Sistemas de Partículas

1. Sistemas de Partículas Tema 4

2. Índice • Teorema de la Cantidad de Movimiento. Conservación. • Conceptos Básicos • Teorema del Movimiento del Centro de Masas • Teorema del Momento Cinético respecto de un Punto Fijo y respecto del CM. Conservación. • Teorema de la Energía Cinética. Teorema de Koenig. • Teorema de la Energía Mecánica. Conservación. • Teorema de la Cantidad de Movimiento. Conservación. • Colisiones. Definiciones. • Línea de Choque: Cálculo. • Coeficiente de Restitución • Resolución de Choques

3. Conceptos Básicos Ma rji mi mj ri rj Sist. Ref. S Interior Faj Fai Exterior Faj Fai fji fij Sist. Ref. S

4. Conceptos Básicos Ma Exterior Faj Fai rji mi mj fji fij ri rj Sist. S Sist. S Interior

5. Teorema de la Cantidad de Movimiento Demostración. El impulso mecánico de las fuerzas exteriores es igual al cambio en la cantidad de movimiento. Conservación: Si el impulso mecánico de las fuerzas exteriores es cero la cantidad de movimiento se conserva.

6. Teorema del Movimiento del Centro de Masas Demostración. El centro de masas se mueve como una partícula con la masa total sometida a la resultante de las fuerzas exteriores. Sistema CM CM rCi mi mj rC ri rj

7. A rAi mi rAj mj ri rj Teorema del Momento Cinético respecto de un Punto Fijo El momento de las fuerzas exteriores en un punto fijo Aes igual a la derivada del momento cinético en A. Demostración. El momento de las fuerzas interiores se anula.

8. CM rCi mi rCj mj ri rj Teorema del Momento Cinético respecto del Centro de Masas El momento de las fuerzas exteriores en el centro de masases igual a la derivada del momento cinético en el centro de masas. Conservación. Si el momento de las fuerzas exteriores es cero respecto al CM (o un punto fijo) el momento cinético en el centro de masas (o en un punto fijo) se conserva.

9. Teorema de la Energía Cinética El trabajo de las fuerzas exteriores e interiores es el incremento de la energía cinética. Demostración. En el sistema CM, teorema de Koenig (ejercicio):

10. Teorema de la Energía Mecánica Hipótesis: Suponemos fuerzas interiores conservativas. El trabajo de las fuerzas exteriores disipativas es igual a la variación de la energía mecánica. Conservación: Si el trabajo de las fuerzas exteriores disipativas es cero la energía mecánica se conserva.

11. f21 ul f12 1 2 f21 ul f12 1 2 Colisiones: Definiciones Colisión: Interacción entre dos cuerpos en un Dt→0. Línea de Choque: Recta soporte de las percusiones. ul es el unitario. Choque Excéntrico: La línea de choque no pasa por los centros de masas de las partículas. No se estudia. Véase dibujo previo. Choque Central: La línea de choque pasa por los centros de masas de las partículas.

12. v2a v1a f21 f12 ul 1 2 v1d v1d Colisiones: Definiciones Choque Central Directo: Las velocidades antes y después de la colisión son paralelas a la línea de choque. v2antes v1antes f21 f12 ul 1 2 v1despues v1despues Choque Central Oblicuo: Las velocidades antes y después de la colisión no son paralelas a la línea de choque.

13. f21 f12 ul 1 2 v1d v1d Colisiones: Definiciones Plano de Choque (Partículas puntuales): Plano que contiene a la línea de choque y que definen las velocidades antes de la colisión. v1a v2a Línea Normal: Línea perpendicular a la de choque contenida en el plano de choque. un es el vector unitario. v2a v1a ul f21 f12 1 2 v1d v1d un

14. Línea de Choque: Cálculo Cuerpos con dimensiones: Línea que une los centros de masas. CM ul rc1 CM rc2 Partículas: Partícula contra Superficie: Dirección de la Reacción en el Apoyo ul Ejemplo: Apoyo sin rozamiento

15. Coeficiente de Restitución t t+Dt t+Dt+Dt’ Percusión deformadora Percusión restauradora 1 2 Máxima deformación: v1 = v2 Coeficiente de Restitución: Cociente entre la percusión restauradora y deformadora. Central oblicuo: Central directo:

16. Ejemplo: Medida del Coeficiente de Restitución Caída libre Ascenso libre h h’ ul (dirección de la normal)

17. Resolución de Choques Choque Central Directo: Choque Central Oblicuo: f21 f12 ul 1 2 un