1 / 23

Fibonacciho posloupnost

Fibonacciho posloupnost. Jakub Töpfer Pavel Zbytovský. Rekurentní vzorec První členy 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946, 17711,28657,46368,75025,121393, 196418,317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465, 14930352,24157817, 39088169.

simone-morris
Download Presentation

Fibonacciho posloupnost

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Fibonacciho posloupnost Jakub Töpfer Pavel Zbytovský

  2. Rekurentní vzorec • První členy0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,14930352,24157817, 39088169

  3. Vzorec pro n-tý člen • lze odvodit například pomocí vytvořujících funkcí • v praxi se pro výpočet používá spíše vyjádření pomocí matic (přesné)

  4. Zlatý řez • Poměr, pro který platí • Jiná vyjádření • Platí také zajímavý vztah

  5. Souvislost se zlatým řezem • Podíl F(n+1) / F(n) konverguje ke zlatému řezu 1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666...; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,61538... • Vzorec pro n-tý člen lze upravit

  6. Vlastnosti

  7. Vlastnosti II. • Dělitelnost 11

  8. Vlastnosti III. • Číslo N je Fibonacciho právě když je 5N2 + 4 nebo 5N2 - 4 úplný čtverec • Každé přirozené číslo n lze právě jedním způsobem zapsat jako součet

  9. Vlastnosti IV.

  10. Pythagorejské trojúhelníky • Zvolme libovolné čtyři po sobě jdoucí Fibonacciho čísla: a, b, c = a+b, d = a+2b • Pak existuje Pythagorejský trojúhelník s odvěsnami 2bc, ad a přeponou b2+c2 • Příklad: 1, 2, 3, 5. Odvěsny budou 2*2*3 = 12 a 1*5 = 5, přepona 4+9 = 13

  11. Výskyt v přírodě

  12. Výskyt v přírodě

  13. Výskyt v přírodě

  14. Fylotaxe • Pravidelné uspořádání semen nebo šupin tvořící spirály po a proti směru hodinových ručiček. • Počet spirál jdoucích po a proti směru hodinových ručiček jsou často dvě po sobě jdoucí Fibonacciho čísla.

  15. Pozorujeme, kolik listů je v jednotlivých patrech

  16. Příklady • Mějme chodbu ve tvaru obdélníka 2 x n. Kolika způsoby ji lze vydláždit pomocí dlaždic o rozměrech 2 x 1? • Kolika způsoby můžeme vyjít schodiště dlouhé n schodů, pokud vynecháváme vždy maximálně jeden schod? • Mějme v řadě Ž židlí. Na každé židli může sedět buď učitel nebo student. Žádní dva učitelé ale nechtějí sedět vedle sebe. Kolika způsoby můžeme lidi usadit? (Máme k dispozici libovolný počet studentů i učitelů.)

  17. Příklady II. • Mějme opět řadu Ž židlí. Kolika způsoby ji můžeme zaplnit pomocí párů (dva lidé vedle sebe)? Některé židle mohou zůstat volné. • Představme si, že do automatu je možné házet pouze 1Kč a 2Kč mince. Kolika způsoby můžeme zaplatit částku Č Kč? (Rozlišujeme pořadí mincí.)

  18. Zdroje informací • http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ • http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number • http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html • http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/fibonac/index.asp • http://cs.wikipedia.org/wiki/Fibonacciho_posloupnost • http://mks.mff.cuni.cz/ • Lenka Zdebová: Květ slunečnice a Fibonacciova čísla, Rozhledy matematicko-fyzikální, ročník 82, číslo 1

More Related