1 / 21

Fibonacciho postupnosť

Fibonacciho postupnosť. Michal Zajaček MFF UK. Postupnosti – z ákladné informácie. Zobrazenie z N do R: Nekone čná, konečná postupnosť Def. obor: N, obor. hodnôt:R, členy post upnosti Graf postupnost i:. Zápis postupnosti. všeobecne: Explicitne: napr, {n}, {1/n}, {(-1) n }

afi
Download Presentation

Fibonacciho postupnosť

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Fibonacciho postupnosť • Michal Zajaček • MFF UK

  2. Postupnosti – základné informácie • Zobrazenie z N do R: • Nekonečná, konečná postupnosť • Def. obor: N, obor. hodnôt:R, členy postupnosti • Graf postupnosti:

  3. Zápis postupnosti • všeobecne: • Explicitne: napr,{n}, {1/n}, {(-1)n} • Rekurentne: a1 =1 an+1=an2+1,

  4. Postupnosti – pojmy a vety • Limita postupnosti (def., ozn.A) konverguje diverguje • Veta: Konvergentná postupmosť je ohraničená. • Veta: Monotónna postupnosť má limitu. • Veta: Ohraničená monotónna postupnosť konverguje. • Hromadný bod postupnosti, vybraná postupnosť • Veta: Číslo a je hromadný bod postupnosti vtedy a len vtedy, ak • existuje vybraná postupnosť , ktorá konverguje k a. • Weierstrassova veta, Bolzano-Cauchyho podmienka konvergencie, • Heineova veta... • základné rozdelenie: aritmetická postupnosť (diferencia), geometrická • postupnosť (kvocient), aritmeticko-geometrická postupnosť

  5. Zlatý rez Feidias (495-420 BC)

  6. Trochu histórie • Feidias (490-430 BC) – Parthenon-sochy • Platón (427-347 BC) – Timaeus – Platónske telesá • Euclides (3 stor. BC) – Základy • Fibonacci (1170-1250) – Liber Abaci • Luca Pacioli (1445-1517) – De Divina Proportione (O Božských pomeroch – 1509), knihu ilustroval Leonardo da Vinci • Johannes Kepler (1571-1630) – drahokam • Charles Bonnet (1720-1793) – fylotaxia • Martin Ohm (1792-1872) – „goldener Schnitt“ • Roger Penrose (nar. 1931) – zlatý rez v aperiodických dlaždičkách - kvázikryštály

  7. Zlatý rez v umení, prírode, architektúre

  8. Zlatý rez v geometrii • Zlatý pomer tvoria uhlopriečka a strana pravidelného päťuholníka (využitie Ptolemaiovej vety)

  9. Zlatá špirála • Postupným skladaním štvrťkružníc, ktorých polomery sú v zlatom pomere (dĺžky strán opísaných štvorcov tvoria Fibonacciho postupnosť).

  10. Zlatý kruh • Plochy výsekov zlatého kruhu sú v zlatom pomere, ak stredový uhol menšieho z nich je približne 137,50

  11. Zlatý kváder • Pomer strán „zlatého kvádra“ je resp. . Z jeho šiestich stien sú štyri „zlaté obdĺžniky“. fi-1

  12. Zlatý trojuholník • Jedná sa o rovnoramenný trojuholník, pričom keď rozdelíme uhol pri vrchole C na polovicu a získame bod X, trojuholník CXB je podobný s pôvodným trojuholníkom • Trojuholníky AXC (tupouhlý) a CBX (ostrouhlý) sa nazývajú Robinsonove trojuholníky, používajú sa na konštrukciu Penrosových dlaždíc

  13. Konštrukcia zlatého rezu • Bodom A vedieme kolmicu na úsečku AB • Na nej zostrojíme bod X tak, aby sa veľkosť AB rovnala AX • Zostrojíme bod Z ako stred úsečky AX • Narysujeme úsečku ZB • Na polpriamke ZA zostrojíme bod Y tak, aby sa ZY rovnalo ZB • Na úsečke AB zostrojíme bod C tak, aby sa AC rovnalo AY

  14. Fibonacciho postupnosť • Rekurentne zadaná: • Niekoľko členov: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144... • Podiel členov postupne konverguje ku zlatému rezu

  15. Leonardo z Pisy – Fibonacci(1175-1250) • Jeho otca Giulielma (Viliam) prezývali Bonacci (dobrák) – Fibonacci • Pomohol presadiť desiatkovú pozičnú sústavu • Zoznámil sa s arabskými číslicami pri obchodných cestách po stredomorí • 1202 – spísal svoje poznatky v knihe Liber Abacci – Kniha výpočtov (praktické aplikácie novej desiatkovej sústavy v účtovníctve, pri prevode jednotiek, pri počítaní úrokov a pod). • Pomocou Fibonacciho postupnosti bola vyriešená úloha o rozmnožovaní králikov – pomenoval Edouard Lucas (19. stor.)

  16. Fibonacciho čísla okolo nás • Semienka slnečnice (Helianthus maximus) sú v kvete uložené v zlatých špirálach

  17. Fibonacciho čísla okolo nás • Morský mäkkýš (Nautilus) vytvára špirálovité schránky

  18. Fibonacciho čísla okolo nás • Listy popínavých rastlín rastú tak, že pomery počtu nových listov k počtu ovinutí stonky tvoria postupnosť • Jedná sa o postupnosť čiastočných zlomkov aproximácie pomeru zlatého rezu • Osi po sebe nasledujúcich listov zvierajú vždy uhol okolo 1370 (zlatý uhol), tým je zabezpečené najlepšie oslnenie - fylotaxia

  19. Fylotaxia • Náuka o usporiadaní listov na stonke • Pomer počtu medzier medzi listami a počtom otočení pomyselnej špirály • 8:5 topoľ, vŕba, hruška • 5:3 dub, čerešňa, slivka, jabloň • 13:8 mandľovník

  20. Fibonacciho postupnosť okolo nás • Veľa kvetín má počet okvetných lístkov usporiadaný podľa Fibonacciho postupnosti, napr. väčšina sedmokrások má 13, 21 alebo 34 okvetných lístkov • Vo vrstvách šupín jedľovej šišky ich počty zodpovedajú Fibonacciho postupnosti

  21. Fibonacciho postupnosť v Pascalovom trojuholníku

More Related