Fonctions de transfert Conception d’un asservissement

1. Fonctions de transfert Conception d’un asservissement • François BONDU CNRS • francois.bondu@univ-rennes1.fr • Collaboration VIRGO • Institut de Physique de Rennes • Equipe photonique et lasers • Université de Rennes 1 • Avril 2009 Alfred Perot (1863-1926) Charles Fabry (1867-1945)

2. Plan • Éléments des boucles • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert • Densités spectrales • Capteurs et actionneurs • La cavité FP comme capteur • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence • II. Boucles d’asservissement • Calculs de boucle fermée • Critères de stabilité • boucle simple • ex. de boucles imbriquées • Prescriptions pour la conception d’une boucle • Mesures dans une boucle d’asservissement

3. Fonctions propres : I. Éléments de boucles 1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (1/2) Fsys signal entrée signal en sortie Linéarisation autour d’un point de fonctionnement Système linéaire invariant dans le temps : }

4. Fonction de transfert du système : Où est une fonction continue de f(“unwrap” en Matlab®) I. Éléments de boucles 1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (2/2) Fonctions propres : Fsys signal entrée Signal en sortie Décomposition d’un signal sur la base des fonctions propres : transformée de Fourier

5. Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation : est une fonction réelle paire I. Éléments de boucles 2. Densités spectrales (1/3) Fsys bruit en entrée bruit en sortie Fonction d’autocorrélation :

6. I. Éléments de boucles 2. Densités spectrales (2/3) Densité spectrale de puissance : définie pour les fréquences positives seulement Densité spectrale linéaire : nombre réel positif Fsys bruit en entrée bruit en sortie

7. I. Éléments de boucles 2. Densités spectrales (3/3) Dans la pratique, une méthode pour calculer la DSL: résolution en fréquence : 1/Tinteg s unité DSL longueur mètres m/√Hz fréquence Hertz Hz/√Hz onde gravitationnelle 1 1/√Hz

8. I. Éléments de boucles 3. Capteurs et actionneurs (1/3) Capteur : bruit ñc(f) + référence S(f) tension (V) + + - grandeur physique • Exemple : cavité FP pour mesurer la fréquence d’un laser • bruit de photon • finesse • bruit thermique de la cale d’espacement • bruit thermique des couches minces des miroirs • bruit accélérométrique • La qualité du capteur dépend • - de son bruit de mesure • de sa sensibilité S(f) • de la stabilité de sa référence

9. I. Éléments de boucles 3. Capteurs et actionneurs (2/3) bruit ñc(f) Capteur : + référence S(f) tension (V) + + - grandeur physique densité spectrale de résolution : Une grande sensibilité S(f) peut rendre négligeable l’effet du bruit de lecture de la mesure Ex: mesure de fréquence sur une cavité FP rigide couplée optimalement, F=1000, P=20 mW, L=30 cm  résolution limitée par bruit thermique jusqu’à f=10 kHz

10. I. Éléments de boucles 3. Capteurs et actionneurs (3/3) Actionneurs : “driver” D(f) tension (V) grandeur physique Actionneur de déplacement : bande passante limitée par la mécanique : - pendules (fres ~ 1 Hz) - miroirs montés sur cristaux piezo-électriques (fres ~30 kHz et harmoniques)

11. I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (1/5) • - Mesure de longueurs d’onde (spectroscopie) • Mesure d’épaisseur d’étalons standards, du mètre étalon (5 fois plus précis que Michelson) • Mesure de la masse du dm3 d’eau • Mise en évidence de l’effet Doppler-Fizeau • Raies d’émission du soleil, rotation différentielle, décalage vers le rouge, température • Eclat de la voie lactée • Rotation et température de la nébuleuse d’Orion • Découverte de la couche d’ozone dans l’atmosphère

