Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1. SelamatDatangDalamKuliah Terbuka Ini

2. Kuliahterbuka kali iniberjudul“PilihanTopikMatematika -II”

3. DisajikanolehSudaryatno Sudirhammelaluiwww.darpublic.com

4. Sesi 3 • Integral Tak Tentu • Integral Tentu

5. 1. Integral TakTentu Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi xsepertiini disebut persamaan diferensial. Contohpersamaan diferensial

6. Tinjaupersamaan diferensial Karena maka Suatu fungsidikatakan merupakansolusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi fungsijugamerupakan solusi

7. dapatdituliskan Integrasiruaskiridanruaskananmemberikansecara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsiadalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentudi mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

8. Contoh: Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahubahwa oleh karena itu

9. Contoh: Carilah solusi persamaan kelompokkan peubah sehinggaruaskiridankananmengandungpeubahberbeda Jika kedua ruas diintegrasi

10. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstantaK. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

11. 100 100 K3 50 50 K2 yi= 10x2+Ki y = 10x2 K1 y y -5 -3 -1 1 3 5 -5 -3 -1 1 3 5 x x Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. kurva kurva adalah kurva bernilai tunggal adalah kurva bernilai banyak

12. Posisibendapada waktu t = 0adalah; tentukanlah posisi benda pada t = 4. Kecepatan adalah laju perubahan jarak, Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Contoh: Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai kecepatanpercepatanwaktu . Kondisiawal: pada t = 0, s0 = 3 sehingga pada t = 4 posisi benda adalah

13. Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Luas Sebagai Suatu Integral Contoh: Apx Apx y y = f(x) =2 2 x 0 p x x+x q atau Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p atau

14. Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang f(x+x) y f(x) y = f(x) x 0 p x x+x q Apx Apx Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan Apx = f(x)xatau Apx = f(x+x)x x0adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+x Jika x 0:

15. y y y = f(x) y = f(x) x x 0 0 p x2xkxk+1xnq p x2xkxk+1xnq y y = f(x) x 0 p x2xkxk+1xnq 2. Integral Tentu Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. Bidangdibagidalamsegmen-segmen Luasbidangdihitungsebagaijumlahluassegmen Ada duapendekatandalammenghitungluassegmen Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk)xk Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk+x)xk

16. y y = f(x) Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk)xk Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk+x)xk x 0 p x2xkxk+1xnq y y = f(x) x 0 p x2xkxk+1xnq Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1maka Jikaxk 0 ketigajumlahinimendekatisuatunilai limit yang sama Nilai limit itumerupakan integral tentu

17. y y = f(x) x 0 p x2xkxk+1xnq Luasbidangmenjadi

18. 20 10 x 0 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 - 10 - 20 LuasBidang Definisi Apxadalah luas bidang yang dibatasi olehy=f(x)dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Luasantaray = x3 – 12xdan sumbu-x darix = 3 sampai x = +3. Contoh:

19. Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x y y = f(x) A2 p A4 A3 q x A1

20. berada di atas Rentang dibagi dalam n segmen jumlah semua segmen: Luas Bidang Di Antara Dua Kurva y y1 x x+x x q 0 p y2 Apx Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit

21. Jika dan dan Jika y2 4 y y2 di atas y1 y1 x 2 0 -2 -1 0 1 2 Contoh: berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3. Contoh: berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

22. dan Jika berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. 4 y y1 2 0 x -2 -1 0 1 2 y2 -2 -4 y1 di atasy2 Contoh: Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

23. Penerapan Integral Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Contoh: Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

24. Contoh: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 tampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampait = 5 detik ? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

25. Volume Sebagai Suatu Integral Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok Jika A(x)adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah Volume balok V adalah x luas rata-rata irisan antara A(x)dan A(x+x). Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

26. P y x Q O x Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. m: kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jikagaris OP memotongsumbu-ymakadiperolehkerucutterpotong

27. f(x) y 0 a x b x f3(x) f2(x) y f1(x) 0 a x b x Rotasi Bidang Sembarang Rotasi Gabungan Fungsi Linier Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di sampingini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

28. Kuliah Terbuka PilihanTopikMatematika II Sesi 3 SudaryatnoSudirham