ZÅ‚ota liczba CiÄ…g Fibonacciego Filotaksja

1. ZłotaliczbaCiąg FibonacciegoFilotaksja

2. Złoty podział odcinka Wśród różnych możliwych podziałów odcinka na dwie części jest jeden, który już starożytni Grecy uznali za najdoskonalszy pod względem estetycznym i nazwali złotym albo boskim podziałem.

3. Złoty podział odcinka • Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim miejscu, że cały odcinek tak się ma do swojej większej części, jak większa część do mniejszej. • Stosunek długości odcinków a : x nazywamy liczbą złotą i oznaczamy grecką literą φ(fi). x a-x a x a-x x a

4. Złoty podział odcinka – cd. • Zauważmy że czyli • Stąd możemy już obliczyć wartość złotej liczby. Przekształcając ostatnie równanie otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe, którego dodatnim rozwiązaniem jest

5. φ to liczba niewymierna, więc jej rozwinięcie można podać tylko w przybliżeniu. Równość możemy zapisać jako , co oznacza, że bardzo łatwo obliczyć odwrotność złotej liczby: wystarczy zmazać 1 przed przecinkiem w jej rozwinięciu Złoty podział odcinka – cd.

6. Złoty podział odcinka – cd. Natomiast równość możemy zapisać jako co oznacza, że kwadrat liczby złotej oblicza się łatwo: wystarczy 1 przed przecinkiem zamienić na 2. Jest to jedyna liczba dodatnia o tej własności, że jej odwrotność jest o 1 od niej mniejsza, i jedyna taka, której kwadrat jest o 1 od niej większy. A zatem :

7. Wzory i zależności • złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: • dokładna wartość: • przybliżona wartość: • kwadrat złotej liczby: • odwrotność złotej liczby: • dokładna wartość: • przybliżona wartość:

8. Punkt złotego podziału danego odcinka • A jak zaznaczyć na rysunku punkt złotego podziału danego odcinka? Jeśli cały odcinek ma długość a, to naszym zadaniem jest znalezienie odpowiadającego mu odcinka długości x, który odłożymy na wyjściowym odcinku. • Wiemy, że czyli

9. Punkt złotego podziału danego odcinka – cd. Rysunek pokazuje sposób skonstruowania odcinka o długości . Wystarczy dwukrotnie go zmniejszyć i skrócić o połowę a, aby otrzymać szukany odcinek x.

10. Złota liczba jest bardzo przydatna do konstruowania różnych figur.

11. Pięciokąt foremny • wszystkie boki równe • wszystkie kąty równe, • wszystkie przekątne równe, • każda przekątna jest równoległa do jednego  boku.

12. Pięciokąt foremny D G H C E F K L A B

13. Pięciokąt foremny a złota liczba • Punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. • Przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. • Złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek p.n.e.).

14. Pentagram -foremna gwiazda pięcioramienna • pięciokąt foremny gwiaździsty • gwiazda pitagorejska • godło Bractwa Pitagorejczyków • symbol doskonałości według Pitagorejczyków.

15. Własności pentagramu • miara kąta w wierzchołku pentagramu jest równa 36º. • suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. • we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej jest złote cięcie. • złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdyoraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału.

16. Jak narysować pentagram? Sposób A • przedłużyć w obie strony boki pięciokąta foremnego,

17. Jak narysować pentagram? Sposób B • Narysować przekątne pięciokąta foremnego,

18. Dziesięciokąt foremny W dziesięciokącie foremnym stosunek promienia okręgu opisanego do długości boku jest złoty.

19. Złoty trójkąt Dziesięciokąt foremny można podzielić na 10 złotych trójkątów mających wspólny wierzchołek w środku okręgu opisanego na tym wielokącie.

20. a - b b b a Złotyprostokąt Złotyprostokąt to taki, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest złotą liczbą. Ma on ciekawą własność: prostokąt, który powstaje po odcięciu od niego największego możliwego kwadratu jest nadal złoty.

21. Powtarzając wielokrotnie operację odcinania kwadratu, możemy więc otrzymać nieskończenie wiele mniejszych złotychprostokątów.

22. Złota spirala Wpisując zaś w kolejno odcinane kwadraty ćwiartki okręgów, otrzymujemy złotą spiralę.

23. Złota spirala Kolejne punkty wyznaczające podział leżą na spirali równokątnej

24. Dwudziestościanforemny Wierzchołki trzechwzajemnie do siebie prostopadłych złotychprostokątów wpisanych w dwudziestościan foremny znajdują się w 12 wierzchołkach tego wielościanu.

