Les fonctions: un outil en physique et en chimie

1. Les fonctions: un outil en physique et en chimie Hervé Caps, Département de physique, ULg Bernard Leyh, Département de chimie, ULg

2. Les fonctions: un outil en physique et en chimie • Les fonctions, nous y tenons: pourquoi? • Quelques constats • Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Conclusions

3. A qui enseignons-nous? • Hervé Caps • 1ère année de bachelier en ingénieur • 2ème année de bachelier en physique • 1ère et 2années de master en physique • AESS et master en physique à finalitédidactique • Bernard Leyh • 2ème et 3ème années de bachelier en chimie • 2ème année de bachelier en géologie • 1ère année de master en chimie / 2ème année de master en chimie • 1ère année de master en physique • 1ère année de master en ingénieurphysicien • AESS et master en chimie à finalitédidactique

4. Les fonctions*: nous y tenons. Pourquoi?(* et les mathématiques en général) • Comprendre (rationaliser) un phénomène physique / physico-chimique ≡ le modéliser Quelques exemples: • pH de solutions variées • cinétique chimique • thermodynamique: fonctions d‘état • cinématique • circuits électriques • écoulements fluides

5. Les fonctions*: nous y tenons. Pourquoi?(* et les mathématiques en général) • Evaluer la validité / la pertinence d‘une modélisation requiert une mathématisation. • Le rôle des fonctions est central. Conditions de réalisation P, T Systèmephysique Gaz/Surface Tauxd‘adsorption Isotherme Modèle du système q = f(P,T) Fonctionmathématique

6. Les fonctions*: nous y tenons. Pourquoi?(* et les mathématiques en général) • Comprendre le domaine de validité des modèles Exemples: • Physique – Etalement d‘une goutte d‘eau • Chimie - Théorie des solutions d‘électrolytes (Debye-Hückel) Approximation: énergie potentielle << kT Conséquence: Théorie de Debye-Hückel non valable à concentration "trop élevée"

7. Etalement d‘une goutte d‘eau capillarité viscosité gravité Moteur - capillarité Moteur - gravité Changement de régime

9. Quelques constats • Tendancegénérale des traités (“textbooks”) à alléger le traitementmathématique • Renvoi des développements/démonstrations en appendice • Déconnection • de la physique : vuecommel’essentiel, la “vraie” nature (φύσις) des phénomènes et • des mathématiques : considéréecomme un simple outil

10. A comparer à …. B. Leyh, Notes de cours, ULg

11. Atkins‘ Physical Chemistry 8ème édition, OUP (2006)

12. Quelques constats (suite) • Nos étudiants ont vis-à-vis des mathématiques • un sentiment d‘inconfort • le sentiment (l‘illusion!) qu‘on peut (qu‘on devrait!) s‘en passer • des difficultés sérieuses à traduire un phénomène en langage mathématique et à déceler dans une relation mathématique son sens physique dans une situation donnée

13. Quelques constats (suite) • Difficultés fréquentes: • Dérivée première et extremum (Ex.: passage de l‘énergie interne à la capacité calorifique) • Dérivée seconde et courbure (Ex. : discussion des potentiels harmoniques) • Asymptotes obliques (Ex.: limite de l‘énergie de vibration à "haute" température: T>>hν/k) • Développements en série tronqués (1er ordre souvent) d‘une fonction et relation avec le graphique de la fonction

14. Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Un minimum de dextérité mathématique dans l‘analyse des fonctions (limites, asymptotes, dérivées) • Une certaine “culture fonctionnelle”: • Reconnaître “à l’oeil” des fonctions de base: graphique →expression analytique de la fonction • Connaître leurs propriétes essentielles : expression analytique de la fonction → graphique

16. Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Une capacité à discuter: • le passage de l‘expression de la fonction à sa représentation graphique, • MAIS d‘une manière un peu particulière …, • en envisageant les situations limites du phénomène physique étudié (cf. développements en série) • donc en se focalisant sur la manière dont une relation mathématique traduit les différents aspects d‘un phénomène physique.

17. Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Exemple 1: Loi de distribution de l‘énergie cinétique ou du module de la vitesse des particules d‘un gaz parfait en équilibre thermodynamique.

18. Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Exemple 2: Isotherme d‘adsorption BET Adsorption de multi-couches de gaz sur une surface Atkins‘ Physical Chemistry, op. cit.

19. R. J. Hunter, Foundations of Colloid Science, OUP (2001)

22. Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Exemple 3: Tensions aux bornes d‘un condensateur et d‘une résistance dans un circuit RC en charge et/ou décharge

23. Charge du condensateur Décharge du condensateur Constante de temps du circuit

24. Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? • Exemple 4: Réactances inductive et capacitive

26. Conclusions • Mainteniruneformationmathématique de base solide: cours de mathématiques 1er/2ème bac • Formation à la rigueur • Dextéritémathématique(« drill ») • Culture mathématique • Continuer à « taper sur le clou » ensuite (et/ou en parallèle), dans les cours de physique et de chimie physique • pour toutes les raisons évoquées précédemment • en faisant référence à l’enseignement du/de la collègue mathématicien(ne) • pour apprendre aux étudiants quelque chose en plus: phénomène physique ⇌ traduction mathématique • tout en cherchant à renforcer leurs compétences mathématiques par la pratique concrète • et en les convainquant de la puissance de cet outil