无论何种学科, 只要涉及“变化率” 就离不开导数. 的极限即为 位移函数的导数

32. 基本例二 变速直线运动的位移 设有一质点作变速直线运动, 已知该质点从时刻 a 到时刻 b 这段时间上任意时刻的速度： 求: 质点在这段时间内通过的位移

33. 分析： 1. 若质点作匀速直线运动 2. 若质点作变速直线运动 a b 在每一个很小的时间段 上可以用某一点 的瞬时速度 近似该时间段上的平均速度。 由于速度是连续变化的, 在很短的时间内速度变化不大，所以质点在每一个时间段上的位移

34. 于是当 时, 积分是积分学 的核心概念。 质点在整个[a,b]时间段上的位移 a b 无论何种学科,只要涉及“变化量的积累”都离不开积分. 越小, 近似的程度越好 的极限即为质点在该时段内通过的位移。 速度函数 的积分

35. 分割 步骤一：将区间[a, b]任意划分为n个小区间 步骤二：任取 近似 步骤三：将每一小段上的位移相加求出总位移 求和 步骤四：令 取极限

36. 函数的局部性质 针对同一个问题的两个方面 问题一：求任一时刻的速度, 位移随时间的变化率。 问题二：求某一时段上位移总的改变量。 函数的整体性质 函数是高等数学研究的基本对象 分析性质（连续、可导、可积等） 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）

37. 问题一：由整体到局部，求极限 在微小局部以均匀代替非均匀进行近似。 通过极限将近似值转化为精确值。 问题二：由局部到整体，求极限 从相互联系的角度，以运动的、变化的观点来研究问题，通过极限建立桥梁 极限是高等数学研究问题的基本工具。

38. 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，是高等数学的精华和灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，是高等数学的精华和灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。

39. 应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，产生了微分学。应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，产生了微分学。 应用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。

40. 求曲线 在点 处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+xy0+y) 作割线 MN 设其倾角为 j 观察切线的形成 当x0时割线 MN 的斜率趋向于切线 MT 的斜率

41. 求由 x轴， 所围曲边三角形的面积 A 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 阶梯形面积和与曲边三角形面积的关系．

42. 本 段 小 结 函数是高等数学的主要研究对象 极限是高等数学的主要研究工具 微分和积分是高等数学的主要内容 以直代曲，以匀代非匀是微积分的核心思想

43. 二、学习高等数学的意义和方法 初等数学与高等数学的根本区别：初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内用孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。 高等数学用发展的、运动的、辨证的观点研究变 量及其依赖关系。极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

44. 微积分解放了人类的思想，使得人类开始有能力把握运动和过程。微积分给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。正是因为有了微积分，才有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。微积分解放了人类的思想，使得人类开始有能力把握运动和过程。微积分给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。正是因为有了微积分，才有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

45. 现代科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。这些研究越来越多地要依靠理论分析和设计。而要进行理论分析和设计则必然需要使用数学工具。学习高等数学将为进一步学习其他专业基础课和专业课提供必不可少的数学基础、工具乃至语言.现代科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。这些研究越来越多地要依靠理论分析和设计。而要进行理论分析和设计则必然需要使用数学工具。学习高等数学将为进一步学习其他专业基础课和专业课提供必不可少的数学基础、工具乃至语言.

46. 微积分学从简单的定义和性质出发，用严谨的推微积分学从简单的定义和性质出发，用严谨的推 理方法导出一系列的定理和结论，进而构成了一 门学科 ——一个完整的演绎系统。 学习微积分，能有力提高学生的抽象思维、逻辑 推理等理性思维能力。在大学生的素质培养中， 学好包括微积分在内的数学课程具有不可替代的 重要作用。

47. 微积分的课程特点 • 高度的抽象性 数学是研究客观世界的数量关系和空间形　 式的科学。这种形式和关系已脱离了它们的具 体背景和自然形态，以统一的数学符号、数学 公式和数学定理表述出来。以微积分中的几个 最基本的概念为例： 渐变现象  连续性的概念； 各类变化率  导数概念; 各类积累问题  定积分概念

48. 从简单的定义和性质出发，用严谨的推理方法导出一系列的定理和结论，构成了一个学科 ——一个完整的演绎系统 • 严谨的逻辑性和完整的系统性 • 广泛的应用性 微积分的基本概念、基本方法和基本结论已经渗透到其他的数学学科，几乎所有的工程学科，物理力学，管理学科，经济学科和生物、医学学科等等

49. 学好微积分,态度是关键 树立一个高的目标, 不仅掌握有关知识，更要学习思想方法 要抓早抓紧，不要掉链子 要有勤奋、踏实的学风, 多思、多问、多练 兴趣是最好的老师

50. 关于学习方法的一些建议 一、抓好”三基”(基本概念、基本理论、基本运算)的学习，并根据“三基”的不同特点，采取有针对性的不同方法进行学习． 对概念要 切实弄懂，还要适当记忆