25. Dwunastościan foremny Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotychprostokątów wpisanych w dwunastościan foremny znajdują się w środkach ścian tego wielościanu.

26. Złoty ułamek Ułamkiem łańcuchowym nazywa się ułamek piętrowy (skończony lub nieskończony) postaci gdzie liczby są naturalne. Gdy w miejsce wstawimy 1 zapis ten przedstawia właśnie liczbę złotą. φ

27. Złoty ułamek –cd. Ten ułamek jest nieskończony, a skoro wyrażenie znajdujące się w pierwszym mianowniku ciągnie się w nieskończoność, to jest ono identyczne z całym wyrażeniem φ. Możemy więc zapisać, że Widzimy, że φ rzeczywiście jest złotą liczbą (bo jej odwrotność jest od niej o 1 mniejsza).

28. Przykłady zastosowań Większość ludzi wśród wielu prostokątów jako „najprzyjemniejszy dla oka” wskazuje złoty prostokąt. Inne wydają się za krótkie i za grube lub za długie i za chude. Może dlatego wiele spośród prostokątnych przedmiotów, jakie nas otaczają, ma proporcje zbliżone do złotej: • okna, • fotografie, • walizki, • karty.

29. Boska proporcja fascynowała artystów różnych epok • Mistrzowie malarstwa przycinali swoje płótna w złoty prostokąt np. Botticelli, Rafael, Dali. • Boskie proporcje można odnaleźc w muzyce np. V symfonii Beethovena, sonatach Mozarta, dziełach Bartoka, Debussy’ego, Schumana, Bacha. • Ze złotej proporcji korzystali zachwyceni nią architekci.

30. W sztuce i architekturze • W starożytności Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. • Złoty podział uważali za proporcję doskonałą. • Stosowali go w architekturze i sztuce.

31. Partenon Partenon, Świątynia Ateny na Akropolu w Atenach, zbudowana w latach 448-432 p.n.e. Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się liczbą złotą (φ).

32. Egipt - Piramidy w Gizie Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

33. Także współcześnie ten kanon piękna można odnaleźć w wymiarach wielu budowli np. wieży Eifla w Paryżu, Pałacu Kultury i Nauki w Warszawie, gmachu ONZ w Nowym Jorku,.

34. Złoty podział w ludzkim ciele W ciele ludzkim, a dokładniej w ciele mężczyzny, zarówno cała postać, jak i wiele poszczególnych części podlega prawom złotego cięcia.

35. Apollo Belwederski pocięty złociście. Linia I dzieli na dwie znamienne części całą postać w "złotej proporcji", linia Ewskazuje na tenże stosunek głowy do górnej części tułowia, a linia Ozaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

36. Profil głowy Podział głowy z profilu na części charaktery-styczne daje cały szereg stosunków bardzo bliskich podziału złotego.

37. Ręka i dłoń Tu też można wskazać złote podziały.

38. Renesans • okres wielkiej fascynacji antykiem, • złota proporcja nazywana jest boskąproporcją (divina proportio), • powstaje traktat matematyczny „O boskiej proporcji” Luca Pacioli (1509r.),

39. Ilustracje do traktatu wykonuje Leonardo da Vinci – mistrz proporcji perspektywy.

40. Leonardo Fibonacci • Podróżnik i kupiec z Pizzy • Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), • Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, • Autor słynnego zadania o królikach.

41. Zadanie Fibonacciego:Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli: • każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, • para staje się płodna po miesiącu, • króliki nie zdychają?

42. W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

43. Ciąg Fibonacciego • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … • Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, • pierwszy i drugi wyraz to 1,każdy następny to suma dwóch poprzednich, • postać rekurencyjna ciągu (fn – n-tywyraz ciągu):

44. Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,… a złota liczba • Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… • Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

45. 2 3 1 1 8 5 Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt

46. Liczby Fibonacciego w przyrodzie Ciąg Fibonacciego ma liczne odpowiedniki w zjawiskach przyrody, np. w biologii, w botanice; ma je więc także liczba φ . Zadanie Drzewo co roku wypuszcza nowe pędy, a każda nowa gałąź wypuszcza nowy pęd dopiero po dwóch latach. Ile gałęzi będzie miało drzewo po 6 latach?

47. Zadanie - ilustracja Gdy spróbujemy naszkicować drzewo rosnące wg podanych reguł, wygląda ono bardzo realistycznie.

48. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Okazuje się, że małe liczby z ciągu Fibonacciego zadziwiająco często występują w przyrodzie. Spotykamy je nie tylko w układzie konarów drzew, ale praktycznie we wszystkich roślinach.

49. Opisują kształt • słoneczników

50. Opisują kształt • szyszek