FUNCIONES

1. FUNCIONES • Continuas, discontinuas. • Continuamente diferenciables, no continuamente diferenciables (de orden n) • Unimodales, multimodales. • Cóncavas, convexas. • Puntos estacionarios. • Región convexa. • Funciones y formas cuadráticas. • Condiciones necesarias y suficientes de • Máximos y mínimos. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

2. FUNCIONES • Funciones cóncavas y convexas • Puntos estacionarios (Puntos singulares). • Región convexa Simulación y Optimización de Procesos Químicos

3. FUNCIONES Simulación y Optimización de Procesos Químicos

4. FUNCIONES • Formas cuadráticas Simulación y Optimización de Procesos Químicos

5. Extremos de f(x) • 1 • 2 • 3 • Las condiciones 1 y 2 son necesarias y la 3 suficiente para garantizar que x* sea un extremo. • Un máximo o mínimo puede existir aunque no se cumplan las tres condiciones.P. ej. Si f(x)=x4, x*=0 es un mínimo pero H(0) no está definida en x*=0 y la condición 3 no se satisface. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

6. REGIÓN FACTIBLE Simulación y Optimización de Procesos Químicos

7. REGIÓN FACTIBLE Si la función f y las restricciones son convexas, lo que implica que la región factible es convexa, el problema de programación no lineal general se transforma en un problema de programación convexa y se verifica que: El mínimo local de f(x) es también un mínimo global. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

8. FUNCIONES CONVEXAS CONJUNTOS CONVEXOS Simulación y Optimización de Procesos Químicos

9. FUNCIONES CONVEXAS CONJUNTOS CONVEXOS Simulación y Optimización de Procesos Químicos

10. OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES.BUSQUEDA UNIDIMENSIONAL • A. Métodos directos. No requieren el cálculo de la derivada. • B. Métodos indirectos. Requieren el cálculo de la derivada. • Selección del estimado inicial. • Procedimientos de búsqueda y partición del intervalo. • Convergencia. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

11. Métodos directos • Métodos de eliminación de regiones. • Búsqueda de dos puntos por intervalos iguales. • Búsqueda dicotómica. • Búsqueda de Fibonacci. • Búsqueda por razón aúrea. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

12. Métodos directos Búsqueda de Fibonacci. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

13. Métodos indirectos. • Método de Newton. • Método de Quasi-Newton. • Método de la secante. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

14. OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES. BUSQUEDA MULTIVARIABLE. • Métodos directos. • Búsqueda aleatoria • Búsqueda por rejilla • Método simplex Simulación y Optimización de Procesos Químicos

15. OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES. BUSQUEDA MULTIVARIABLE. • Método simplex Simulación y Optimización de Procesos Químicos

16. MÉTODOS INDIRECTOSPRIMER ORDEN (A)SEGUNDO ORDEN (B) • A.-Método del gradiente • Método del Gradiente conjugado (Fletcher-Powell) • B.- Método de Newton • Método de la secante • Método de Davidon-Fletcher-Powell Simulación y Optimización de Procesos Químicos

17. MÉTODO DEL GRADIENTE • Ecuación básica para búsqueda de un mínimo/máximo de f(x).El gradiente es un vector que da la máxima variación de f(x) • Steepest ascent (descent) • Optimizar • la longitud del paso Simulación y Optimización de Procesos Químicos

18. MÉTODO DEL GRADIENTE Simulación y Optimización de Procesos Químicos

19. MÉTODO DEL GRADIENTE Simulación y Optimización de Procesos Químicos

20. MÉTODO DEL GRADIENTE.EJEMPLO. Compresor de tres estados Simulación y Optimización de Procesos Químicos

21. MÉTODO DEL GRADIENTE.EJEMPLO. Punto mínimo Simulación y Optimización de Procesos Químicos

22. MÉTODO DEL GRADIENTE.EJEMPLO. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

23. Direcciones conjugadas Gradiente conjugado • Es un método útil en mejorar la convergencia del método del gradiente. • La matriz Q es el hessiano de la función. objeto. • La dirección de búsqueda es una combinación lineal del gradiente actual con la dirección anterior. • Pequeña información necesaria para realizar el algoritmo. • Paso 1. • Paso 2.Guardar • .......... Simulación y Optimización de Procesos Químicos

24. PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES • Método de los multiplicadores de Lagrange • Condiciones necesarias y suficientes para un extremo local • Método del gradiente generalizado • Programación cuadrática Simulación y Optimización de Procesos Químicos

25. PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE IGUALDADMétodo de los multiplicadores de Lagrange • PROBLEMA • CONDICIONES NECESARIAS. A partir de la función de Lagrange,L • CONDICIONES SUFICIENTES Simulación y Optimización de Procesos Químicos

26. PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD • Matriz de Hancock. Condiciones suficientes con restricciones. • La forma cuadrática Q es definida positiva o negativa si las raíces l de la ecuación siguiente son positivas o negativas. • Ejemplo. Encontrar las dimensiones de un depósito cilíndrico cerrado hecho de acero que maximice su volumen si el área del mismo es de 24p. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

27. CONTROL ÓPTIMO ESTACIONARIO • Dinámica • Estacionario • Método de los multiplicadores de Lagrange • Sistema lineal o linealizado en torno a un punto estacionario • Solución Simulación y Optimización de Procesos Químicos

28. CONTROL ÓPTIMO ESTACIONARIO • Condiciones necesarias • Condiciones suficientes • Definida positiva lo cual implica que • Q (nxn) sea simétrica y def. positiva • P (rxr) sea simétrica y def. positiva v v M u u x x Simulación y Optimización de Procesos Químicos

29. PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD • PROBLEMA • SOLUCIÓN. Método de los multiplicadores de Lagrange • CONDICIONES NECESARIAS • Las derivadas parciales de L con respecto a x,y,l,igualadas a cero. • Dan n+2m ecuaciones para calcular n+2m incógnitas Simulación y Optimización de Procesos Químicos

30. PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD • En programación convexa las condiciones anteriores se convierten en condiciones necesarias y suficientes para un mínimo local. Se llaman condiciones de Kuhn-Tucker y se establecen como: • Si el problema es de maximizar o si las restricciones son del tipo los • tienen que ser no positivos.Si el problema es de maximizar y las restricciones de la forma los tienen que ser no negativos. Simulación y Optimización de Procesos Químicos

31. PROGRAMACION ENTERA-MIXTA (MIP) • La función objetivo depende de dos conjuntos de variables • x vector de variables continuas • y vector de variables enteras • Ejemplos: • Problema del viajante. • Problema de la localización de plantas En general son problemas de PL o PNL conocidos como MILP o MINLP Soluciones.- Algoritmo Branch and Bound. Son variantes de Programación lineal y no lineal. Utilizado en EXCEL SOLVER Simulación y Optimización de Procesos Químicos