Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezioni n° 10

1. Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e ManagementLezioni n° 10

2. Il modello di regressione lineare Introduzione ai modelli di regressione – Case Study Obiettivi Le ipotesi del modello La stima del modello La valutazione del modello Commenti

3. Case Study – Club del Libro La classificazione dei clienti/prospect in termini predittivi

4. Il problema di analisi anzianità CAT 1 CAT n

5. L’obiettivo dell’analisi Prevedere la redditivita’ del socio fin dalle prime evidenze

6. L’impostazione del problema Redditività = ricavi - costi redditività var. continua classi di redditività ( < 0 ; >= 0)

7. I dati di input • X : # ordini • pagato ordini • pagato rateale mensile • sesso (dicotomica) • area (dicotomiche) • # liste Y : Redditività consolidata

8. Costruzione Var. Obiettivo Analisi Preliminari Stima del Modello Validazione Implementazione Predisposizione Banca Dati Il percorso di analisi

9. Analisi preliminari lo studio della distribuzione lo studio della concentrazione la struttura di correlazione

10. Regressione Lineare Regressione Logistica L’impostazione del problema • Redditività var. dicotomica Redditività var. continua

11. Il modello di regressione lineare Introduzione ai modelli di regressione – Case Study Obiettivi Le ipotesi del modello La stima del modello La valutazione del modello Commenti

12. I modelli di regressione • Modelli di dipendenza per la rappresentazione di relazioni non simmetriche tra le variabili • Y “variabile dipendente” (variabile target da spiegare) • X1,…,Xp “variabili indipendenti” (variabili esplicative o • regressori)

13. Il modello di regressione lineare • Si vuole descrivere la relazione tra Y e X1,…,Xpcon una funzione lineare • se p=1  osservazioni in uno spazio a due dimensioni • (i=1,…,n) • se p>1  osservazioni in uno spazio a p+1 dimensioni • (i=1,…,n)

14. Y X Il modello di regressione lineare • se p=1  spazio a due dimensioni  retta di regressione • lineare semplice

15. Il modello di regressione lineare • se p>1  spazio a p+1 dimensioni  “retta” di regressione • lineare multipla Y X1 X2

16. Il modello di regressione lineare Obiettivi • Esplicativo - Stimare l’influenza dei regressori sulla • variabile target. • Predittivo - Stimare il valore non osservato della variabile • target in corrispondenza di valori osservati dei regressori. • Comparativo - Confrontare la capacità di più regressori, o • di più set di regressori, di influenzare il target (= confronto • tra modelli di regressione lineare diversi).

17. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello • n unità statistiche • vettore colonna (nx1) di n misurazioni su una variabile • continua (Y) • matrice (nxp) di n misurazioni su p variabili quantitative • (X1,…,Xp) • la singola osservazione è il vettore riga (yi,xi1,xi2,xi3,…,xip) • i=1,…,n

18. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Equazione di regressione lineare multipla i-esima oss. su Y i-esima oss. su X1 errore relativo all’i-esima oss. intercetta coefficiente di X1 La matrice X=[1,X1,…,Xp] è detta matrice del disegno.

19. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello • L’errore presente nel modello si ipotizza essere di natura casuale. Può essere determinato da: • variabili non considerate • problemi di misurazione • modello inadeguato • effetti puramente casuali

20. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello • Errori a media nulla • Errori con varianza costante (omoschedasticità) • Errori non correlati (per ogni i≠j) • Errori con distribuzione Normale * 1 – 3  hp deboli 1 – 4  hp forti

21. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello • Da un punto di vista statistico • Y è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria  hp sulla distribuzione • X è una matrice costante con valore noto  no hp sulla distribuzione • beta è un vettore costante non noto • l’errore è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria  hp sulla distribuzione

22. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello • in media Y può essere rappresentata come funzione lineare delle sole (X1,…,Xp) • ogni osservazione di Y è uguale ad una combinazione lineare dei regressori con pesi=coefficienti beta + un termine di errore

23. Y X Il modello di regressione lineare La stima del modello Si vuole trovare la retta lineare migliore data la nuvola di punti

24. Il modello di regressione lineare La stima del modello Equazione teorica  coefficienti non noti Equazione stimata  coefficienti stimati (una delle infinite rette possibili) stime dei coefficienti errore di previsione previsione

25. Y X Il modello di regressione lineare La stima del modello Stimando la retta di regressione si commette un errore di previsione: Metodo dei Minimi Quadrati VALORE OSS. ERRORE VALORE STIMATO

26. Il modello di regressione lineare La stima del modello Obiettivo  trovare la miglior approssimazione lineare della relazione tra Y e X1,…,Xp (trovare le stime dei parametri beta che identificano la “migliore” retta di regressione) Metodo dei minimi quadrati  lo stimatore LS è la soluzione al problema

27. Il modello di regressione lineare La stima del modello • Lo stimatore dei Minimi Quadrati: LS • è funzione di Y e X • ha media • ha varianza

28. Il modello di regressione lineare La stima del modello • Proprietà dello stimatore LS • non distorto • consistente (se valgono certe hp su X’X) • coincide con lo stimatore di max verosimiglianza sotto • hp forti •  BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

29. Il modello di regressione lineare La stima del modello • Scomposizione della varianza SST=SSE+SSM • total sum of squares •  variabilità di Y • error sum of squares •  variabilità dei residui • model sum of squares •  variabilità spiegata

30. Il modello di regressione lineare La stima del modello Indicatori sintetici di bontà del Modello • R-quadro  OK valori alti • R-quadro adjusted  OK valori alti • Test F  OK p-value con valori bassi

31. Il modello di regressione lineare La stima del modello • R-quadro= SSM/SST • misura la % di variabilità di Y spiegata dal modello = capacità esplicativa del modello • misura la variabilità delle osservazioni intorno alla retta di regressione. • SSM=0 (R-quadro=0) il modello non spiega • SSM=SST (R-quadro=1)OK • R-quadro adjusted= [1-(1-SSM/SST)]/(n-1)(n-p-1) • come R-quadro ma indipendente dal numero di regressori • combina adattabilità e parsimonia

32. Il modello di regressione lineare La stima del modello • Test F per valutare la significatività congiunta dei coefficienti • ipotesi nulla • statistica test • valutazione  se p-value piccolo (rifiuto l’hp di coefficienti tutti nulli) il modello ha buona capacità esplicativa

33. R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo Il modello di regressione lineare La stima del modello Indicatori di bontà del Modello Y Y Y X X X

34. Il modello di regressione lineare La stima del modello • Test t per valutare la significatività dei singoli coefficienti • ipotesi nulla (j=1,…,p) • statistica test • valutazione  il coefficiente è significativo (significativamente diverso da 0) se il corrispondente p-value è piccolo (ossia, rifiuto l’ipotesi di coefficiente nullo)  il regressore a cui il coefficiente è associato è rilevante per la spiegazione del fenomeno