Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

1. Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções Atenção: Este conteúdo foi disponibilizado de acordo com uma licença Creative Commons. Fique atento às regras da licença ao utilizá-lo Atualizado em Fevereiro de 2011

2. Conjuntos • Wikipedia: • Coleção de elementos Exemplos: Conjunto de cidades da RMC: Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo. Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9: 4, 6 e 8

3. Conjuntos numéricos • A={0, 2, 4, 6, 8, ...} • B={0, 2, 4, 6, 8, 10} • C={1, 3, 5, 7, 9, ...} • D={3, 5} • E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}

4. Conjuntos importantes • Conjunto vazio: • Conjunto unitário: • Conjunto Universo (U) • Formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.

5. Relações entre conjuntos 1 pertence a A {1} está contido em A {3} não está contido em B B está contido em A A não está contido em B O conjunto vazio está contido em B

6. Conjunto das partes • É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado. • B={1, 2, 3} • P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

7. Conjunto das partes • Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes: • Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento • {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos • {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos

8. Conjunto das partes • Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n

9. Operações com conjuntos

10. Operações com conjuntos:Intersecção • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A  B = {x/xA e x  B} (Intersecção) • A  B = {0, 2} A 0 2 B 1 3 4 5 6

11. Operações com conjuntos:União • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A  B = {x/xA ou x  B} (União) • A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6} A 0 2 B 1 3 4 5 6

12. Operações com conjuntos: Diferença • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A - B = {x/xA e xB} (Diferença) • A - B = {1, 3, 4} A 0 2 B 1 3 4 5 6

13. Operações com conjuntos: Complementar • Caso especial: um conjunto está contido no outro: • A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos: • O complementar de B em relação a A: A B 0 1 2 5 6 A  B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A  B = {0, 1, 2} = A A-B={ } B-A={5, 6}

14. Operações com conjuntos: Produto cartesiano • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano) • AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)} • Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20 • Par ordenado: (2, 0)(0, 2)

15. Representação no plano cartesiano A={0, 1 ,2, 3, 4}B={0, 2, 5, 6} B • Atenção para: • AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical • (0,2) e (2,0) são pontos distintos • Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação! A

16. Conjuntos numéricos

17. Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Naturais (N)

18. Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Inteiros (Z)

19. Conjunto numéricos Conjunto dos Números Racionais (Q)

20. Conjuntos numéricos • Representação decimal de números racionais: • A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b. • Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:

21. Conjunto numéricos Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir) Números decimais que não admitem representação fracionária Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas

22. Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Reais (R) N Z Q I

23. Intervalos numéricos (reais)

24. -3 Intervalos numéricos (Reais) (-3, +) = ]-3, +) ={x   / x > -3} [-3, +) = [-3, +) ={x   / x  -3} -3

25. -3 4 Intervalos numéricos (Reais) (-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x   / -3 < x < 4} (-3, 4] = ]-3, 4] ={x   / -3 < x  4} -3 4

26. Relações entre conjuntos

27. Relações entre conjuntos • Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • R = {(x,y)AxB / x+y>4} • R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2); (3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)} • N(R)=12

28. Relações entre conjuntos • Representação gráfica: • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} • R = {(x,y)AxB / x+y>4} 0 1 2 3 4 0 2 5 6

29. Relações entre conjuntos Relações entre conjuntos • Representação gráfica: • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} • R = {(x,y)AxB / x+y>4} 0 1 2 3 4 0 2 5 6

30. Representação no plano cartesiano - Relações Representação no plano cartesiano - Relações A={0, 1 ,2, 3, 4} B={0, 2, 5, 6} B R= {(x,y)AxB / x+y>4} Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos. A

31. Relações especiais • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos: • R = {(x,y)AxB / y = 2x} • R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)} • N(R)=5

32. Relações especiais Relações especiais • Representação através de diagrama: • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11} • R = {(x,y)AxB / y = 2x} 0 2 4 6 8 11 0 1 2 3 4 O que há de especial nesta relação?

33. Relações especiais Relações especiais • O que há de especial?Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio) 0 2 4 6 8 11 0 1 2 3 4 ConjuntoImagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

34. Por que essa característica é especial? A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.

35. Funções: definição • Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B. • Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.

36. Funções: Notação • Exemplo: • Dada a função f:N N, definida para todo natural n  N, tal que f(n)=2n+1 • 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar! • Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1) • Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3) • Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5) • Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)

37. Representação no plano cartesiano - Funções A={0, 1 ,2, 3} B={0, 2, 4, 6} B R= {(x,y)AxB / y=2x} A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos. A

38. Funções - Classificação Injetora, Sobrejetora e Bijetora

39. Função Injetora • É a função na qual: x1  x2 então f(x1)  f(x2) 0 2 4 6 8 11 0 1 2 3 4 ConjuntoImagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

40. Função Sobrejetora • É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im 0 2 4 6 0 1 2 3 4 ConjuntoImagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

41. Função Bijetora • É a função que é injetora e sobrejetora. 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 ConjuntoImagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio