Zahlen geschickt addieren

1. Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Prof. Dr. Hochmuth WS 2005/06 Zahlen geschickt addieren Referentinnen: Andrea Renninghoff Ann-Kathrin Eschment Alexandra Jakobs

2. Gliederung • Problemstellung • Lösungsmöglichkeiten • Gruppenarbeit • Vorstellung der Lösungswege durch Seminarteilnehmer • „Wer trifft die Zahl?“ – ein Aufgabenformat • Einzelarbeit (mit Arbeitsblatt) • Vorstellung der Lösungswege • „Treppen“ als Beispiel geometrischer Zahlveranschaulichungen • Reflexion

3. Summen von Zahlen • Was ist Gegenstand? • aufeinander folgende natürliche Zahlen • aufeinander folgende natürliche Zahlen mit festen Abständen • Was wird gemacht? • Beziehung der Zahlen und Summen betrachten • von bestimmten Ergebnissen mögliche Summen suchen

4. Aufgabe 1 • Für welche Zahlen n ist es möglich die Menge Sn = {1, 2,…, n-1, n} in zwei summengleiche Teilmengen zu zerlegen? • Summengleich heißt, dass die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge ist.

5. Ansatzmöglichkeiten • Cuisenaire-Stäbe • Pärchenbildung • Gesamtsumme bilden

6. Abb.1 Cuisenaire-Stäbe

7. Abb.2 Pärchenbildung

8. Abb.3 Gesamtsumme bilden • Ungerade: keine Zerlegung möglich • Gerade: Zerlegung zu finden, falls diese existiert

9. Allgemeine Lösung (Muster) • Summanden geeignet zusammenfassen • 2 Fälle zu unterscheiden: • Summen mit gerader Anzahl von Summanden • Summen mit ungerader Anzahl von Summanden

10. Abb.4 Abb.5 Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden Pärchenbildung

11. Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden • Summe = Produkt von Pärchenanzahl und Pärchensumme • Pärchenanzahl beträgt dabei die Hälfte der Summandenanzahl • Pärchensumme bildet sich aus dem ersten und letzten Glied

12. Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden • Es gibt Mittelzahl (MZ) • Überschuss zu der symmetrisch zur MZ liegenden Partnerzahl hinzugefügt • Summe mit lauter gleichen Summanden: • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= • 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5= • 9 · 5 = 45 • Summe = MZ · Summandenanzahl

13. Abb.6 Abb.7 Verallgemeinerung Auf arithmetische Reihen übertragbar

14. Für welche n gerade /ungerade Summe? • Abwechselnd Addition gerader und ungerader Summanden • ungerade Anzahl ungerader Summanden: Gesamtsumme ungerade • Anzahl gerade: Gesamtsumme gerade • GSS abwechselnd zwei mal gerade und zwei mal ungerade

15. Abb.8 Abb.9 Gerade Gesamtsumme • N ist ein Vielfaches von 4, d.h. n = 4k, =>2k summengleiche Pärchen zu bilden • Ist n um 1 kleiner als ein Vielfaches von 4,d.h. n=4k–1, werden die ersten drei Summanden zusammengefasst. Rest: Fall 1

16. Gruppenarbeit • A2: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender gerader natürlicher Zahlen {2,4,…,2n-2,2n} • A3: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender ungerader natürlicher Zahlen{1,3,…2n-3,2n-1} • A5: Summen von zwei, drei, vier aufeinander folgender Zahlen

17. „Wer trifft die 50?“ – Erläuterung des Aufgabenformats Additionszahl + • Es wird eine Start- und eine Additionszahl gewählt. • 2. Kästchen: Summe aus Start- und Additionszahl • weitere Kästchen: Summe aus der Zahl im vorhergehenden Kästchen und der Additionszahl, bis 5 Kästchen voll sind. • In das letzte Kästchen wird die Summe der ersten 5 Kästchen eingetragen. Aufgabe: Finde Kombinationen aus Start- und Additionszahl, bei denen die Zielzahl „50“ ist.

18. -9 -6 -3 0 +3 +6 +9 1 4 7 13 16 19 10 Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen 10∙7=70 Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden: Arithmetische Reihe (d=3): 10 10 10 10 10 10 10 1 4 7 10 13 16 19 Und andersherum?

19. Darstellbar als Produkt von: 9∙10 Reihenbildung durch Einsatz von Treppen Bzw. als Summe von: 10+10+10+10+10+10+10+10+10 Z=90 10 10 10 10 10 10 10 10 10 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Wie könnte man „90“ noch als Treppenmuster darstellen, wenn d konstant sein soll?

20. Reihenbildung durch Einsatz von Treppen 2. Möglichkeit (d=2): 3. Möglichkeit (d=3): Z=90 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 1 4 7 10 13 16 19 22 Bisher wurden nur Beispiele erwähnt, in denen eine ungerade Anzahl von Summanden vorlag. Ist es ein Problem, wenn kein Mittelwert direkt existiert?

21. Naheliegend: Pärchenbildung 5 7 9 11 13 15 17 19 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7 -7 Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen Beispiel: d=2 5 7 9 11 13 15 17 19 24 24 24 24

22. 5 7 9 11 13 15 17 19 Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen Aber auch hier kann ein Mittelwert ermittelt werden, nämlich: [(11+13) : 2] ∙8=96 (11+13) : 2=12 Summe Diese Operation (Ausgleich um die MZ) kann ebenso durch Treppenmuster veranschaulicht werden: 5 7 9 11 13 15 17 19 12 12 12 12 12 12 12 12

23. Darstellbar als Produkt von: 6∙12 Reihenbildung durch Einsatz von Treppen Bzw. als Summe von: 12+12+12+12+12+12 Z=72 12 12 12 12 12 12 7 9 11 13 15 17

24. Reihenbildung durch Einsatz von Treppen Z=72 3. Variante: 2. Variante: 2 6 10 14 18 22 -3 3 9 15 21 27

25. + summiert 20 20 20 20 20 20 20 1 4 7 10 13 16 19 19 16 13 10 7 4 1 Geschickt addieren durch zweifache Summierung - Was heißt das? 7∙ 20=140 Summe der Reihe: 70, da 140:2=70 Wie würde diese Rechnung mit Treppen veranschaulicht werden?

26. Literaturangabe:Müller, Gerhard N.,Steinbring, Heinz,Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004