12. I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (2/5) Pour les faisceaux gaussiens : comparaison entre le mode incident et le mode résonnant Mesure de front d’onde (distribution transverse de puissance) - mesure d’agitation transverse et angulaire de faisceau Mesure de longueur d’onde Mesure de longueur Mesure de rayon de courbure de miroir Mesure différentielle de réflectivités de miroirs Mesure d’ondes gravitationnelles (avec des miroirs inertiels)

13. Porteuse résonnante dans la cavité Bandes latérales non résonnantes C C LSB LSB USB USB E.O. modulator ~ RF synthesizer mesure référence I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (3/5) Laser Mirror 1 Mirror 2

14. I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (4/5) Fonction de transfert en réflexion pour les ondes lumineuses : a : varie avec la chemin optique, la fréquence, une onde gravitationnelle • L1 : pertes dans le miroir d’entrée • : déphasage sur un aller-retour r1, r2 : réflectivités des miroirs en amplitude • : réflexion à résonance en amplitude f : écart à la résonance

15. I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (5/5) T1 = 12% T2 = 5% L = 0 (finesse = 35) Fonction de transfert pour les ondes lumineuses : REFLECTION TRANSMISSION

16. I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (1/3) porteuse Onde entrante : fmod f : écart à la résonance Signal Pound Drever Hall • électronique • puissance du laser • indice de modulation de phase • couplage de la cavité (visibilité = 1 - z2) • pôle de la cavité

17. I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (2/3) porteuse Onde entrante : fmod fmes Fonction de transfert, pour une porteuse à résonance :

18. Fréquence de modulation Désalignement de la cavité Intervalle spectral libre désalignement + modulation I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (3/3) • Mesure précise • du pôle de la cavité • de sa longueur • du rayon de courbure effectif • du couplage d’impédance • fraction d’énergie sur un mode désaligné • fraction d’énergie sur un mode désadapté en front d’onde transverse module f / ISL

19. I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot b. Bruit de longueur -- miroir d’entrée -- miroir de fond

20. Plan • Éléments des boucles • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert • Densités spectrales • Capteurs et actionneurs • La cavité FP comme capteur • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence • II. Boucles d’asservissement • Calculs de boucle fermée • Critères de stabilité • boucle simple • ex. de boucles imbriquées • Prescriptions pour la conception d’une boucle • Mesures dans une boucle d’asservissement

21. Magnet-coil A D C digital filter D A C laser Phase modulator Control phase shifter R.F. 6 MHz mixer II. Boucles d’asservissement 1. Calculs de boucle fermée (1/3)

22. Actuation Sensing A D C digital filter D A C Correction filter zseismic laser Phase modulator nlaser SPDH Cfilter Factuation + zcavity e Control - actuation Correction filter ncavity phase shifter R.F. n0/Lcavity 6 MHz mixer sensing II. Boucles d’asservissement 1. Calculs de boucle fermée (2/3)

23. nc zseismic Factuation nlaser SPDH Cfilter + e zcavity - ncavity n0/Lcavity Le signal d’erreur compare la longueur d’onde du laser avec la longueur d’onde du mode résonnant dans la cavité, au bruit de lecture près. NB : il s’agit de la DSL de l’écart Le signal de correction mesure les fluctuations parasites avec le facteur de calibration Factuation là où elles dominent i.e. là où la boucle est utile Les fluctuations de longueur de la cavité “suivent” les fluctuations de longueur d’onde du laser, lorsque le gain de boucle est grand ; la perturbation sismique est très atténuée. II. Boucles d’asservissement 1. Calculs de boucle fermée (3/3) • NB: sont sous-entendus : • les ~ sur les DSL • la dépendance en f des FT • les facteurs devant les DSL sont des valeurs absolues Fonction de transfert en boucle ouverte : Boucle “efficace” : |G|>>1

24. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : a. « placement » des pôles et zéros • On approxime GOLTF par une fraction rationnelle N(f)/D(f) • La fonction G/(1+G) ou 1/(1+G) ne doit pas avoir de pôle à partie réelle positive • exponentielle divergente dans le domaine temps équivalent à : Le polynôme N(f) + D(f) ne doit pas avoir de zéro à partie réelle positive • Inconvénients : • pas très facile à visualiser si les pôles et zéros sont répartis sur plusieurs décades • robustesse pas facilement identifiable • l’approximation peut être dangereuse si il y a des retards importants • Vérification utile en cas de doute si la fonction est complexe

25. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : b. critère de Bode Marge de phase de la fonction de transfert en B.O. au croisement du gain unité gain unité Marge de gain ↑ = 5.6 Marge de gain ↓ = 3.7 • Inconvénients : • seulement si le gain unité n’est « croisé » qu’une seule fois • systèmes à phase minimale • Facile, pour les systèmes courants (pas de résonance forte) fGU = fréquence au gain unité = 32 Hz MP = marge de phase = +41°

26. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (1/3) laisser « le » point (-180,1) sur la droite lorsqu’on parcourt la courbe vers les fréquences croissantes • Inconvénient : • absence de lecture des fréquences • Avantages : • - facile • toutes les marges • en un coup d’œil • surtensions en boucles fermée • (amplification des bruits) Marge de gain ↑ = 5.6 gain unité MP = marge de phase = +41° Marge de gain ↓ = 3.7

27. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (2/3) Laisser tous les points (-180*(2k+1),1) sur la droite lorsqu’on parcourt la courbe vers les fréquences croissantes Exemple de système avec une résonance (ça arrive !) Bode ne “marche” pas Marges “confortables” : MG = 2 MP = 30° (surtension =2)

28. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (3/3) Cas très exceptionnel : filtres de Coulon

29. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (1/2) Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités

30. II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (2/2) Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités La boucle lente contient un capteur effectif ; elle est indépendante de la réponse de la cavité. Pour que l’ensemble soit stable, il suffit que la fréquence de G.U. de la boucle rapide soit une décade au-dessus de celle de la boucle lente. avec

31. II. Boucles d’asservissement 3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (1/3) • 1. • La “vitesse” de réponse de l’actionneur ou du capteur, éventuellement les retards, • définissent la fréquence de gain unité. • 2. • Conception la forme de la FTBO pour remplir les spécifications : • sur le RMS du signal d’erreur • et/ou sur sa densité spectrale • ou tout autre fonction de la DSL

32. II. Boucles d’asservissement 3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (2/3) Méthode itérative, pour un système dont on n’a pas une connaissance à priori de tous les paramètres : 1. On définit une première boucle, de forme simple, sans souci des spécifications ; on verrouille le système. 2. On mesure - la DSL du signal de correction - la DSL du signal d’erreur - la FTBO (fonction de transfert en boucle ouverte) => On ajuste le modèle informatique des éléments de la boucle à la mesure 3. On définit une nouvelle boucle plus performante telle qu’elle remplit les spécifications. Intégrateurs à très basse fréquence, jusqu’à ~fGU/10 : annule les erreurs statiques de position, de vitesse, etc.

33. II. Boucles d’asservissement 3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (3/3) Dans la pratique, on peut se trouver limité (saturation) par les dynamiques des électroniques, des échantillonneurs, etc. Solution 1 : filtres de pré-compensation (Dolby) Solution 2 : changement de fréquence de gain unité par ex : actionneurs multiples

34. II. Boucles d’asservissement 4. Mesures dans une boucle d’asservissement p zseismic nlaser SPDH Cfilter Factuation + scorr e1 e2 zcavity - ncavity n0/Lcavity On ajoute une perturbation pendant que la boucle est fermée : • bruit blanc, bruit “blanc” dans une bande limitée, bruit coloré • sinus, et mesure avec ampli lock-in ou analyseur de réseau

35. Plan • Éléments des boucles • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert • Densités spectrales • Capteurs et actionneurs • La cavité FP comme capteur • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence • II. Boucles d’asservissement • Calculs de boucle fermée • Critères de stabilité • boucle simple • ex. de boucles imbriquées • Prescriptions pour la conception d’une boucle • Mesures dans une boucle d’asservissement