Ciagi Fibonacciego

1. Ciagi Fibonacciego O Fibonaccim Ciągi Fibonacciego Zagadka Fibonacciego Ciągi w przyrodzie Ciekawostka Grupa badawcza z Matematyki I LO Nowogard Opiekun: Zbigniew Michalak

2. Leonardo Fibonacci • Znany jest również jako: Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego) czy Leonardo Pisano (z Pizy). • Kupiec i podróżnik z Pizy (swoje podróże zakończył około 1200r.) • Matematyk epoki średniowiecza • Wprowadził do europy cyfry arabskie • Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego • Autor słynnego zadania o królikach • Autor „Liber Abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202r.) Kliknij aby powiększyć

3. ur. 1175r. - zm. 1250r.

4. Ciągi Fibonacciego • Ciąg liczb nazywany ciągiem Fibonacciego tworzą liczby naturalne powstałe z sumy dwóch poprzedzających je wartości. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 … Dla przykładu liczba 5 powstała poprzez dodanie 2 i 3, liczba 8 to suma 5 i 3, 13= 8+5 itd. • Jeśli będziemy dzielić kolejne liczby w sekwencji przez liczby występujące przed nimi okazuje się, że za każdym razem otrzymamy wynik oscylujący wokół niewymiernej wartość 1,61803398875….. np. 21 podzielone przez 13 daje w przybliżeniu 1,618. Dzielenie liczb z ciągu przez liczbę następną daje nam wartość 0,618…, czyli 13 podzielone przez 21 da mam w przybliżeniu 0,618. 0,618 jest więc odwrotnością 1,618. Obie te właściwości znane są w geometrii jako złoty podziałZobacz ! • Współczynnik 1,618033…. w średniowieczu został nazwany boską proporcją. Współcześnie spotyka się głównie dwie nazwy: złoty podział lub złoty środek. W algebrze oznacza się go grecką literą phi ɸ Φ= 1,618

5. Złoty podział odcinkapodział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja Złota podział polega na podziale odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ ). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całegoodcinka. Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub mnożenia A = 1,000000 cm B = 1,618033 cm C = 2,618033 cm D = 4,236067 cm wyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm. Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...

6. Zagadka Fibonacciego Ile par królików będziesz miał po roku jeżeli: • Każda para staje się płodna po 2 miesiącach, • Każda para rodzi jedna nowa parę co miesiąc, • Króliki nigdy nie umierają ? „Pewien człowiek wział pare królików i umiescił je w miejscu otoczonym ze wszystkich stron murem. Ile par królików urodzi sie z tej pary w ciagu roku, jesli załozymy, ze z kazdej pary po miesiacu rodzi sie nowa para, która staje sie płodna po upływie kolejnego miesiaca?” Liber abaci rozdział III. Rozwiązanie!

7. 1 miesiąc – 1 para 2 miesiąc – 1 para 3 miesiąc – 2 pary 4 miesiąc – 3 pary 5 miesiąc – 5 par 6 miesiąc – 8 par 7 miesiąc – 13 par 8 miesiąc – 21 par 9 miesiąc – 34 pary 10 miesiąc – 55 par 11 miesiąc – 89 par ROK – 144 pary Oto obraz graficzny pierwszych 5 miesięcy: 1 1 2 3 5 • Z warunków rozmnażana się królików wnioskujemy, że w kolejnym miesiącu liczba par królików będzie równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają, plus liczba par królików nowonarodzonych, a tych było tyle, ile dwa miesiące wcześniej. Zatem kolejna liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich. •      Stosując oznaczenie na liczbę par królików w danym miesiącu, ten wniosek można zapisać w następującej postaci: Fk=Fk-1+ Fk-2

8. Ciągi w przyrodzie Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom na tarczy słonecznika czy kwiatom kalafiora – można zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega regułom słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych spiral – pestki słonecznika czy różyczki kalafiora ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych kierunkach, np., 34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby Fibonacciego ;)

9. Ciekawostka  • Liczby Fibonacciego występuja również u człowieka, najbardziej popularnymi liczbami z ciągu Fibonaciego są 1, 2, 5. Dwie nogi, dwie ręce, pięć zmysłów, jedna głowa, pięć palców u rąk, podwójne organy: dwie nerki, dwa płuca, pojedyńcze organy - serce, wątroba itd. Zauważmy że nie znajdziemy tutaj raczej liczby 4 . Dalej

10. Ciąg Fibonacciego był stosowany przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego rozkładania rytmu. Uważa się również, że liczby Fibonacciego są proporcjami części skrzypiec budowanych przez Antonio Stradivariusa. Ze złotych propocji Fibonacciego korzystał również Leonardo da Vinci w swoich dziełach.